认知策略在数学教学中的渗透

高冬雪 张丹

摘要：认知策略是一种重要的学习策略，学生在学习过程中有意识地选择和调整思维方式，有利于提高记忆效率和思维品质。基于此，文章阐述认知策略的定义和分类，并通过举例，详细说明各种认知策略在教学中渗透的具体方法，以及渗透时应注意的问题。

关键词：认知策略；数学教学；陈述性知识；程序性知识；过程性知识

一、认知策略的定义

认知策略至今还没有统一的定义，但学者有一个共同的认识，即看重学习者对信息的加工和调节。笔者对认知策略进行定义，即学习对象内部组织而成的一种能调控学习、思维等活动的定向技能。

认知策略可以从两个方面叙述：一是数学的思维方法，称为策略性知识，二是个体对自己认知过程的认知，称为反省认知或元认知。本文是从第二个方面讨论认知策略。

在教学过程中，教师对认知策略内涵的理解和在教学中对认知策略的应用十分重要，而渗透认知策略的一个难点是教师如何在教学过程中潜移默化地向学生示范应用认知策略。

二、认知策略的类型

数学知识可以分为陈述性知识、程序性知识和过程性知识。针对不同的数学知识，认知策略也分为不同的类型。对陈述性知识，教师可以采用的认知策略有复述策略、精加工策略和组织策略；对程序性知识，教师可以采用的认知策略有模式再认知识策略和动作系列知识策略；过程性知识包含对陈述性知识及程序性知识获得的体验，其动态性贯穿于知识学习的全过程，因此以上认知策略对过程性知识都适用。图1为数学知识的分类及针对各类知识应采用的认知策略类型。

（一）复述策略

复述策略是指为了记忆知识而将知识不断复述，是一种最常用的记忆知识的策略，通常作为学习陈述性知识的策略。

（二）精加工策略

皮连生教授所说的“精加工”是指学习者为了记忆知识，将学习的项目与其他方面的材料建立联系，一般作为促进陈述性知识学习的策略，以达到长期保持的目的，如想象、口述、总结、做笔记、类比、答疑等。常用的精加工策略有位置记忆法、首字联词法、关键词法和视觉联想法。

首先，位置记忆法。位置记忆法是学习者在脑海中建立一个场景，并将要记忆的内容与场景中固定位置的事物一一对应，回忆时就能按照位置提取需要的信息。

其次，首字联词法。首字联词法是为了记忆一系列知识点或某个过程的步骤，利用每个词的第一个字形成一个完整的句子或者一个英文的缩写。

再次，关键词法。关键词法是指在学习一种新知识时，可以通过联想、谐音等方法，将其与某个关键词联系在一起，借助视觉表象来记忆。

最后，视觉联想法。视觉联想法是指将学习的知识与现实中的事物联系在一起，这种联系越奇特、越夸张，记忆就越牢固。

（三）组织策略

组织策略是将学过的知识纳入有意义的类别，整理成有组织的结构，这样在记忆、提取知识时，可以根据知识间的内在联系和结构，更加高效地学习。常见的组织策略有归类整理、提纲挈领、作图示意、运用理论模型。

归类整理是将所学的知识进行分类、整理，形成知识结构，有利于提高记忆效率，是学习中最常用的一种策略；提纲挈领是指用数字标记知识中的纲目、要点，形成一定的层次结构，通常运用于记忆信息量很大的知识，化繁为简；作图示意是指将知识用图解的形式表示，通常用连线、箭头、括号等辅助作图，以表现出其内在结构；运用理论模型是指在遇到可遵循某个规律的过程时，运用符合其规律的理论模型，就可快速组织和整合信息。

（四）模式再认知识策略

模式再认知识策略是指对某个模式进行再次认识和分类的过程。比如，识别某个概念的一个新事例，或者识别符合某个行为的条件，或者符合应用某个规则的条件。

（五）动作系列知识策略

动作系列知识策略是指是为了完成某个过程，采取一系列步骤或认知动作，如数列求和方法中的错位相减求和法。

三、认知策略在数学教学中的渗透策略

（一）陈述性知识对应的认知策略

数学教学中需要记忆的陈述性知识有很多，如定义、定理、解题步骤等。下面，笔者以等差数列概念的讲解、奇函数相关性质的梳理、点的轨迹方程的求解步骤为例，介绍认知策略在陈述性知识教学中的渗透。

1.在等差数列概念的讲解教学中渗透复述策略和精加工策略

等差数列的概念为“一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，常用字母d表示”。教师可以举几个例子，让学生观察规律，然后给出概念，并利用复述策略，让学生将概念抄在笔记本上，加深印象。接着，教师利用精加工策略中的批注，将概念中需要注意的地方画出来并标注原因。

具体画线内容与原因如下：在等差数列的概念中，從第二项起画线，因为后面是要与前一项作差，若是从第一项开始，则不存在前一项，教师强调教科书这样表述是为了概念的严谨；每一项与前一项的差画线，因为需要注意作差的顺序，是“后面减前面”；常数画线，常数就是前面说的差，而这些差相等，因此叫作公差。最后，教师运用复述策略，让学生读几遍，并随机提问。

教师要求学生画线、标注的过程，就是在向学生渗透认知策略中的复述策略和精加工策略的过程。在这样的概念教学过程中，学生学习会更加容易，记忆也更加清晰。

2.在奇函数相关性质的梳理教学中渗透组织策略

复习课中常见的一个环节是教师帮助学生梳理某一部分内容，如奇函数的定义及相关性质。教师先引导学生思考奇函数的相关知识，再引导学生将其展开。虽然教师的讲述逻辑清晰，但对大部分学生来说，直接用言语叙述并不能产生较深的印象。因此，教师可以运用组织策略中的作图示意策略，将奇函数相关知识间的关系用图表示出来，让学生在头脑中形成形象记忆。如图2所示。

3.在点的轨迹方程的求解步骤教学中渗透精加工策略和组织策略

高中阶段常常遇到求点的轨迹方程问题。如有这样一道例题：等腰三角形顶点为A（4，2），底边的一个端点为B（3，5），求另一个端点的轨迹方程。

解题第一步要建立一个平面直角坐标系，但此题已经有坐标系，故第一步可以省略；第二步，设另一个端点为C（x，y）；第三步，找到限制条件，这道题的限制条件为三角形是等腰三角形，故|AC|=|AB|；第四步，将限制条件用点坐标表示，即=

；第五步，化简得（x-4）2+（y-2）2=10，所以另一个点的轨迹为圆。

教师随后总结步骤：第一步，建立平面直角坐标系；第二步，设点坐标；第三步，限制条件；第四步，代入点坐标；第五步，化简。但若就此结束，学生印象便不深刻，所以教师可以利用精加工策略中的首字联词法，将五个步骤中的第一个字连在一起，组成“建设现代化”这个短语。但是，如何在遇到求点轨迹方程问题时想到“建设现代化”这个短语呢？方法如下：教师利用精加工策略中的视觉联想法，把点在平面直角坐标系中运动的轨迹比喻为某城市的发展规划图，涉及城市未来的发展，学生就会联想到建设现代化的城市。最后，教师可以强调，这五个步骤是求点的轨迹方程问题通用的步骤，可以作为一个理论模型，下次再碰到此类问题时可以直接套用，这个强调的过程其实是教师在渗透组织策略中的运用理论模型。

（二）程序性知识对应的认知策略

程序性知识以产生式系统为代表。解决数学问题的过程就是一个产生式系统，由条件推出一个子目标，再将该子目标作为条件去推出第二个子目标，以此类推，最后达到问题的总目标。一个人头脑中储存了解决不同问题的产生式系统，就能够自如地处理相关事情，解决相关问题。解决数学问题的关键在于能否构建相应的产生式系统，因此教师渗透认知策略就是帮助学生形成一个又一个數学问题的产生式系统。

下面，笔者以数列问题为例，介绍认知策略中的动作系列知识策略在数学教学中的渗透。

“已知数列{an}的前n项和Sn，若4Sn=（2n-1）an+1+1，且a1=1。求证：数列{an}为等差数列。”教师通过提问引导学生思考，由题中的各个条件能推出什么？学生自然会注意到an与Sn的关系式。教师再引导学生回顾an与Sn关系的相应知识点，学生自然想到an=Sn-Sn-1，即将原式中所有的n都换成n-1，构成一个新式子，再相减，得到一个关于{an}的递推公式。这道题显然利用了等差数列的定义来证明，即每一项与前一项的差为一个常数。

教师由已知条件引导学生能推出什么，再由推出的知识作为条件继续推出其他知识，这个过程就是在帮助学生构建产生式系统，其中运用到了动作系列知识策略，避免了无方向的思考，大大缩短了解决问题的时间，也提高了准确率。

值得注意的是，教师在讲解中渗透认知策略时要注意过渡自然，这样才能使认知策略在无形中渗入课堂，增强教学效果。

认知策略在陈述性知识和程序性知识教学中的应用十分广泛，并且常常是多种认知策略共同应用，合理地运用认知策略会使学生在数学学习中事半功倍，减轻学生的压力。因此，认知策略渗入高中数学教学非常必要。

参考文献：

[1]张大均.教育心理学[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]张志淼.数学学习与数学思想方法[M].郑州：郑州大学出版社，2006.

[3]戴永.高中数学命题的教学策略研究[D].天津：天津师范大学，2006.

[4]周朝霞.高中生数学认知策略培养研究[D].兰州：西北师范大学，2018.

[5]宋健栋.高一学生数学学习策略调查研究[D].烟台：鲁东大学，2017.

[6]华晶.培养高中生数学学习策略的个案研究[D].上海：上海师范大学，2021.

[7]温淳.高中数学学习策略与教学研究[D].长春：东北师范大学，2007.

（作者单位：长春师范大学）