非线性伪振子的高精度解析近似解

刘伟佳,赵旭奇

(吉林师范大学数学与计算机学院,吉林 四平136000)

0 引言

本文讨论一类非线性常微分方程的初值问题:

(1)

从物理学上讲,这个方程描述了注入等离子体管的电子束中电子所走路径的粗略模型[1].研究者用很多方法研究了上述方程的解析近似解,例如,同伦摄动法[2]、谐波平衡法[3-5]、Linstedt-Poincaré方法[6]、牛顿谐波平衡法[7]、椭圆平衡法[8]等.GADELLA和LARA[9]证明了上述系统不可能存在周期解.尽管在已有的工作中[7,9]使用第一积分方法构造了精确解,然而精确解依赖于正态分布积分函数erf的逆函数,这个函数不是显式形式,不容易被应用.

谐波平衡法的突出特点是不要求所求解的非线性振动问题的非线性项是小量,但难以构造更高精度的近似解.根据上述问题,WU等[10]基于预估-校正的思想,结合牛顿法对谐波平衡法进行改进.本文用预估-校正谐波平衡法求解方程(1),仅应用一次预估-校正迭代便可得到显式的、简洁的、高精度的近似周期与周期解.

1 求解过程

上述非线性系统(1)的精确周期和相应的周期解为

(2)

(3)

(4)

基于新的变量τ=ωt,方程(4)可以写成:

(5)

其中,Ω=ω2,根据单项谐波平衡近似,设初始近似为

u0(τ)=Acosτ.

(6)

将式(6)代入方程(5),将所得结果展成Fourier级数,并设cosτ的系数为零,即可得到Ω关于A的表达式:

(7)

因此,非线性振动的一阶近似值为

(8)

(9)

根据前述的推导,周期解和频率的平方值可表示为

u=u0+Δu10, Ω=Ω0+ΔΩ10.

(10)

将式(10)代入方程(5),并忽略Δu10和ΔΩ10的二次及更高次项,得到

(11)

上式中的Δu10是关于变量τ的周期为2π的周期函数,Δu10和ΔΩ10都为待求量.式(11)的解析解可以通过将Δu10(τ)设成满足方程(11)的初始条件的下述形式推导出.

Δu10(τ)=x10(cosτ-cos3τ).

(12)

将式(6)和式(12)代入式(11),将结果展成三角级数,并分别设cosτ和cos3τ的系数为零,解出未知量x10和ΔΩ10:

因此,非线性振动的预估近似周期和周期解可以写成:

(13)

(14)

基于上述预测,方程组(4)的周期解和频率进一步表示为

u=up+Δu20, Ω=Ωp+ΔΩ20.

(15)

将式(15)代入式(5)中,并关于修正项Δu20和ΔΩ20在u=u0,Ω=Ω0处线性化,得到方程组:

(16)

为了改进近似值的精确性,Δu20取满足方程组(16)的初值条件的形式:

Δu20=y1(cosτ-cos3τ)+y2(cos3τ-cos5τ)+y3(cos5τ-cos7τ).

(17)

将式(7)(8)(9)(13)(14)(17)代入方程组(16),结果展成三角级数后分别设cosτ, cos3τ, cos5τ,cos7τ的系数为零,即可解得未知量y1,y2,y3和 ΔΩ20:

最后,得到校正后的周期和周期解的表达式:

(18)

(19)

2 数值结果及讨论

表1所示为近似周期T0,Tp,Tc和精确周期Te的比值,这个比值与振幅A无关.可以清楚地看出,Tc给出了与精确值逼近得很好的近似值.

表1 振子中近似值和精确值的比值

对于A=1,由表达式(3)所表述的数值解ue(t),分别由式(9)(14)(19)求得的近似周期解u0(t),up(t),uc(t),以及上述周期解的绝对误差均如图1和图2所示.由图中曲线可知,校正后的近似值和数值解逼近得很好.

图1 A=1情况下解析近似周期解和数值解的对比

图2 A=1情况下解析近似周期解和数值解绝对误差的对比

3 结语

本文提出了一个构造非线性伪振子单自由度系统解析近似解的迭代法,该方法由预估-校正技术和谐波平衡法组成.利用预估-校正步骤,对控制方程的线性化只需要做一次.通过这个方法可以得到简单的代数方程组,而不是没有解析解的非线性方程组,另外也不需要系统中存在小参数.从结论可以看出,仅应用一步预估-校正步骤即可保证在相当大的振幅范围内(包含无限振幅的极限情况)得到系统的、显式的、简洁的,同时也很精确的解析逼近解.上述结论表明了本文方法用于求解非线性伪振子的有效性.