基于人工蜂群算法的固定时间多脉冲交会

公 冕, 龚晓刚, 方艺忠, 贾平会, 周 荻*

1. 哈尔滨工业大学航天学院, 哈尔滨 150001

2. 北京航天长征飞行器研究所, 北京 100076

0 引 言

轨道间脉冲交会的燃料最优问题一直是研究的热点.当两个航天器轨道共面,且转移时间足够大时,两航天器交会的燃料最优两脉冲解就是Hohmann转移.然而,在实际应用中,要求的交会时间往往远远小于Hohmann变轨所需要的时间,且两航天器初始轨道也经常处于非共面.此时,相比于双脉冲交会,多脉冲交会可以大大节约燃料.另外,一些双脉冲解违反了地球半径限制,导致两脉冲解无法应用到实际.此时,必须使用多脉冲变轨策略.

现有的优化多脉冲交会问题的方法可分为间接法、直接法和进化算法.在间接法中,利用庞特里亚金极小值原理将轨迹优化问题转化为多点边值问题(MPBVP)[1-2].然而,在实际应用中,间接法需要克服一些限制.首先,MPBVP对初始猜测值非常敏感,尤其是伴随矩阵的初值,没有明显的物理意义.其次,当使用间接法时,需要推导复杂的数学公式.一旦改变了坐标系或摄动模型,就需要重新推导公式.第三,间接法只能在初始猜测附近找到局部最优解[3].直接法将优化问题转化为非线性规划问题.例如,文献[4]采用伪谱法将轨道优化问题转化为非线性规划问题来计算最佳轨迹,文献[5]采用打靶法求解了多脉冲交会问题.关于直接法的更多细节,可以参见文献[6]和其中引用的参考文献.直接法的稳健性要优于间接法,主要是因为间接法缺乏确定问题初始伴随变量初始值的系统方法.直接法虽然绕过了间接法中的必要条件,然而,直接方法也依赖于初值猜测.值得注意的是,生成合适的猜测值并非易事.事实上,通过直接方法找到的最优解只能位于猜测值的邻域内.与间接法和直接法相比,进化算法通过频繁迭代来探索全局最优解,而不依赖于初始猜测.进化算法主要包括遗传算法(GA)、粒子群算法(PSO)和差分进化算法(DE)等.进化算法简单并且鲁棒性强,可以方便地移植到更完整、更精确的引力模型中.例如,文献[7-9]中使用GA搜索全局最优变轨.文献[3]和[10]针对共面轨道使用PSO算法来寻找最佳的多脉冲交会轨迹.文献[11]采用PSO算法对三脉冲交会问题进行了优化,文献[12]采用机器学习的方法优化了多脉冲交会问题,但是由于文献[11]和[12]采用了相对运动方程,仅适用于共面圆轨道.文献[13]将GA、DE和PSO算法并行应用于空间轨迹.文献[14]采用改进的模拟退火算法优化多脉冲交会问题.

文献[15-16]研究了和多个目标航天器交会的问题.文献[15]中把这一问题分为内外两层,外层采用GA算法进行优化.文献[16]中首先采用一种嵌套的树进化算法进行寻优,然后采用蚁群算法进一步优化.对于多脉冲变轨优化问题,文献[17]采用了混合优化策略,首先采用PSO优化方法求解,然后通过自适应共轭梯度法求解.由此可见,采用进化算法对多脉冲机动的优化仍然是这类问题的基础.

尽管上述进化算法是有效的,但在固定时间多脉冲交会优化问题时,仍有一些问题需要解决.首先,上述文献在处理多脉冲交会问题时没有考虑地球半径的约束.其次,一些进化算法容易陷入局部最优,导致求解的精度和效率严重降低.更重要的是,进化算法在处理等式约束时遇到困难.这些约束通常通过罚函数方法来解决.然而,合理的设置罚函数需要复杂的轨道力学知识,调整罚函数的系数也依赖于经验[3].

人工蜂群算法(ABC)是一种相对较新的群体优化算法,它由土耳其学者KARABOGA在2005年提出[18],主要是受蜜蜂通过个体分工相互协作启发.具有操作简单、控制参数少,鲁棒性强等优点,文献[19]指出,与GA、DE和PSO相比较,ABC算法的求解质量相对较高.大量实验表明,ABC算法具有很强的探索能力可以跳出局部最优,且对优化问题的维数不敏感.航天器交会轨迹优化问题存在大量局部最优点,且维度随着脉冲次数成倍增加.ABC算法的特点适合将其应用于脉冲交会优化中,但是还要进一步加强优化末期求解的精确度问题.本文在设计过程中考虑了地球半径的约束.同时,结合ABC算法的特点,使用更加简洁的方式处理约束优化,使得群体智能算法能够更加容易的应用于交会问题的优化当中.

1 问题描述

航天器在重力场的脉冲交会可用如下轨道动力学方程描述[14]:

(1)

式中,r和v分别是航天器的位置和速度向量,μ是地心引力常数.航天器推力近似为脉冲推力模型,脉冲推力能够使速度瞬时发生改变.在脉冲推力作用下轨迹被分成弹道弧,在弧段的连接点上施加脉冲.假设航天器在执行交会任务时共施加N(N大于2)次脉冲,在脉冲施加前用上标-表示,施加后用+表示,则在第n(n不等于1,N)次施加前后

(2)

在每个弹道弧,有

(3)

其中,f和g可以通过求解Kepler问题求得.同时,在初始和交会完成时刻受到如下限制:

(4)

(5)

N次脉冲的速度增量总和即是待优化量,记为

(6)

2 求解方法

2.1 人工蜂群算法(ABC)

人工蜂群算法(ABC)是一种模仿自然界中蜜蜂采蜜行为的群智能优化算法[18].在模拟的人工蜂群中有3种类型的蜜蜂,雇佣蜂、跟随蜂和侦查蜂.雇佣蜂负责发掘蜜源,跟随蜂根据雇佣蜂提供的蜜源信息选择蜜源,并在蜜源附近开采.若雇佣蜂和跟随蜂对蜜源多开采后蜜源的质量仍然得不到提高,则此处的蜜源将被放弃,蜜蜂角色转变为侦查蜂,进而开发其他蜜源.

蜜源的品质优劣程度由适应度表示,反映了待优化量的大小.在基本ABC算法中,适应度函数定义如下:

(7)

其中J(xi)是第i个蜜源的待优化值,fitnessi是变换后的适应度值.然后,跟随蜂根据蜜源的适应度信息,以一定概率选择跟随,选择概率如下:

(8)

其中,SN为蜜源的数目,也是雇佣蜂的数目.雇佣蜂和跟随蜂的搜索方式如下所示:

x′i,j=xi,j+φi,j(xi,j-xr,j)

(9)

其中:x′i,j为生成新蜜源的位置;xi,j为原第i个蜜源的位置;r和j都是随机生成的整数,r∈{1,2,…,SN}且r≠i和j∈{1,2,…,D},D是搜索空间的维度;φi,j是[-1, 1]上的随机数.

将蜜源的适应度值比较,若新解有更好的适应度的值,则用新解来代替旧解;否则丢弃新解.若蜜源连续limit次未更新,则此时蜜蜂角色发生转变,变为侦查蜂

x″i,j=lbj+φi,j(ubj-lbj)

(10)

其中,lbj和ubj为x″i,j的上下边界,φi,j是[0, 1]上的随机数.

2.2 基于ABC算法的最优交会

在三维空间中,速度增量的矢量Δv可由其大小Δv和两个夹角γ、δ构成,其中γ是和Z轴的夹角,δ是矢量在XoY平面上的投影与X轴的夹角.假设有N个脉冲,则共需优化4(N-2)+1个变量,具体如下:

{t1,Δv1,γ1,δ1,…,tN-2,ΔvN-2,γN-2,δN-2,tN-1}

(11)

其中,t1代表初始滑翔时间,滑翔段有可能减少燃料消耗.最后的两个冲量可由Lambert算法求得

(12)

在使用进化算法优化轨迹时,如何处理时间约束成为一个难点.时间约束表示为

Δt1+Δt2+…+ΔtN=tf

(13)

它减小了优化问题的自由度.如果把它表示成N个不等式

0≤t1≤t2≤…≤tN-1≤tN=tf

(14)

则意味着需要设计N个罚函数.这就是进化计算方法遇到困难的原因.

本文在处理时间约束时,结合ABC算法的特点,首先在[0,tf]内随机初始化N-1个时间变量,然后对它们的大小排序,分别作为t1,t2,…,tN-1,从而实现了N个不等式约束.通过以上两步可以实现脉冲时间范围的约束,以及时间先后的限制.若更新的变量是时间变量,则要重新对时间大小排序.

另外,航天器的轨道还应该满足一定的限制,不能小于地球半径加上大气层厚度的半径约束,若轨道最小距离小于这一半径,在适应度函数中设置相应惩罚项即可.将惩罚项加入到代价函数中可得

(15)

式中,pt为惩罚函数,C为惩罚因子.

惩罚函数可以设置为

(16)

式中,rmin为所有轨道弧中距地心最近的距离.

由于惩罚项只有一项,所以惩罚项系数不难设置,不存在系数整定复杂的问题,本小节中直接将惩罚因子C设置为无限大.这就意味着在智能优化算法优化迭代过程中,一旦求解结果出现了违反地球半径约束的情况,代价函数就会变为无限大.由于智能优化算法都是采取贪婪法则选取最优解,因此违反地球半径约束的解就会被立即淘汰.

2.3 改进的ABC算法

大量仿真实验表明,传统ABC算法是一种探索能力强,而开发能力弱的优化算法[21].而PSO算法是一种由于受到最优位置的导引,有着很强的开发能力,却容易陷入局部最优.两者结合可以很好的更好的平衡算法的开发和探索能力.文献[22]受PSO启发在搜索中加入了最优位置的导引

(17)

(18)

其中Rj是[0,1]之间的随机数.控制参数CR可以用来调整在不同阶段的探索和开发.在初始阶段,CR应该是一个小值来增加探索,在后期应该是一个大值来加强开发.为了实现这一目的,自适应的CR可以构建为

(19)

其中,CRMIN和CRMAX分别是CR的最小和最大值,MCN是最大循环次数.

由式(18)和(19)可以看出,在寻优的初始阶段,CR的值比较小,算法可以在全局范围内探索最优解所在的区间,避免陷入局部最优.在迭代次数过半之后,优化算法重点在小范围内探索最优解,以加强求解的精确度.改进的ABC算法记为IABC.

本文提出的算法概述如下:

步骤1)通过式(10)初始化总体解.时间的N-1个初始解可以在固定时间范围内随机生成,然后将它们从小到大排序,分别定义为t1,t2,…,tN-1.

初始化cycle=0并设置最大循环次数MCN.

步骤2)利用式(6)和(7)评估种群的适应度值.

步骤3)根据式(9)为雇佣蜂赋值.

步骤3.1)如果时间变量已经被更新,将所有时间变量进行排序并重新定义;

步骤3.2)如果解的质量没有提高,则limit=limit+1,否则limit=0.

步骤4)用式(8)计算概率值.

步骤5)根据概率值选择,为跟随蜂生成新的解.

步骤5.1)如果时间变量已经被更新,将所有时间变量进行排序并重新定义;

步骤5.2)如果解的质量没有提高,则limit=limit+1,否则limit=0.

步骤6)如果limit值超过设定的阈值,则由式(10)产生的新的随机解代替相应的解.

步骤7)当cycle=MCN时,算法终止.否则,cycle=cycle+1,转到步骤3).

3 仿真结果

3.1 共面圆轨道交会

共面圆轨道交会问题示意图如图1所示.文献[14]和[20]曾经研究过这一问题.选择r1=6 748 km,r2=6 678 km,θ=2°,tf=4 500 s.使用IABC算法的优化结果如表1所示.可以看出本文求得的速度增量为28.00 m/s,比文献[14]中的29.3 m/s消耗的燃料更少.这主要是因为本文在第一次脉冲之前增加了一个滑翔段,减小了燃料的消耗.另一方面,IABC算法具有更强的搜索能力.

表1 共面圆交会问题的解

图1 共面圆轨道交会

3.2 同圆交会

同圆交会是研究交会问题的一个经典场景,是指追踪航天器和目标位于同一个圆轨道,但是相位角相差180°,示意图如图2所示.由于初始相位相差较大,但是交会时间较短,该问题需要一个非常大的速度增量.文献[1]、[3]和[14]都曾研究过这一问题.为方便对比,和文献[14]中一样,本文选取400 km近地轨道进行测试,交会时间限制在2.3倍的圆轨道周期.

图2 同圆交会问题

文献[14]使用模拟退火单纯形法得到了一个4脉冲最优解,这和文献[1]使用解析同伦法求得的结果基本一致,如表2所示.但是文献[14]中的结果没有考虑地球半径以及大气层的限制.在没有考虑半径约束的情况下,本文也得到了类似的结果,如表2所示,显然这一结果违反了地球加上大气层半径约束,如图3所示.

表2 没有考虑半径约束下同圆交会问题的解

图3 没有考虑地球半径约束的同圆交会

在考虑地球半径(6 371.393 km)加上大气层厚度(200 km)约束的情况下,本文算法只需在算法中加入一个最小半径约束的惩罚项,并设置惩罚项系数为无穷大即可,结果如图4所示.得到了和文献[1]中解析同伦法相近的结果,如表3所示.值得注意的是文献[1]是使用不同的初始解作为基准解,然后通过同伦迭代取得不同结果,最后筛选得到的,而本文方法是考虑了约束并施加相应措施取得的结果,是一种更具有普适性的方法.

表3 考虑半径约束下同圆交会问题的解

图4 考虑地球半径约束的同圆交会

3.3 统计结果

为了进一步验证所提算法的有效性,将PSO和原始ABC算法与IABC算法进行多次异面交会优化实验,对比其性能表现.PSO算法的参数为N=100(个体数)、c1,c2=2(学习因子).原始ABC算法的参数为:SN=100,limit=SP×D×0.75.IABC算法的参数为:CRMIN=0.1和CRMAX=0.8,其他参数和原始ABC算法一样.所有算法都独立运行100次,每次迭代2 000个循环.目标和追逐者的初始轨道要素如表4所示.整个交会时间tf为11 107.2 s.根据文献[1],四脉冲总速度增量最优为36.04 m/s.从最速度变化量ΔvMIN、最大速度变化量ΔvMAX、平均值Δvmean、标准差S、成功概率η=σ/100×100%(σ是在最佳结果的2%以内成功的次数)、运行时间Tr.等方面对算法的统计性能进行评估.

表4 异面交会轨道参数

文献[23]的研究发现,多脉冲变轨的优化中本身就存在大量局部最优值,有时相同的总速度增量却对应不同的解.这会导致智能算法在优化多脉冲机动问题时很容易陷入局部最优解.如表5所示,根据标准差的结果,我们可以发现PSO性能表现不够稳定.IABC算法的一致性和成功率最高.如表5所示,在100次测试中,由于PSO无法跳出局部最小值38.303 m/s,因此PSO算法在该场景下没有“成功”.相反,ABC和IABC有能力跳出局部极小值,这主要是由于侦察蜂策略.IABC算法和ABC算法都获得了稳定的性能,并且与原始ABC算法相比,IABC算法可以提高局部搜索能力.

表5 异面交会优化性能表现

4 结 论

本文将人工蜂群算法应用于在多脉冲交会问题优化中.结合人工蜂群算法的特点,该方法在处理固定时间交会问题时,可以简化等式约束问题.由于多脉冲交会问题有许多局部极小值,人工蜂群算法的侦察策略可以避免陷入局部最优,并且改进的人工蜂群算法能够提高求解的精确度.由于人工蜂群算法易于编程,因此在优化多脉冲交会问题时,我们建议先尝试使用人工蜂群算法.如果不能得到满意的解,再考虑采用其他算法,如混合优化算法.