问得清如许 深度学概念

陈志远

在人类认识世界的过程中，从感性上升到理性，并把感知的事物的共同本质特征进行抽象概括，形成的结果为概念，概念具有内涵和外延两个重要的理解维度. 数学概念则是对数量关系和空间形式的共同本质特征的形式反映，是现实事物与抽象结果辩证统一的特有存在，是数学独特的思维形式. 同时，数学概念是进行数学运算和数学推理的基本依据，人们通过对数学概念中特征的进一步研究，构建数学法则、定理、公式，解决数学问题，并在此过程中不断积累学习经验，感悟数学思想，发展学科核心素养［1］.

罗增儒教授指出：“数学概念是数学血肉的细胞，数学思想是数学肌体的灵魂. 一个没有血肉、没有灵魂的人，即使穿上华丽的外衣，也只是僵尸. ”王淼生老师指出：“数学教学中最困难的、最棘手的就是数学概念. ”因此，数学概念教学的效果与学生数学学习的可持续性紧密相关，而用深度学习理念指导概念教学，发展学生数学核心素养，能真正实现数学育人功能. 下面，本文结合教学实践，谈谈初中数学概念教学的改进策略［2］.

数学概念教学歧途

数学学习过程是以概念为前提进行思维，使知识、技能、思想有机统一. 一线数学概念教学存在过度形式化的问题，导致学生将知识零散地记忆和堆砌，将数学概念的理解变成对概念的形式的浅层认识. 具体来说，主要有以下几类.

1. 简单举例，缺乏对概念本质的理解

数学概念是对具象事物的简明概括，并用数学的语言（文字、符号、图形）对概括的结论进行描述. 如果学生以记忆的方式取代思考，缺乏经历观察、猜想、例证、归纳的过程，会误认为数学概念是记忆性的知识，这会导致抽象能力和创新思维得不到培养，学科思维僵化. 例如，在一元一次方程的教学过程中，一些年轻教师教学时会出现如下情况：教学一元一次方程的概念时，未能深悟方程是刻画现实事物的工具，而只是罗列几个例子，并分析式子结构的特征，便直接给出一元一次方程的概念，导致师生都纠结诸如x+1=x-2的式子是不是一元一次方程.

2. 形式过度，忽略对知识内在的联系

数学概念是基于对现实事物的认识，并不断对其内涵和外延进行校准而得到的合理、科学、完整的结果. 在形成和同化过程中，若学生对概念的形式过度记忆，缺少同化的过程，即缺少与之相关知识的联系，将无法理解概念的全貌，难以迁移数学知识系统上升到高一级的平衡. 例如：在乘方概念教学时，不问乘方概念形成的必要性、合理性、正确性，只求能机械地将同因数的乘法表达转化为乘方的形式，缺少引导思考“单独一个数字或字母是幂吗”“幂的底数和指数可以是什么”等，将导致学生无法理解幂的概念全貌.

3. 以练代学，弱化对数学思维的培养

数学概念的应用是基于对问题的思考，从问题的需要中找到应用的必要性，其是培养学生科学思维的重要契机. 如果学生缺少对问题本身的关注，过度聚焦于概念认知的易错点，重复机械地训练，将导致学习浅表化，反思也不足，从而难以提升数学思维能力. 例如，教学平行线的性质时，经常发现学生因学习“同位角”“内错角”“同旁内角”时，以练代学，导致能力弱化成只有两直线平行且被第三条直线所截时，才能找到这三类角.

为规避以上数学概念教学的误区，笔者认为可結合深度学习理论指导数学概念教学.

数学概念教学回归

深度学习的教学改进是深化基础教育课程改革的重要抓手，是落实学生发展核心素养和课程标准的实践途径［2］. 基于初中数学深度学习的要求，教师要明确深度学习的主要特点，即“体会数学概念的整体结构和联系”“参与数学概念的生成过程的思维活动”“感悟数学概念的核心内容”“形成数学概念的准确表达和迁移”，回归数学概念教学的本位. 为此，我们需要寻思策略，重视概念教学的过程性和思辨性，以帮助学生理解概念本质、了解学习路径，促进数学思维提升. （指向深度学习的初中数学概念教学策略如图1所示）

下面以人教版八年级下册第十九章第一节第二课时“函数的图象”为例，结合教学工作中的交流学习和课堂实践，继续探讨指向深度学习的初中数学概念教学策略.

1. 基于问题，创设情境

初中数学深度学习是指在教师的引领下，学生围绕具有挑战性的数学学习主题，在具体问题中，以问题为引领线索，全身心参与，取得收获与发展的数学学习过程，数学概念教学也是如此. 因此，问题情境的创设要聚焦在“真”，也就是“贴近生活实际的真问题”或“原有知识体系的真盲点”. 教师通过创设情境，激发学生的学习兴趣，引导学生全身心投入，充分地参与思考和交流，初步获得数学概念的直观印象，为进一步研究概念奠基［2］.

问题1  同学们，在之前的学习中，我们认识了函数的概念，即在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 你能在下面各小题所给的信息中找到函数关系吗？

（1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h；

（2）汽车在公路上匀速行驶，表1是行驶时间与路程记录；

（3）汽车在公路上匀速行驶，表2是行驶时间与路程记录.

问题2  对比“问题1”中的3个小题，它们满足同一个函数关系吗？谈谈你的看法.

问题3  对于“问题1”中的3个函数关系，可以用其他方法来表示吗？

设计说明  本节仍然属于函数学习的起始课，学生知道函数关系可以用图形来呈现，但对函数的图象未形成准确的概念. 对三个简单实际问题差异性的比较，能引导学生进一步认识函数的本质，明确函数关系式与有序数对存在对应关系. （如图2所示）

2. 基于实践，深思抽象

概念教学的获得方式主要有形成和同化两种. 从大量的同类事物不同例证中，找到这些事物的关键属性，抽象表达，形成概念的雏形，这是概念的形成过程；对关键属性进行演绎和举证，明确符合概念需求的必要条件，不断探究概念外延边界，这就是概念的同化过程. 两者不分伯仲，相辅相成，持续交替过程，使得学生对概念的理解不断深刻，形成全貌，最终将新的概念纳入已有的概念系统中［3］.

问题4  你能根据表1、表2的信息，在平面直角坐标系中画图刻画这个函数关系吗（如图3所示）？

问题5  参考“问题4”的做法，你能用图形刻画“问题1”中的函数关系吗？

问题6  为解决“问题5”，根据函数关系式，怎么找到有序数对？你能找到多少对有序数对？请画图.

问题7  有限的点能完整表示“问题1”的函数关系吗？为什么？（如图4①②所示）

问题8  想象这无限个点所组成的表示问题1的函数图形，并谈谈你的看法. （如图4③所示）

设计说明  函数的图象的概念是基于对函数的图形表示，在画图过程中，结合函数的概念，进一步明确这种图形表示函数关系的方式是必要的、合理的、正确的，从而给函数图象下定义，即“一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象”.

必须强调，函数的图象是刻画函数关系的形式，即函数关系中存在怎样的变量间的对应关系（数量关系）和对应表示（有序数对），决定了图形的结果. 教学时教师要重视学生的实践描点程序，从而让学生感受到有限点和无限点均是对具体实际中函数模型的刻画，这些图形都是与其函数关系对应的函数图象. 还要指出，用函数图象就能直观地解释“问题1”中，s随着t的变化而变化这一持续不断的过程，能让学生思考和感受函数图象这一概念的形成.

图3、图4能进一步让学生感受到函数图象的生成过程，认同和理解函数图象的本质，接受函数图象的概念，为后续主动建立函数图象研究函数问题筑基.

此外，在教学实践中，教师还可以进一步利用几何画板等信息技术手段，让学生进一步感受在取值、描点过程中，不断变化的点，且观察追踪点的轨迹所形成的图形（如图5所示），不断检验演绎推理的合理性.

3. 基于思辨，教学认同

在数学概念教学中，基于对数学概念的定义，为了避免过度形式化的误区，教师可以加强数学概念与其他知识的不断联系，通过设计问题串，引发学生思考，使他们在思辨的过程中，建立起跨单元有关知识的纵向联系和新情境有关问题的横向迁移，强化概念定义下一般与特殊、特殊与特殊多维度的辩证统一关系.

问题9  结合上述探究，请你谈谈函数关系式与函数图象之间的联系（如图6所示）.

问题10  结合上述探究，请尝试归纳根据函数关系式，画函数图象的一般步骤（如图7所示）.

问题11  请完善“问题1”的图象，并根据画函数图象的一般步骤，尝试画出函数y=x2的图象.

设计说明  持续追问能让学生在实践中进一步理解概念，能将知识转化为可用程序进行操作的内容. 教学时，教师要充分实践，反刍概念的生成过程，促进学生深刻理解数学概念本质.

4. 基于应用，训练提升

数学概念教学也要回归应用价值，这种回归是基于概念的深度学习后，对概念有比较深刻的理解，能在新情境，即各种不同的表达形式下，找到情境中概念的存在，并能结合已有知识进行判断和思考，用合适的方式表达结论，解决问题. 在问题的解决过程中，学生反复经历用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界，真正落实了学生核心素养的发展.

问题12  图8是某函数关系的图象，其中x是自变量，y是x的函数，则此函数关系式可能是（    ）

问题13  已知正方形的邊长为x，周长为C，则周长C关于边长x的函数图象可能是一条（ ）

A. 直线    B. 射线

C. 线段     D. 曲线

设计说明  函数的解析式和图象是函数关系的不同表达形式，学生在思辨过程中去情境化，能进一步感悟函数解析式和函数图象互相成就. 学生在练习中经历多方举证，拓宽了对函数图象概念认识的广度，讲练结合，达到了个体认知再升级，激发了学生的学科潜能.

结语

深度学习理论契合课程改革，其既是一种理念，又是一种实践指导策略. 一线教学不断改进教学方法，形成教学策略，引领学生进行数学概念深度学习，发展学生数学核心素养，是数学教师的共同追求，是实现数学学科育人的重要抓手. 基于笔者个人水平，关于指向深度学习的初中数学概念教学，还有诸如基于数学概念分类的教学策略研究的广阔空间，现谨以此文，与君共勉.

参考文献：

［1］王淼生. 概念：数学教学永恒主题［M］. 厦门：厦门大学出版社，2018.

［2］刘晓玟. 深度学习：走向核心素养（学科教学指南·初中数学）［M］. 北京：教育科学出版社，2019.

［3］林祥华. 初中数学多元目标与教学策略［M］. 福州：福建教育出版社，2020.