波利亚理论的应用:在初中数学问题解决教学中提升学生核心素养

邵贵明,徐金润,熊建军,徐钰荣,何俊蓉

(1.黄冈师范学院 数学与统计学院,湖北 黄冈 438000;2.湖北省鄂州高中,湖北 鄂州 436000;3.随州市曾都区白云小学,湖北 随州 441399)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》在继承的基础上明晰了数学核心素养,确立了核心素养导向的义务教育数学课程目标。毋庸置疑,学用合一的问题解决教学是培养学生数学核心素养的重要路径之一。基于问题解决的课堂教学是以提升学生解决问题能力、引导学生迁移运用知识方法、助力学生思维进阶为目标,以“实践、探索、体验、发展”为中心,组织学生开展学习活动,围绕具有挑战性的真实问题深度探究,把学生培养成会主动解决问题的高素养人才的教学类型。数学教育大师乔治·波利亚曾说过:“掌握数学就意味着善于解题”,其著名研究成果《怎样解题》是诠释问题解决领域的经典之作,为一线教师实施问题解决教学提供了强有力的理论支撑[1]。那么借助波利亚理论在问题解决教学中如何推动学生数学核心素养形成呢?数学核心素养与波利亚理论各个阶段的相互关系如何?如何设计与实施波利亚理论下问题解决教学提升学生数学核心素养的教学案例?教师在日常的问题解决教学中,若能参考波利亚的提示语启发引导学生,对促进数学核心素养的全面提升具有普适性意义。鉴于目前丰富多彩的以说理为主的研究操作性不强,特此以课例为支点,呈现在问题解决教学中如何适时、适当、适切地引入波利亚的提示语和建议。

1 理论梳理

1.1 问题解决是培育数学核心素养的重要抓手

哈尔莫斯有一句脍炙人口的名言:“问题是数学的心脏”。教会学生学会解决问题是数学教学的灵魂,基于问题解决的课堂教学是培育学生数学核心素养的有效途径。数学核心素养的提出和落实确立了“素养导向”的教学观念,也是适应复杂多元的社会经济变革的需要。事实上,我国从八十年代至今的四版六本义务教育数学课程标准和大纲均体现了问题解决在数学课程中举足轻重的地位,在多轮教学改革和课程改革中受关注程度不降反增[2]。这充分说明问题解决与数学核心素养在理论上有着关联性和融洽性,不仅在时间上经得起考验,还在课堂实践中经得起推敲。在实际课堂教学中,数学核心素养隐含在问题解决全过程中,学生依托数学学科知识的桥梁,秉持数学思想方法的利剑,获得数学文化和数学精神的体验,逐步提升数学核心素养[3]。

1.2 波利亚解题理论是问题解决的催化剂

波利亚《怎样解题》的价值意蕴已然获得教育界的普遍认可。对教师而言,运用《怎样解题》中的指导性建议,有助于提升学生的逻辑推理能力,培养缜密的思维习惯;对学生而言,遵循《怎样解题》的问题解决路径进行训练,有助于在复杂多变的数学情境中梳理出一条清晰明朗的探索路径,最终获得独立解决问题的能力[4]。在理论层面上,涂荣豹教授[5]认为波利亚理论是元认知的思想宝库,学生借助波利亚的建议进行问题解决练习,有助于提高数学元认知能力,提炼出适合自己的提示语;在实践层面上,潘振嵘[6]把波利亚的探索法与不等式、解析几何、立体几何等不同类型的题目相结合,验证了波利亚理论在探索性问题中的重要作用,有助于诱发学生的灵感;从有效性上研究波利亚理论,Daulay K R等人[7]对八年级29名学生开展波利亚理论下问题解决类课堂的行动研究,学生的成绩合格率从前测的10.34%上升到第二阶段测验的75.86%,有效提升了学生问题解决能力。

综上所述,波利亚理论是解决问题的精准武器,可以为问题解决教学插上腾飞的翅膀,而问题解决教学又为核心素养的形成提供实践场域。因此,有理由提出基于波利亚理论的问题解决教学能有效契合教师培育学生数学核心素养。

2 波利亚理论与数学核心素养的关系研判

波利亚理论的思想精华主要汇集于“怎样解题表”(以下简称“解题表”)。解题表将数学问题解决的思维流程划分为理解题目、拟定方案、执行方案和回顾反思四个阶段,覆盖了问题解决的每一个环节,对处理所有数学问题都具普适性作用。义务教育阶段数学学科的核心素养,在初中具体表现为抽象能力、几何直观、推理能力、运算能力、数据观念、模型观念、空间观念、应用意识、创新意识九个方面。要想借助波利亚理论实现数学核心素养的落地生根,首先需要挖掘解题表的构成要素,判断二者关系。事实上,孔凡哲等[8]从理论高度建立了初中阶段核心素养与主要表现的对应关系,但具体到实际教学中如何落实核心素养的九大表现,让学生真正达到“三会”,在理论梳理、访谈一线特级教师、回访专家后,基于质性分析,探究出问题解决教学中的具体实施方略,发现解题表在各阶段发挥着目标明确、可操作性强、能有效执行的作用。在问题解决过程中,解题表四部曲与“三会”内容也表现出对应关系(见图1),为问题解决教学明晰了方向。

图1 解题表与数学核心素养对应关系

2.1 理解题目阶段

理解题目是开启问题解决之门的金钥匙,这一阶段的目标是必须弄清题目才能登堂入室,实现会用数学的眼光观察现实世界。波利亚在该阶段提出了一系列将题目化隐为显的策略,直接关联学生的抽象能力、数据观念、空间观念和几何直观等核心素养表现。首先,波利亚认为学生应指出问题的主体部分,理解题目的语言陈述,明确题目的已知数据、已知条件和未知量。学生需要借助自己的抽象能力挖掘题目中的隐性条件,从实际问题中抽象出核心变量,进行数学化表征,认清数学对象。针对信息量大的问题,学生基于数据观念分层次理清条件的相互关系。其次,波利亚建议利用符号语言和图形语言将文字语言进行恰当表征,引导学生在绘图制表表征问题的过程中为理解问题架桥铺路,提升审题精确度。

2.2 拟定方案阶段

拟定方案是开启问题解决程序宝库的密码,这一阶段的目标是找到寻求问题解决的路径,实现会用数学的思维思考现实世界。在理解题目的基础上,波利亚建议回忆与问题相近的题目和定理或者回到定义上去,将已有的概念、知识、原理进行重组,并与情境中的信息相匹配,基于模型观念建立条件与结论之间的纽带。在与过去所获知识相联结的过程中,迁移应用能力在潜移默化中得到提升。同时,波利亚还指出可以从不同的方面变换题目进行思考,以类比、特殊化、一般化、重组、极限等方法,运用演绎论证将复杂问题化归到我们认知范畴内。

2.3 执行方案阶段

执行方案是成功解决问题的阶梯,这一阶段的目标是将第二阶段反复探索、多次修正的方案付诸于行动,实现会用数学的语言表达现实世界。在执行方案的过程中,应当遵循规范性、逻辑性和简洁性。第一是规范性,准确使用数学运算符号,合理作图,确保解决方案顺利执行。第二是逻辑性,运算依托算理来推理,把握每一步过程之间的关联,自觉监控每一个步骤,养成重论据、合乎逻辑的思维习惯。第三是简洁性,数学表达蕴含着简洁美,解答过程应当层次分明,逻辑连贯,在思维顺畅情形下力求创新。

2.4 回顾反思阶段

回顾反思是培养数学核心素养的收官阶段,这一阶段的目标是回顾问题解决的整个过程,实现反思升华。首先,在完成解题方案后学生应当对结论进行检验,看结论是否合理,是否符合逻辑,是否考虑极端值和特殊情况,这一过程与抽象能力、推理能力、运算能力息息相关。其次,要回顾整个解题过程,验证起初拟定的方案是否完备。针对论证繁琐的过程需要反复斟酌,寻找更可行的方案。在该过程中,学生又一次经历解题表四部曲,用综合素养解决问题,深化对问题和结论的理解。再次,对问题解决过程中所用到的数学知识和数学思想方法进行反思总结,学会迁移运用,培养应用意识和模型观念,把解题过程中碎片化的灵感火花激发成结构化突破。最后,尝试对原问题进行改编、引申和推广,或创新获得更简洁优美的解法,体验真正“做数学”的味道,在获得自我效能感中洋溢出意义感。总之,在回顾反思阶段数学核心素养协调共进,彰显了育人价值。

综上所述,解题表在处理综合性问题时遵循章法,其提示语和建议直面问题、深入思维、引领思考、提高能力、发展素养。

3 基于问题解决的教学案例呈现

以人教版七年级上册“电话计费问题”教学为案例,该案例出自湖北省鄂州市第X中学的正高级教师W老师为江西省教师国培项目开展的教学示范课。“电话计费问题”是在学生学习解一元一次方程后的实际应用。该问题基于实际背景培养学生的应用意识和创新意识,引导学生将生活问题数学化,数学问题模型化。正如郭元祥教授[9]所指出,在处理真实问题的过程中,学生的学习思维是可见的,有助于学生社会美德的生成,有助于建立并巩固已有知识结构,有助于核心素养的真正落地。

3.1 梳理条件 以图示意 理解题目

在问题解决活动中,优秀的教师常常引导学生更主动、更广泛、更深入地激活自己的先期知识,为新知的探究做好预备;常在教学活动中注重真实情境的创设,善于利用贴近学生生活经验的素材,让学生深切感受到数学的应用价值,引导学生学会运用数学的眼光来观察现实世界。W老师在此次国培活动中,也是遵循了这样的思路,以一段贴近学生日常的开场白进行课堂导入:“数学知识来源于生活并服务于生活,随着科技发展,手机已经成为了人们普遍使用的工具。最近电信公司推出了很多种电话费套餐,老师也想更换一下手机的资费方式,目前有两种套餐可供选择,一种是58元的套餐,另一种是88元的套餐(见表1),请你们帮忙选择更划算的套餐。”

表1 两种套餐的计费方式

W老师启用波利亚理论,开始引导同学,依据波利亚的提示语,“在解决问题之前我们应该弄清题意?”“你能用自己的语言表述出已知条件和未知需求吗?”同学们积极讨论,罗列出已知条件为两种方式的月租、主叫限定时间、主叫超时费和被叫费用。与此同时,为了确保同学们真正理解题干所表述的意思,W老师继续用波利亚的建议启发学生,将学生的思绪朝着问题解决的方向一步步引导,又接着让他们解读表格中数字的含义,引导学生用数据观念和抽象能力进行表述,图形语言往往比文字语言更直观。W老师在学生理解题意的基础上,引入辅助工具对题目进行表征。引导学生画线条或者数轴表示思维过程,逐步过渡到思维成熟阶段(见图2)。师生一起对信息进行加工,在数轴上呈现出两种计费方式的方案对比,得到了题目的几何表示。

图2 问题解决的表征呈示图

学生感受利用图表分析数学问题的直观性,在绘图制表中潜移默化地提升了几何直观素养。数学来源于生活并高于生活,虽然电费、水费、出租车费等问题在生活中无处不在,但真正让学生用数学的思维和方法去思考并解决这些问题时,难免会出现认知分歧。学生对“分段”的认识不够透彻,W老师便用数轴直观表示出时间节点,为学生打开思路找到破题口,为后续引领学生将计费问题分段解决作铺垫。基于解题表的提示语进行教学,让学生对题目的理解由浅入深,从复杂多变的数学问题中抽象出变量之间的关系,有助于学生养成科学严谨地审题习惯。

3.2 数据悟律 分解问题 拟定方案

电话计费问题是运用方程模型解决实际问题的典例,难点在于等量关系的转换以及分类讨论思想方法的合理运用,即如何构架起现实问题与数学模型之间的桥梁,引导学生会用数学的思维思考现实世界。在理解题干信息的基础上,W老师从一些特殊值出发(见表2),带领学生观察所有已知项和未知项,设置问题串“你发现了联系它们的一些线索了吗”“你能找到什么规律吗”,引导学生深入认识问题本质。

表2 通话时长与计费方式价目举例

通过对数据进行分析,不难发现哪种计费方式更省钱是与主叫时间相关的,即主叫时间小于250分钟时方式一更省钱,主叫时间大于300分钟方式二更省钱,250分钟左右时两种方式费用相近。完成表格的过程是初步落实运算能力和推理能力的过程,对每一个特殊值都进行演绎推理,同学们理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、寻求运算结果,一步一步加深对问题的认识,尝试将问题与一元一次方程相联系。将同学们的思维引入正轨之后,W老师利用波利亚的建议将问题拆分处理,提示学生将复杂问题分层处理、各个击破,这正是解题表拟定方案阶段的精髓所在,要对问题进行合理分解,实现化繁为简。

学习数学知识不应该只限于知其然,还应知其所以然。W老师肯定了同学们发现的划分点,继续追问:“当时间等于350分钟的时候方式二划算,那么时间大于350分钟的时候为什么还是方式二更优惠呢?原因是什么?”同学们通过合作探究总结归纳出电话费是基本费与超时费的和,而超时费是主叫超时费乘超时时间,自然而然地得到了加法模型和乘法模型,模型思想也体现得淋漓尽致。W老师进一步引导推理当时间大于350分钟的时候方式二实惠的原因。以2022年北京冬奥会中的短道速滑项目为例,当中国运动员武大靖已经超过意大利选手彼得罗·西盖尔,并且武大靖的后续速度一直都比西盖尔快,那么武大靖肯定是一直领先于西盖尔,最后夺得了本届冬奥会中国首金,也是短道速滑项目的首枚金牌。将数学知识迁移应用于真实情境,学生脑海里想象两位运动员在赛场上拼搏的情形,有助于深化对知识点的理解,发散学生的思维,激发学生的创新意识和应用意识,学会将数学知识与社会现象相联系。

W老师继续引导分析:“当主叫时间在150到350之间,该如何分析呢?”教学活动中的举例是可以反复使用的,W老师仍然类比短道速滑的例子,假设在300分钟的时候武大靖领先,在250分钟前西盖尔领先,那么在两个时间段中间是不是必定存在一个时间点使得他们两人相遇?那么这个点就是解决问题的关键。借助波利亚的提示语,以润物无声的方式渗透转化与类比的数学思想方法,为建立方程模型播下种子。

W老师带领学生从现实世界不等关系中逐步抽象出等式关系,本质为分段函数在不同情形下对应的一元一次方程,符合七年级学生由知识学习的难度水平提升到素养层面。中国队冬奥会夺金的例子不仅可以提高学生的学习兴趣,还能增强学生的民族自豪感,落实立德树人。

3.3 构建方程 执行方案 得出结论

数学意义蕴涵在运算与推理中,基于口头表述对生活现象进行分析缺乏严谨的论证思维。建立方程的困难就是数学化的困难,数学语言学习的最好方法就是解读生活实例,用数量关系或几何图形阐释生活问题。执行方案阶段教师要引导学生将数量关系明晰为方程模型,使学生会用数学的语言来表达现实世界。学生在明白电话计费采用“进-法”后,思维的严密性得到了训练,领悟数学与现实世界的交流方式,运用理性的思维来分析社会现象,打破思维定势,实现合理表达。接着同学们通过合作交流和教师指导得到表3,当150350时,方式一费用仍然为58+0.25(t-150),但方式二的计费已经发生了改变,为88+0.19(t-350)。在教学中要采用合作学习的方式,倡导同桌交流、组内合作和小组竞争,调动学生的学习积极性,满足每位同学“表现欲”、“参与感”和“归属感”等情感体验。同时,这也是问题解决教学中采用的主要学习方式,同伴互学集思广益,增强合作意识,提升数学建模素养。

表3 计费方式符号表征

波利亚认为类比推断是最普遍的推论方法,是学生领悟逻辑推理的最好方式。要找两个费用相等时的时间节点,只需要构建方程“58+0.25(t-150)=88”,最终求得t=270。在把问题拆分研究完后,又需要把各种情况组合起来得出结论,即t<270时,选择方式一更省钱,t>270时,选择方式二省钱,t=270时,方式一、方式二均可。在执行方案时,W老师再次告诫同学们使用策略,遵循算理,使学生养成一丝不苟的计算习惯。

3.4 回顾反思 深化概念 发展能力

课堂总结是课堂的升华阶段,教师要对整堂课进行检查反思,提升自身专业素养,实现教学相长。在回顾反思过程中,老师只扮演启发者的角色,以解题表上的提示语逐步引导学生作答,实现对数学知识与方法更深层次的内化。“能检验这个结果吗?”更加具象地将解答结果与生活常识的估计值进行比较,再一次验证结果的正确性,增强利用数学知识解决实际问题的成就感。在检验结果的过程中,学生运算能力、推理能力和数据观念均得以发展。“能回顾问题的论证过程吗?”从梳理条件到以图示意来深刻理解题目,从数据分析到分解问题以寻求解决问题的方案,从构建方程到求解方程最后得出结论,在教师的引导下学生“再认识”问题解决活动,关键能力一步一步地得到巩固提升。“问题的关键在哪里?”“主要的困难是什么?”根据问题进行讨论发现,问题的核心是建立方程,问题解决的关键就是求分类关键点,然后再根据关键点进行分类讨论,将电话计费问题转化成方程问题,困难之处在于将文字语言和图形语言以数学语言来表述。学生要把问题解决过程中自己思考到的富有创造性的手段变成未来自己可以反复使用的方法,从而提升问题解决能力。即用“先假设再调整”和“分段计算”的方法来解决分段计费问题,在迁移应用中提升个体自身的数学能力。“可以在别的什么地方利用这个结果吗?”老师不仅仅让学生帮助自己解决计费问题,还引导学生帮助父母解决问题,帮助父母选择最实惠的手机套餐,厉行节约。既培养了学生的创新意识和应用意识,又进行了情感的熏陶,落实立德树人的教育根本目标。

从实际问题出发,带领学生将生活问题抽象为数学问题,构建方程模型求解,最后回归于解答实际问题。由此可见,借助波利亚的提示语和建议,可以帮助教师带领学生梳理问题解决问题,实现学生思维品质上的升华,关键能力上的发展,正确价值观上的树立,对学生数学核心素养的培育大有裨益。

利用波利亚理论进行问题解决教学,研究发现数学核心素养各成分有不同表现。在理解题目阶段应当引导学生分析题目的脉络,注重对基础知识的培养,让学生学会利用数形结合的方法抽取题目信息,会用数学的眼光观察现实世界;在拟定方案阶段,注重对学生的启发诱导,以适时、适当、适切的问题驱动学生寻找“有用的念头”,分析题目中的原理、技巧以及思想方法,会用数学的思维思考现实世界;在执行方案阶段,要认真检查每一个步骤,确保计算的准确性和整体逻辑的严密性,会用数学的语言表达现实世界;在回顾反思阶段,要培养学生的发散思维和回顾意识,引导学生对问题进行总结、反思、归纳、推广,真正学会“做数学”,彰显数学核心素养的育人价值。

在问题解决的过程中培养数学核心素养的培育也不是一蹴而就的。教师若能长期有意识、常态化使用波利亚的提示语和建议,有助于学生审题习惯、寻根习惯、调整思路习惯、变式推广习惯和总结归纳习惯的自然养成。学生在问题解决的过程中总结提炼具有自己风格的提示语,使数学核心素养潜移默化地落地生根。