变指标Fofana 空间及其预对偶空间∗

杨凡，周疆

(新疆大学数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)

0 引言

变指标Lebesgue 空间Lp(·)最早可以追溯到1931 年Orlicz[1]的文章.近些年相关空间Lp(·)的研究主要是基于Kováčik 和Rákosní[2]在1991 年的工作,学者们讨论了空间Lp(·)的基本性质,例如: Banach 空间、自反性、可分性、一致凸性、Hölder 不等式和高维Euclidean 空间上Lp(·)Lq(·)的嵌入.2001 年,Fan 等[3]进一步研究了文献[2]中的结果.2011 年,Diening 等[4]更全面地总结了空间Lp(·)的性质.

1970 年,Stein[5]证明了分数次积分算子Iγ在空间Lp上的有界性.2007 年,Capone 等[6]将该结果推广到空间Lp(·)上.1982 年,Chanillo[7]首次引入了交换子[b,Iγ],其中b ∈BMO(Rn),并且证明了在空间Lp上的有界性.2010 年,Izuki[8]将该结果推广到了空间Lp(·)上.

1926 年,耦合空间(L1,ℓ2)(R)和(L2,ℓ∞)(R)由Wiener 引入[9].1975 年,Holland[10]给出了Wiener 耦合空间的一般形式(Lp,ℓq)(Rn).2012 年,Aydin 和Gürkanli[11]给出了Wiener 型加权变指标耦合空间(Lp(x),Lqω)(Rn)和(,Lqυ)(Rn),证明了它们是Banach 函数空间并给出了相应的Hölder 不等式和嵌入定理.

1988 年,Fofana[12]引入Fofana 型耦合空间(简称Fofana 空间).2019 年,Fofana 空间的预对偶空间由Feichtinger 和Feuto 引入[13].2022 年,Zhang 和Zhou[14]介绍了混范耦合空间及其预对偶空间,并且刻画了分数次积分算子及其交换子的有界性.

受上述工作启发,本文引入变指标Fofana 空间(Lp(·),Lq)α(Rn)(1

1 预备知识

设1 ≤p,q ≤∞,耦合空间(Lp,ℓq)(Rn)的范数记为‖f‖p,q=‖{‖fχIk‖Lp(Rn)}k∈Zn‖ℓq(Rn).对任意r>0,

依然不存在α>0 使得其范数

为克服以上不足之处,Fofana[12]引入了Fofana 空间(Lp,ℓq)α(Rn),定义如下:

此外还有连续型的Fofana 空间(Lp,Lq)α(Rn),定义如下:

其中

B(x,r)={y ∈Rn:|y-x|

分数次积分算子Iγ的定义为:

对于局部可积函数b,分数次积分算子的交换子[b,Iγ]的定义为:

有界平均震荡函数空间BMO(Rn)是指:

其中上确界取遍Rn中的所有球体,fB是f 在球体B 上的平均.

给定开集E ⊂Rn和可测函数p(·):E →[1,∞),Lp(·)(E)是指E 上的可测函数f 构成的集合,使得对于某个λ>0,

其Luxemburg-Nakano 范数为:

满足以上条件的空间称为变指标Lebesgue 空间.若p(·)=p 是一个常数,则Lp(·)(E)与Lp(E)等距同构.全文用p(·)代替p 来强调指标是一个函数而不是一个常数.

(E):={f:f ∈Lp(·)(F),对所有紧子集F ⊂E}.

P(E)为p(·):E →[1,∞)且满足1

p-=essinf{p(x):x ∈E}>1,p+=esssup{p(x):x ∈E}<∞.

定义p′(x)=p(x)/(p(x)-1).B(E)为p(·)∈P(E)且使得Hardy–Littlewood 极大算子M 在Lp(·)(E)上有界的可测函数p(·)的集合.

在文中,对给定的球体B:=B(x,r)={y ∈Rn:|y-x|0.符号C 表示不依赖于主变量的正常数并且每次出现都不一定是相同的.C′∼C′′表示C′与C′′等价,即C′≾C′′(C′≤CC′′),C′′≾C′(C′′≤CC′).

在空间Lp(·)中一些重要引理如下.

引理1[15]设开集E ⊂Rn和p(·)∈P(E),假设p(·)满足

和

则p(·)∈B(E).

引理2[2]设p(·)∈P(E).若f ∈Lp(·)(E)和g ∈Lp′(·)(E),则fg 在E ⊂Rn上可积且

其中rp=1+1/p--1/p+.

上述不等式称为空间Lp(·)上的广义Hölder 不等式.

引理3[4]设p(·)∈P(Rn)满足引理1 中的式(1) 和式(2),则‖χQ‖Lp(·)(Rn)∼|Q|(1/pQ)对每个方体(或球体)Q ⊂Rn都成立.更确切的,

对每个方体(或球体)Q ⊂Rn成立,其中p(∞)=和pQ是p 在Q 上的平均.

引理4[16]假设p(·)∈B(Rn),则存在常数C>0 使得对所有球体B ∈Rn,有

2 变指标Fofana 空间(Lp(·),Lq)α(Rn)

在本节中,我们介绍变指标Fofana 空间(Lp(·),Lq)α(Rn)的定义及其性质.

设p(·)∈P(Rn),1 ≤q ≤∞,耦合空间(Lp(·),Lq)(Rn)的定义为:

定义1设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞.若f ∈Lp(·)loc(Rn),则

(Lp(·),Lq)α(Rn):={f:‖f‖(Lp(·),Lq)α(Rn)<∞},

其中

命题1(Lp(·),Lq)α(Rn)的一些性质:

(i)当p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞时,若p(·)≤α ≤q,则(Lp(·),Lq)α(Rn)˛→(Lp(·),Lq)(Rn).

(ii)若1 ≤α ≤∞,当p(·)=α,q=∞时,(Lp(·),Lq)α(Rn)就是经典的Lα(Rn)空间.

证明由直接计算可得:

(i)当p(·)≤α ≤q 时,

因此,(Lp(·),Lq)α(Rn)˛→(Lp(·),Lq)(Rn)并且‖f‖(Lp(·),Lq)(Rn)≾‖f‖(Lp(·),Lq)α(Rn).

(ii)当p(·)=α,q=∞时,结果显然可得.

命题2设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞,则(Lp(·),Lq)α(Rn)是Banach 空间.

证明首先证明三角不等式.对于f,g ∈(Lp(·),Lq)α(Rn),可得

正则性和齐次性是显然的.因此,证明了(Lp(·),Lq)α(Rn)是具备范数‖·‖(Lp(·),Lq)α(Rn)的空间.

‖fj+1-fj‖(Lp(·),Lq)α(Rn)<2-j.

对于几乎处处x ∈Rn,

和

故证明了(Lp(·),Lq)α(Rn)是Banach 空间.

引理5设f ∈(Rn),p(·)∈P(Rn),则

证明假设1

利用广义Hölder 不等式,

由引理3 可得

因此,

由Lebesgue 微分定理可知

命题3设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞,(Lp(·),Lq)α(Rn)是非平凡的当且仅当p(·)≤α ≤q.

证明假设(Lp(·),Lq)α(Rn)是平凡的.利用反证法,由引理5 可得

因此,假设α>q,f/=0,则

故证明了α ≤q.

假设α < p(·),可知α < p-.只需证明对任意的球体B(x0,r0) 有‖χB(x0,r0)‖(Lp(·),Lq)α(Rn)=∞,则说明(Lp(·),Lq)α(Rn)是平凡的,故可得到α ≥p(·).接下来证明以上假设,若x ∈B(x0,r/2)和2r0

即B(x0,r0)⊂B(x,r).因此,

另一方面,若p(·)≤α ≤q,很容易得到χB(0,1)∈(Lp(·),Lq)α(Rn).显然的,

若r>1,由1/α-1/p(·)≤1/α-1/p+≤0,可得

对于r ≤1,由1/α-1/q ≥0 和引理3 可得

命题得证.

3 变指标Fofana 空间的预对偶空间

设Qr,k=r[k+[0,1)n](k ∈Zn) 和‖{ak}k∈Zn‖ℓq(Rn):=

命题4设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.定义“离散”变指标Fofana 空间.

其中r‖f‖p(·),q=‖{‖fχQr,k‖Lp(·)(Rn)}k∈Zn‖ℓq(Rn)和

因此,

其中正等价常数不依赖于函数f.

在证明命题4 之前,以下两个引理是必要的.

引理6设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.对任意的常数ρ ∈(0,∞),有

其中正等价常数不依赖于函数f.

证明首先,当ρ>1 时,有

其次,证明反向不等式.取N ∈N 和{x1,x2,···,xN},使得

其中N 不依赖r 并且N ∼1.因此,对任意的x ∈Rn,有

根据Lebesgue 测度的平移不变性和N ∼1,可知

当ρ ∈(0,1)时,只需要替换r 为r/ρ,即可得证.

引理7设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q,则有

其中正等价常数不依赖于函数f.

证明根据引理6,只需证明

对于任意给定x ∈Rn,令Ax:=则Ax的基数是有限的并且x ∈因此,

两边同时乘以r(n/α-n/p(·)-n/q),再对x 取Lq-范数,有

利用与引理6 相似的估计,存在N ∈N 和{k1,k2,···,kN},使得

其中N 不依赖于r 并且N ∼1.根据Lebesgue 测度的平移不变性,有

上式中最后一个不等式的估计具体如下:

因此,证明了

接下来证明反向不等式.显然可得

引理得证.

命题4 的证明:根据引理7 可知

当r=1 时,可得

下面给出“离散”变指标Fofana 空间(Lp(·),ℓq)α(Rn)的预对偶空间.

定义2设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.空间H(p(·)′,q′,α′)定义为(Rn)中所有满足以下条件元素的集合.存在C×(0,∞)×(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)中的元素序列{(cj,rj,fj)}j≥1使得

称C×(0,∞)×(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)中满足式(3)∼(5)的元素序列{(cj,rj,fj)}j≥1为f 的块分解.对于H(p(·)′,q′,α′)中任意元素f

其中下确界取遍f 的所有块分解.

命题5设f ∈(Rn),0<α<∞和0

(i) St(rα)是(Rn)到(Rn)的自身映射.

(iv) supr>0‖St(α)r(f)‖p(·),q=‖f‖p(·),q,α,其中p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.

根据命题5 和定义2 可以得到以下结果.

命题6设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q,则(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)是H(p(·)′,q′,α′) 的稠密子集.

证明首先证明(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)连续嵌入到H(p(·)′,q′,α′).假设对于任意0/=f ∈(Lp(·)′,ℓq′)(Rn),可得

和

因此,f ∈H(p(·)′,q′,α′)满足

接下来证明(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)在H(p(·)′,q′,α′)中的稠密性.若{(cj,rj,fj)}j≥1是f ∈H(p(·)′,q′,α′)的块分解,则取序列

可得

因此,(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)是H(p(·)′,q′,α′)的稠密子集.

定理1(i) 设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.若 g ∈(Lp(·),ℓq)α(Rn)和f ∈H(p(·)′,q′,α′),则有fg ∈L1(Rn)且

(ii) 设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞和p(·)≤α ≤q.算子T :gTg定义为

使得(Lp(·),ℓq)α(Rn)与H(p(·)′,q′,α′)∗是等距同构的.

接下来证明定理1,证明方法参阅文献[9].首先证明以下引理.

引理8(i)设p(·)∈P(Rn),1

(ii)设p(·)∈P(Rn),1

证明(i)对于0

(ii) 根据文献[10] 的定理2 和文献[2] 的定理2.6,可得(Lp(·),ℓq)(Rn) 的对偶空间是(Lp(·)′,ℓq′)(Rn).令q={qn}n∈N,若(Lp(·),)(Rn)的对偶空间是(Lp(·)′,)(Rn),其中=(q1,q2,···,qn-1),则

因此,(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)与(Lp(·),ℓq)(Rn)的对偶空间等距同构.(Lp′(·),ℓq′)(Rn)中有一个特殊的元素φ(T)使得

并且

定理1 的证明: 首先证明(i).令{(cj,rj,fj)}j≥1是f 的块分解.对任意的j ≥1,由命题6 和式(9)可得

因此,

对f 的所有块分解取下确界,可得

其次证明(ii).由(i) 可知Tg∈H(p(·)′,q′,α′)∗.

对任意的a1,a2∈R,g1,g2∈(Lp(·),ℓq)α(Rn),显然可得

T(a1g1+a2g2)=a1Tg1+a2Tg2

和

即T 是线性的并且是从(Lp(·),ℓq)α(Rn) 到H(p(·)′,p(·)′,α′)∗的有界映射,满足‖T‖ ≤1.对任意的g1,g2∈(Lp(·),ℓq)α(Rn)⊂(Lp(·),ℓq)(Rn),若Tg1=Tg2,则对任意f ∈(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)⊂H(p(·)′,q′,α′),有Tg1(f)=Tg2(f).

故g1=g2,也就是说T 是单射.

接下来证明T 是满射.设T 是H(p(·)′,q′,α′)∗中的元素,根据命题6 可知,(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)中元素T 的限制T0∈H(p(·)′,q′,α′)∗,故有1/p(·)′≤1/α′≤1/q′.

(Lp(·),ℓq)(Rn)中有元素g,使得对任意f ∈(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)有

因此,对于f ∈(Lp(·)′,ℓq′)(Rn)和r>0,有

根据假设T ∈H(p(·)′,q′,α′)∗,有(f)∈H(p(·)′,q′,α′)再利用式(7),可得

则对任意g ∈(Lp(·),ℓq)α(Rn),由命题5 可知

‖g‖p(·),q,α≤‖T‖.

根据式(11)和命题6,可得

故T 是满射且‖g‖p(·),q,α≤‖T‖.

引理9设p(·)∈P(Rn),1 ≤q,α ≤∞,p(·)≤α ≤q 和χB(x0,r0)是在球体B(x0,r0)上的特征函数,则

证明由计算可得

若r>r0,p(·)∈P(Rn).当r>r0≥1 时,则由n/α-n/p(·)≤0,可知

当r>1>r0时,则由n/α-n/p(·)≤0,可知

当1 ≥r>r0时,则由n/α-n/p(·)≤0,可知

若r ≤r0,p(·)∈P(Rn),由1/α-1/q ≥0,有

故‖χB(x0,r0)‖(Lp(·),Lq)α(Rn)≾.

接下来证明‖χB(x0,r0)‖H(p(·),q′,α′)≾.根据与式(6)相似的估计,有

因此,

根据定义2 和命题4,

利用与‖χB(x0,r0)‖(Lp(·),Lq)α(Rn)≾证明相似的估计,取r0/r>1 和r0/r ≤1,有

引理得证.

4 变指标Fofana 空间中分数次积分算子及其交换子有界性的刻画

引理10设b ∈BMO(Rn).对任意的球体B ∈Rn和任意的正整数j ∈Z+,有

|b2j+1B-bB|≾(j+1)‖b‖∗.

证明

引理11[17]设p(·)∈B(Rn),k 是一个正整数,球体B ∈Rn,则对所有的b ∈BMO(Rn)和所有的j,i ∈Z(j>i),

其中Bi={x ∈Rn:|x|≤2i}和Bj={x ∈Rn:|x|≤2j}.

引理12[6]给定开集Ω ∈Rn,0<α

引理13[8]假设p1(·)∈P(Rn)满足引理1 的条件(1) 和(2),0<α

‖[b,Iα]f‖Lp2(·)(Rn)≾‖b‖∗‖f‖Lp1(·)(Rn).

定理2设p1(·),p2(·)∈P(Rn)满足引理1 的条件(1) 和(2),0<γ

注1条件γ=n/α-n/β 对于分数次积分算子Iγ有界是必要的.令δtf(x)=f(tx)(t>0),则

因此利用Iγ是从(Lp1(·),Ls)α(Rn)到(Lp2(·),Lq)β(Rn)的有界算子,可知

故γ=n/α-n/β.

定理2 的证明:通过注1,只需证明若γ=n/α-n/β,则Iγ在变指标Fofana 空间上有界.设p1(·),p2(·)∈P(Rn),p1(·) < α < q < ∞,p2(·) < β < q < ∞,0 < γ < n/p+1,n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ 和f ∈(Lp1(·),Lq)α(Rn).固定x ∈Rn,r>0,记B=B(x,r),2B=B(x,2r).分解f=f1+f2,其中f1=fχ2B,f2=f-f1.计算得

首先估计I1.因为分数次积分算子Iγ是从Lp1(·)(Rn) 到Lp2(·)(Rn) 的有界算子并且 n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ,因此可得1/β-1/p2(·)-1/q=1/α-1/p1(·)-1/q.再利用-1<1/α-1/p1--1/q<1/α-1/p1(·)-1/q<0,则有

接下来估计I2,当y ∈B(x,r),z ∈B(x,2r)c时,显然|y-z|≈|x-z|,将Rn分解为几何递增的同心球序列,利用广义Hölder 不等式,可得

因为n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ,由此可得1/β-1/p2(·)-1/q=1/α-1/p1(·)-1/q.根据以上估计,由引理3 和1/β-1/q>0,可知

两边同时取Lq-范数并利用Minkowski 不等式,可得

故两边同时对r>0 取上确界,定理得证.

定理3设p1(·),p2(·)∈P(Rn)满足引理1 的条件(1) 和(2),0<γ

(i) b ∈BMO(Rn);

(ii) 线性交换子[b,Iγ]是从(Lp1(·),Lq)α(Rn)到(Lp2(·),Lq)β(Rn)的有界算子.

证明设p1(·),p2(·) ∈P(Rn),p1(·) < α < q < ∞,p2(·) < β < q < ∞,0 < γ < n/p+1,n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ,f ∈(Lp1(·),Lq)α(Rn)和b ∈BMO(Rn).固定x ∈Rn,r>0,记B=B(x,r),2B=B(x,2r).分解f=f1+f2,其中f1=fχ2B,f2=f-f1.计算可得

首先估计J1.因为交换子[b,Iγ]是从Lp1(·)(Rn)到Lp2(·)(Rn)的有界算子并且n/p1(·)-n/p2(·)=γ,n/α-n/β=γ,由此可得1/β-1/p2(·)-1/q=1/α-1/p1(·)-1/q.再利用-1<1/α-1/p1--1/q<1/α-1/p1(·)-1/q<0,可得

接下来估计J2.

当y ∈B(x,r),z ∈B(x,2r)c时,显然|y-z|≈|x-z|,将Rn分解为几何递增的同心球序列,利用广义Hölder不等式,可得

根据以上估计,利用引理10、引理11 和-1<1/β-1/p2(·)-1/q=1/α-1/p1(·)-1/q<0,1/β-1/q>0,可得

两边同时取Lq-范数再利用Minkowski 不等式,可知

故两边同时对r>0 取上确界,可得J2的估计.

假设[b,Iγ]是从(Lp1(·),Lq)α(Rn)到(Lp2(·),Lq)β(Rn)的有界算子.利用Janson[18]的方法.取0/=z0∈Rn使得0/∈B(z0,2).则有x ∈B(z0,2),|x|n-γ∈C∞(B(z0,2)).因此,|x|n-γ可以记为绝对收敛的Fourier 级数:

对任意的x0∈Rn和t>0,记B=B(x0,t)和Bz0=B(x0+z0t,t),则

若x ∈B,y ∈Bz0,则(y-x)/t ∈B(z0,2).因此,

由式(8)和命题4,可知

由引理9 计算可得

因此,

根据假设和引理9,可得

故有

即证得b ∈BMO(Rn).

5 结论与展望

本文在经典的Fofana 空间及其预对偶空间的基础上,引入了变指标Fofana 空间及其预对偶空间.研究了空间的相关性质并且得到了分数次积分算子有界的充分必要条件,利用预对偶空间的相关性质得到了交换子有界的充分必要条件.

进一步可以考虑对空间进行加权或者其它算子在此空间中的有界性,例如: 具有粗糙核的奇异积分算子及其交换子、齐次分数次积分算子及其交换子、θ 型-奇异积分算子及其交换子等.