滚动轴承径向游隙可靠性设计

李军星，宁世杰，邱 明

（1. 河南科技大学 机电工程学院，河南 洛阳 471003； 2. 高端轴承河南省协同创新中心，河南 洛阳 471003）

滚动轴承是一种精密机械元件，在机械行业应用广泛。其性能和可靠性会直接影响机械设备的工作性能、寿命及运行安全。影响滚动轴承寿命和可靠性的一个关键因素是其径向游隙：若径向游隙过小，会使轴承的摩擦力矩增大，进而产生摩擦热，易引发轴承发热而损坏；若径向游隙过大，则会造成设备在运行过程中振动较大，从而导致轴承的使用寿命缩短。以往大多是根据轴承径向游隙公差带或者工程经验来确定轴承径向游隙的合理区间，导致误差非常大。因此，滚动轴承径向游隙的可靠性设计一直是机械设计领域研究的重点和难点。

已有很多学者开展了滚动轴承径向游隙优化设计研究。如：李皓川等[1]在极变换的基础上提出了一种选点的方法，结合稀疏响应面，对滚动轴承工作游隙极限状态函数进行拟合，并基于有限元方法计算出工作游隙；郑牧等[2]对轴承安装后的径向游隙减小量进行了分析和计算，推导了轴承的原始径向游隙；邱明等[3-4]分析了轴承径向游隙的变化对轴承刚度及疲劳寿命的影响，指出径向游隙是影响轴承力学性能的关键指标；沈宇涵等[5]分析了圆柱滚子轴承径向游隙对径向刚度的影响；胡北等[6]考虑了轴承温升、径向载荷等因素的影响，分析并计算了轴承径向游隙。然而，以上研究大多是通过修正经验公式或仿真分析来确定滚动轴承径向游隙的合理范围，缺乏对滚动轴承整个部件可靠性的考虑。

针对产品的可靠性设计，应力-强度干涉模型在工程实际中已得到广泛应用。如：Zhang等[7]研究了应力分布与强度分布之间的关系，引入条件可靠度的概念，建立了在单应力和多应力作用下的系统可靠性模型；Ali等[8]讨论了形状参数不同时应力和强度分别服从广义Weibull分布以及对数正态分布时的应力-强度干涉模型，并对系统可靠性进行了评估；Wang等[9]建立了在应力和强度服从一定分布时可靠度的极大似然估计模型，并确定了可靠度置信区间；杨晓蔚[10]运用应力-强度干涉理论，在轴承寿命分布为Weibull分布的前提下，建立了评估可靠寿命的Weibull失效概率密度函数表达式和可靠度函数表达式；张先超等[11]推导了基于应力-强度干涉理论的可靠度计算公式，并提出了当应力和强度分别同时服从单参数和双参数指数分布时的可靠度估计方法；伊枭剑等[12]提出了基于应力-强度干涉模型的可靠性设计方法，将火工品感度参数和外界刺激参数引入应力-强度干涉模型，来评估火工品的可靠性。

本文提出了一种基于应力-强度干涉模型的滚动轴承可靠性设计方法。首先，将轴承原始径向游隙和失效径向游隙看作随机变量，构建轴承二维随机干涉模型；其次，针对工程中常用的轴承原始径向游隙和失效径向游隙分布模型，推导了滚动轴承可靠性评估解析式和径向游隙置信区间；最后，结合工程实例及现行国家标准，验证本文方法的有效性和适用性。

1 滚动轴承径向游隙可靠性设计模型

研究发现，滚动轴承游隙与轴承的多种失效模式密切相关，是影响轴承可靠性的重要因素[13]。根据大量试验可知，由于在生产过程中加工、装配等因素的影响，轴承原始径向游隙呈随机分布，而造成轴承失效的失效径向游隙也因工作环境的影响而呈随机分布。因此，本文引入应力-强度干涉模型。此处应力和强度的概念是广义的，应力指影响零件性能和功能的各种环境因素，强度指零件抵抗应力的因素。轴承的原始径向游隙会影响轴承所受应力的分布，而失效径向游隙是轴承抵抗应力所导致的，因而，将原始径向游隙X看作应力因素，失效径向游隙Y看作强度因素，则轴承的可靠度R可以定义为[14]：

式中：P为概率值，f(x)为应力的概率密度函数，g(y)为强度的概率密度函数。

在给定轴承径向游隙X时，可通过式(1)对轴承进行可靠性评估。

此外，由于工程中更关注轴承原始径向游隙的设计，则根据式(1)，可以设计出在给定可靠度R下轴承原始径向游隙XR：

同时，考虑到轴承原始径向游隙的估计精确程度取决于样本容量的大小，仅用点估计是不够的，因此给出轴承原始径向游隙的置信区间：

式中：下标l和u分别表示各参数值的下限与上限。

由此，可以对轴承的原始径向游隙进行设计,使得该轴承的可靠性达到要求。

2 滚动轴承径向游隙可靠性设计方法

轴承原始径向游隙和失效径向游隙都是服从一定分布的随机变量，可以通过试验数据拟合得到，一般服从正态分布和对数正态分布的较多。本文分别讨论轴承原始径向游隙和失效径向游隙同时服从正态分布、对数正态分布、指数分布和Weibull分布（分别表示为正态分布-正态分布、对数正态分布-对数正态分布、指数分布-指数分布、Weibull 分布-Weibull 分布）时滚动轴承可靠性设计方法。

2.1 正态分布-正态分布

假设原始径向游隙X服从正态分布，失效径向游隙Y服从正态分布，其中μx、σx分别为X的均值和标准差，μy、σy分别为Y的均值和标准差，则X、Y的概率密度函数分别为：

令Z=Y-X，根据正态分布的加法定理可知，Z服从正态分布，且：

则式(1)可变换为：

令u=(z-μz)/σz，得到原始径向游隙和失效径向游隙均服从正态分布时轴承的可靠度为：

式中：Φ(•)为标准正态分布函数。

根据式(1)可以得到在给定可靠度R下轴承的可靠度指标为：

因此，当轴承可靠度为R时可以设计出轴承原始径向游隙：

在实际中，均值和方差是通过样本统计分析获得的，其精度由样本容量决定，且仅用点估计是不够的，因此进一步设计轴承原始径向游隙的置信区间。

由于μx、μy、σx、σy也是随机变量，根据随机变量参数区间估计理论和区间数扩张原理，考虑了随机变量参数估计区间后，式(8)可改写为[15]：

由数理统计理论可知：

则在置信度为1-α下，μx的下限和上限为：

式中：Zα/2为标准正态分布的百分位点。

将式(13)代入式(8)，可得：

当样本数量nx、ny足够大时，可近似认为σx=Sx,σy=Sy，其中Sx、Sy分别为X、Y的样本标准差。将Sx、Sy代入式(13)，可得轴承可靠度指标ZR的区间。

当样本数量nx、ny不是很大时，(μy-μx)的下限和上限为：

式中：v为自由度。

取v为整数，则风险系数α′[15]为：

根据概率论与数理统计，可得：

进而可得：

将式(15)和(19)代入式(8)[15]，可得ZR的下限和上限为：

由式(8)、(9)、(11)、(20)可得当可靠度为R时μx的下限和上限为：

2.2 对数正态分布-对数正态分布

假设原始径向游隙X服从对数正态分布，失效径向游隙Y服从对数正态分布，其中μx、σx分别为X的对数均值和对数标准差，μy、σy分别为Y的对数均值和对数标准差，则X、Y的概率密度函数分别为：

根据式(1)可得：

式中：Z=lnY- lnX。

根据正态分布的加法定理可知，Z服从对数正态分布，且：

由于X和Y均服从对数正态分布，其对数形式服从正态分布，推导过程与2.1 节一致，这里不再赘述，只给出最终的原始径向游隙估计区间。

由(21)式易知，当可靠度为R时μx的下限和上限为：

2.3 指数分布-指数分布

假设原始径向游隙X服从指数分布E(μx)，失效径向游隙Y服从指数分布E(μy)，其中μx、μy均为服从指数分布的一个参数，则X、Y的概率密度函数分别为：

在没有给出μx和μy确切数值的情况下，需要根据样本数据对R进行估计，这里采取极大似然估计法。根据极大似然估计的不变性[16]，可以得到μx、μy的 估 计 值，则 可 靠 度R的 估 计值为：

根据式(1)可得[10]：

则：

设x1,x1, …,xm和y1,y2, …,yn分别来自样本总体X和Y，则μx和μy的函数分别为：

由文献[17]可得μx和μy的极大似然估计分别为：

则：

对式(35)作变换，可以得到原始径向游隙和失效径向游隙均服从指数分布时轴承的可靠性设计方法，表示为：

而对于服从指数分布参数的区间估计，可参考文献[18]进行。

2.4 Weibull分布-Weibull分布

假设原始径向游隙X服从Weibull 分布W(ηx,mx)，失 效 径 向 游 隙Y服 从Weibull 分 布W(ηy,my)，其中ηx、ηy、mx、my分别为分布的比例参数和形状参数，则X、Y的概率密度函数分别为：

式中：

式中：

将式(43)变换为：

将式(40)、(42)代入式(44)，可得到原始径向游隙和失效径向游隙均服从Weibull分布时轴承的可靠性设计方法，表示为：

可以将Weibull 分布与指数分布进行变换，因此，对于服从Weibull分布参数的区间估计与指数分布类似，但前者更复杂，也可参考文献[18]进行。

3 工程实例

为了验证本文方法的有效性和适用性，以16004 深沟球轴承为例，进行其可靠性分析。轴承内圈直径d=20 mm，外圈直径D=42 mm，宽度w=8 mm。

采用轴承径向游隙测量仪测试滚动轴承的径向游隙。共采集10组，每组测试3次后取平均值。测试现场如图1所示，测试结果如表1所示。

图1 滚动轴承径向游隙测试现场Fig.1 Test site of radial clearance of rolling bearing

表1 滚动轴承径向游隙测试结果Table 1 Test results of radial clearance of rolling bearing 单位：μm

当样本数据服从Weibull 分布时，参数估计的精度受样本数量的影响较大。一般来说，当样本数量较少时，参数估计很可能不准确，故分别做出原始径向游隙和失效径向游隙服从正态分布、对数正态分布、指数分布时的Q-Q图，进行定性检验。原始径向游隙和失效径向游隙的Q-Q图分别如图2和图3所示。由图可知，原始径向游隙和失效径向游隙的数据同时服从正态分布时的拟合效果比其他分布的效果好。

图2 滚动轴承原始径向游隙的Q-Q图Fig.2 Q-Q diagram of original radial clearance of rolling bearing

图3 滚动轴承失效径向游隙的Q-Q图Fig.3 Q-Q diagram of failed radial clearance of rolling bearing

接下来采用非参数检验（单样本柯尔莫戈洛夫-斯米诺夫检验）进行定量检验。假设样本数据服从原假设，显著性水平为0.05，当样本呈显著性即p＞0.05 时，认为原假设成立。检验结果如表2所示。

表2 滚动轴承径向游隙非参数检验结果Table 2 Non-parametric test results of radial clearance of rolling bearing

由表2可知，原假设为正态分布和对数正态分布时，原始径向游隙和失效径向游隙样本数据的p值均大于0.05，故接受原假设，认为原始径向游隙和失效径向游隙均服从正态分布和对数正态分布。

当样本数据均服从正态分布时，结合试验数据，计算后可得：

进一步进行轴承径向游隙可靠性设计。分别选取工程中常用的可靠度0.95和0.999，对轴承原始径向游隙置信区间进行设计。

通过式(16)计算可得t分布中自由度v=16.877，取整后v=16。

当R=0.95 时，由式(17)可得α′=0.394 5。查表得tα/2(16) = 0.917 6。

同理，有：

将上述数据代入式(21)，可得R=0.95时轴承原始径向游隙的置信区间为：

当R=0.999 时，由式(17)可得α′=0.055 78，查表得tα′/2(16) = 1.926 8。

同理，有：

将上述数据代入式(21)，可得R=0.999 时轴承原始径向游隙的置信区间为：

当样本数据均服从对数正态分布时，计算步骤与正态分布类似，计算过程不再赘述。

轴承可靠度为：

R=0.95时轴承原始径向游隙的置信区间为：

R=0.999时轴承原始径向游隙的置信区间为：

综上可知：当样本数据服从正态分布时，滚动轴承的可靠度为0.898 5；当样本数据服从对数正态分布时，可靠度为0.903 2。不同分布下原始径向游隙置信区间如表3所示。由图2可知，样本数据服从正态分布的拟合效果比对数正态分布好，结合表3可知样本数据服从正态分布时算得的游隙置信区间更为可靠。

表3 不同样本数据分布下滚动轴承原始径向游隙置信区间Table 3 Confidence interval of original radial clearance of rolling bearing under different distributions of sample data

根据GB/T 4604—2006可知[19]，16004深沟球轴承径向游隙的参考范围为[5，20] μm，由此可知算得的径向游隙符合国家标准。此外，采用本文方法可以设计出任意可靠度下的滚动轴承径向游隙置信区间，且结果更加合理可靠。

4 结 论

1）提出了一种基于应力-强度干涉模型的轴承径向游隙可靠性设计方法。将轴承原始径向游隙和失效径向游隙看作随机变量，构建了轴承二维随机干涉模型，从而实现了滚动轴承径向游隙的可靠设计。

2）针对工程中常用的服从正态分布、对数正态分布、指数分布和Weibull分布的径向游隙样本数据，分别推导了求解滚动轴承可靠性和径向游隙置信区间的解析式，为滚动轴承可靠性设计和评估提供了理论依据。

3）将所求得的16004深沟球轴承径向游隙置信区间与现行国家标准对比，结果验证了本文方法的有效性和适用性。