一类拐角问题赏析

许国伟

【摘  要】  以拐角为背景的数学实际应用性问题，解法虽异曲同工，却颇有新意，本文结合两则典例赏析，以拓宽学生思维路径，培养学生的“求同存异”思维.

【关键词】  高中数学；拐角；解题技巧

拐角，日常生活中随处可见，于是以拐角为背景的数学实际应用性问题应运而生，解法虽异曲同工，却颇有新意，体现了数学思维的“求同存异”.本文介绍两例，与大家共赏.

例1   东水西调水利工程，把东部的水资源调配到西部缺水地区，充分解决了西部地区的用水问题，同时，也加快了我国西部地区的工农业发展.在输水管道的铺设过程中，有一段直线形水管的铺设必须要经过一段平行峡谷，勘探人员在峡内恰好发现一处四分之一圆柱状的圆弧拐角，用测量仪器得到此横截圆面的圆心为，半径且为米，而运输人员利用运输工具按照水平横向来移动直线形水管，无法回避这一圆弧的拐角，必须从宽度是米的峡谷中拐入宽度是米的另一个峡谷.示意图如图1，而位于峡谷悬崖壁上的两个点与的连线段刚好与该圆弧的拐角相切，且点为（点，，在同一水平面内），若要使得直线形输水管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过______米.

解析  设，其中，

延长OM，交AB于D，过B做SB垂线，交DO于G，延长ON，交AB于E，

過A做SA垂线，交NO于F，如图2所示.

在Rt中，，，

则，即，

在中，，，

则，即，

在中， ，，

所以，

又，

所以，

所以=，

因为，

其中，当且仅当时，等号成立，

所以

= ，

当且仅当，即时等号成立，所以若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角，其长度不能超过75米.故答案为75.

点评  本题本质上是平面几何背景下的三角函数最值问题，解题的关键是根据题意，得到AB长度的表达式，难点在于需利用凑“1”法，将表达式化简成齐次式，结合基本不等式求解，考查计算化简的能力，属中档题.在解答过程中反复进行三角变换并应用基本不等式，体现了数学解题的灵活性，值得我们好好回味！

例2  图3是某一“”型水渠的俯视图，水渠南北走向与东西走向的轴截面都是矩形，已知南北走向的渠道的宽度是4米，东西走向的渠道宽度是米（从拐角处，就是图中两点处开始）．假如渠道内的水面始终一直保持无高度差的水平位置．

（1）在水平面内，一条直线过点A且与水渠的内壁相交于，两点，若该直线与水渠的一边的夹角是，请把线段的长度用自变量为的函数来表示；

（2）如果从南面顺着水流漂来一根7m长笔直的竹竿，它始终漂在水平面上（粗细不计），试问：该竹竿可否从拐角处出发，不会被卡住，一直漂到东西走向的水渠中？请说明理由．

解析  （1），

，

所以，

即．

（2）设，，

由，

令，得，

且当，；

当，，

故在区间上递减，在区间上递增，

于是当时，函数取得极小值，该值也是最小值．

当时，，

，

所以，

故该竹竿能顺利通过拐角处的最大长度是m．

因为，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．

点评  本例的重点依然是建立三角函数式，求解过程与例1相比，求三角函数最值方法是利用导数来解决，体现了导数在三角函数最值问题中独特的作用.

结语

上述两个例题属于同一种类型，都是体现了三角函数的最值问题在实际生活中的应用，而最终解决问题的方法不同，例1采用的是三角函数性质和基本不等式，而例2则采用的导数法，从两个例子的解析可以看出，拐角问题最终都可以归结为三角函数最值问题，但如何求最值，必须具体问题具体分析.