极值方法在中学数学解题中的应用

吕实战

【摘  要】  近年来，随着中学数学教学改革的深入及主题单元教学的提出，更强调知识点之间的联系.本文主要研究利用高等数学的思想方法构造初等数学的解题方法，而极值方法是初等数学和高等数学的衔接知识点之一.本文借助极值方法研究中学数学中最值问题的解法，从而进一步探究不同知识板块之间的联系.

【关键词】  高中数学；极值方法；解题技巧

近年来，随着中学数学教学的改革，微积分、概率、空间向量等高等数学的知识点被引入中学数学教育．这给中学数学教学带来新的挑战，也为中学数学解题策略带来新的方向，高等数学中的一些解题方法为初等数学问题的解决提供了更为广阔的空间．最值问题广泛渗透在中学数学各知识块，最值问题的求解是中学阶段的一个主要内容，不但需要有扎实的基础知识，而且需要较高的运算技巧，因而是较难突破的内容，而极值方法的引入为解决这类问题带来新方向.

1  极值简介

1.1  无条件极值

对于函数的自变量除了定義域内的限制，再无其他条件限制，这类极值问题称为无条件极值问题.以下简要介绍二元无条件极值的求解、判断过程.

求函数极值的基本步骤：

（1）解方程组求得定义域内的所有驻点；

（2）对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值，，

；

（3）算出的符号，判断是否为极值，极大值还是极小值.

1.2  条件极值

条件极值是指在一定的约束条件下求解极值的问题，其中拉格朗日乘数法是最常用的方法之一.在中学阶段有很多具有实际背景的问题，通过数学建模转化为二元函数求最值的题型，用中学所学知识解决较为困难或运算难度大，这类问题一般可转化为在一定约束条件下求解最值问题，从而通过条件极值解决这一类问题.以下简要介绍求解二元条件极值的拉格朗日乘数法.

用拉格朗日乘数法求解函数在约束条件下条件极值的基本步骤：

（1）作辅助函数；

（2）设，

则

（3）解上述方程组，可得驻点；

（4）判断驻点是否为条件极值点.若是实际问题，由实际问题判断；若不是实际问题，可由二阶微分判断.

这样把求解函数在约束条件下的条件极值问题转化为函数的无条件极值问题.该方法可推广到多元最值问题.

2  无条件极值在中学数学解题中的应用

距离、面积等最值问题是中学数学学习中的常见题型，也是考试中的高频考点.以下引进极值法来尝试求解这类问题.

例1  在直角坐标平面上求一点，使它到三直线的距离平方之和为最小.

解法1  设所求点为，

则到三直线距离为，

则距离平方和为：，

构造恒等式：，

其中为点到坐标原点的距离与到直线的距离之和，猜测要最小，最小，而的最小为坐标原点到直线的距离，此时点在过坐标原点且垂直直线的直线上，

则，

整理得，

所以当时最小，

则使最小的点为.

解法2

求得唯一可能极值点，根据问题本身可知，距离平方和最小的点必定存在，所以所求点即为.

上述解法1为中学阶段的解法，可看出运算技巧性很强，过程繁难，解题过程中还用到合理猜想，对学生要求太高，可操作性低；解法2为极值法求解，解题过程较简单，可操作性强.

例 2  直线过点且与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，为坐标原点，

（1）当三角形的面积取最小时，求的方程；

（2）当取最小时，求的方程.

解法1  （1）设直线的斜率为，由于直线与轴正半轴相较于点，与轴正半轴相较于点，因此，由点斜式知直线方程可表为.

令可得点坐标；

令可得点坐标；

因此三角形的面积可表示为

因为，所以，

由基本不等式得，

因此

且当，

即时，

此时可得直线方程为，

化简得..

（2）的值可表示为

（3）

因为，

所以.

当且仅当，即时，取得最小值，此时可得直线方程为，

化简得.

解法2  （1）设直线的斜率为，由解法一知三角形的面积可表示为

令，可得唯一驻点.

又，

故函数在时取极小值.

因驻点唯一，极小值点为最小值点，即时三角形的面积最小，

此时可得直线方程为，

化简得.

（2）的值可表示为

令，

由可得唯一驻点.

又，故函数在时取极小值.

因驻点唯一，极小值点为最小值点，

即时的值最小，

此时可得直线方程为，

化简得.

本题是中学经典例题，这两种解法各有千秋，解法1是中学的常规解法，适用于一元和二元的解题过程及结果较简单的最值求解问题；解法2是极值法，它除了可求解一般最值问题，更适应于求解多元的，较复杂的最值求解问题.

3  条件极值在中学数学解题中的应用

带条件最值问题求解在中学阶段有着广泛应用，在函数、数列、不等式、解析几何、三角函数及解三角形等等各知识块都有应用，是中学数学教学的主阵地之一，下面，我们用两种方法进行求解并进行比较.

例 3  已知平面上两定点，.试在椭圆上求一点，使三角形的面积最大.

解法1  设椭圆参数方程为，其中为参数，

则，

又直线AB方程为，

即，

则点C到直线AB距离为：

，

，

则△ABC的面积为

（其中），

因为，

所以（其中），

则当即时，

.

此时三角形面积最大.

解法2  设点的坐标为，由高等数学向量积的定义可知△ABC的面积为

则问题转化为在条件下，求函数的最大值.

作拉格朗日函数，

解方程组

可得唯一驻点，

对应面积为.

而，，比较可知当点的坐标为时，△ABC的面积最大.

在中学阶段对这类问题求解途径有以下几种：1.（几何法）通过求与直线AB平行并且与椭圆相切的直线，得到切点，则切点到直线AB的距离为△ABC的边AB上高的最大值或最小值，从而求出面积的最大值，但本例有限制条件，椭圆为第一象限部分，为问题解决带来较大的困扰；2.（代数法）在椭圆上取点，再求点P到直线AB的距离d，再求面积，这种方法在讨论距离d的最值时需要较强的解题技巧和扎实的运算能力；3.（参数法）通过椭圆参数方程设点，再用点到线距离公式求三角形的高，再求面积.解法1即为参数法求解，设参达到消元的目的把问题转化为三角函数最值讨论，解法2即为拉格朗日乘数法；从上述过程可看出，解法2有较强的可操作性.

例 4  在三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.

（1）求A；

（2）求的取值范围.

解法1  （1）略，可得.

（2）由（1）及余弦定理可得：

，

设，

则，

因为，

所以，

则可得：，

即，

可得：.

解法2  作拉格朗日函数，

解方程组：

可得：，

此时取得最小值，

即.

本例為新编人教版高中数学必修第二册54页第22题改编题，是高中数学考试中的高频考点，解法1为中学阶段的解答思路，它需要较高的运算技巧，且对相同题干求不同式子取值范围又有不同的运算技巧，这是大部分中学生通过大量训练都感觉不好把握的解题方法；解法1是采用极值法求解，可以作为通用的方法通用的思路，可操作性强.

4  结语

随着课程改革的深入，主题单元教学是趋势，它强调知识点之间的联系；初等数学与高等数学的联系也越来越密切，高等数学知识面更广，难度更大，思维层次更高，它可以从不同角度、高观点的分析许多初等数学知识，对很多初等数学的解题具有指导作用.初等数学知识点多，但研究比较浅，停留在面上，更多是解题技巧，知识点之间联系也较少，高等数学恰好能在初等数学知识点的串联上起作用，就如本文研究的极值法就能解决处于不同知识板块的最值问题，能很好地串联起知识，从而减少学生重复做同样的题目和做太难的题目，减少把大量的时间花在解题技巧上，提高中学生学习效率.所以在中学数学教学中可适当渗透高等数学的一些思想方法，对提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，提高学生的数学素养有重要的意义，也让老师能更好地驾驭课堂，提高效率.

参考文献：

[1]周仁国，侯娟娟，陈明.中学数学斜率及其相关问题探讨[J]，遵义师范学院学报，2021，23（04）：1-3，

[2]同济大学数学系.《高等数学》，第七版[M].北京：高等教育出版社，2014.7.

[3]薛彬，张淑梅.《普通高中教科书 数学 必修》，第一版[M].北京：人民教育出版社，2019.7.

[4]姚廷兰，王杏.条件极值在中学数学中的应用研究[J].数理化解题研究，2021（04）：15-17.

[5]华东师范大学数学系.《数学分析》，第一版[M].北京：高等教育出版社，2010.6.