化归思想在初中数学解题教学中的实践应用

袁婕妤

【摘要】本文针对化归思想如何在初中数学解题教学中应用作探讨，同时分享几道解题实践案例.

【关键词】化归思想；初中数学；解题教学

化归思想其实是转化与归结合起来的简称，实质上把一个问题化复杂为简单、化繁为简、化难为易、的过程即为化归，是一种相当重要的解题思想.初中数学教师在平常的解题教学中，当遇到一些比较特殊的数学题目时，就应指引学生转变解题方向与思路，不再使用常规方法，使其尝试基于化归思想切入，重新分析题意与题干中给出的条件，通过化归思想的应用找到新的切入点，让他们顺利解题[1].

1  应用化归思想将未知问题转变成已知问题

例1  如图1所示，在一个等腰梯形ABCD里面，AD∥BC，AB=CD，两条对角线AC和BD相交于O点，而且AC⊥BD，已知AD=3，BC=5，那么AC的长度为多少？

分析  解决这一试题时，可以结合题干中给出梯形对角线是垂直关系这一条件应用化归思想，将对角线进行平移，把未知的等腰梯形转变为已知的直角三角形和平行四边形，从而顺畅的处理问题[2].

详解  过点D画一条辅助线DE∥AC，且与BC的延长线于E点相交，

据此可得AD=CE，AC=DE，

所以BE=BC+CE=5+3=8，

因为AC⊥BD，所以BD⊥DE，

又因为AB=CD，所以AC=BD，

所以BD=DE.

故在Rt△BDE中，根据勾股定理可得BD2+DE2=BE2，

代入相关数据后得到BD=DE=42，

所以AC=42，所以说AC的长度为42.

2  应用化归思想将陌生问题转变成熟悉问题

例2   已知方程2（x－1）2－5（x－1）+2=0，请求该方程的解.

分析  这是一个特殊的一元二次方程，可结合原方程的特点把（x－1）视作未知数，由此将陌生问题转变为熟悉问题，即可轻松解答.

详解  设y=x－1，

那么原方程可转变为2y2－5y+2=0，

解之得y1=2，y2=12，

也就是x－1=2或者x－1=12，

所以x1=3，x2=32，

故该方程的解x1=3，x2=32.

3  应用化归思想将复杂问题转变成简单问题

例3  已知x2+x－1=0，求x3+2x2+2009的值.

分析  这一题目从表面上来看较为复杂，题干中提供的信息较少，无法把x的值直接求出来，不过可应用华化归思想进行化零散为整体或者对x进行降次，由此达到将复杂问题转变为简单问题的效果.

详解  因为x2+x－1=0，所以x2=1－x，

所以x3+2x2+2009=x（1－x）+2（1－x）+2009=－x2－x+2011=－（x2+x－1）+2010=2010，

所以说x3+2x2+2009的值是2010.

4  应用化归思想将一般问题转变成特殊问题

例4  如图2—1所示，假如∠AOB为一个定角，点P为一个定点，而且位于∠AOB的平分线之上，把OP相连接，以OP当作弦画出一个圆，同OA相交于C点，同OB相交于D点，请证明：OD+OC的和为一个定值.

分析  解答本道题目时，要用到化归思想中的特殊方法，即为先将一般问题转变为特殊问题，再从中寻找解题思路，然后分析特殊情况进行解题，从而顺畅证明结论.

详解  如图2—2所示，假设OP位于圆内的特殊位置，不是普通的弦，而是特殊的直径，即为经过圆心，设OP=L，∠AOB=2α，

因为OP经过圆心，

所以∠ODP=∠OCP=90°，OD+OC=2OD=2Lcosα，所以OD+OC的和为一个定值；

当OP不经过圆心，是一条普通的弦时，

如图2—1所示，做出辅助线PF⊥OB，垂足为F点，画出PE⊥OA，垂足为E点，

又因为OP是∠AOB的平分线是，

所以PF=PE，OF=OE=Lcosα，

所以∠PDF=∠PCE，Rt△PDF和Rt△PCE是一对全等三角形，所以DF=CE，

所以OD+OC=（OF+FD）+（OE－CE）=OF+OE=2Lcosα，

所以说OD+OC的和为一个定值.

5  应用化归思想将函数问题转变成方程问题

例5   如图3所示，已知反比例函数y=－8x与一次函数y=－x+2的圖像相交于A、B两点，求：（1）A、B两点的坐标分别是什么？（2）△AOB的面积是多大？

分析  本道题只需将两个函数的解析式联立起来组成一个二元一次方程组，实现由函数问题向方程问题的转变，通过解方程组求出A、B两点的坐标，并根据坐标获得相应的三角形信息，从而求出△AOB的面积[3].

详解  （1）把反比例函数y=－8x与一次函数y=－x+2相联立转变为成一个方程组，

求得x1=4，y1=－2；x2=－2，y2=4，

根据对图像的观察可知点A的坐标为（－2，4），点B的坐标为（4，－2）；

（2）因为直线y=－x+2与y轴的交点是D点，坐标为（0，2），

所以S△AOD=12×2×2=2，

S△BOD=12×2×4=4，

所以S△AOB=S△AOD+S△BOD=2+4=6；

所以说A、B两点的坐标分别是（－2，4）与（4，－2），△AOB的面积是6.

6  应用化归思想实现代数和几何问题的互化

例6  已知△ABC的三条边分别为a，b，c，其中a2+b2+c2=ab+bc+ac，那么△ABC的形状是什么？

分析  解决本道问题时，应当应用化归思想把原问题转变为一个代数类问题，在这里是是“形”向“数”的转化，然后借助凑完全平方式的方式进行解题，显得极为高效，可快速、准确的判断出△ABC形状.

详解  因为a2+b2+c2=ab+bc+ac，

所以2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，

所以a2－2ab+b2+a2－2ac+c2+b2－2bc+c2=0，

由此得到（a－b）2+（a－c）2+（b－c）2=0，

因为括号内的式子只能大于等于0，要想取“=”，只能都为0，

所以a－b=0，a－c=0，b－c=0，

据此可以判断出a=b=c，从而说明这个三角形三条边的长度都一样，

所以说△ABC的形状是是一个等边三角形.

7  总结

教师应指导学生在解题实践中能做到将问题从未知转变成已知、陌生转变成熟悉、复杂转变成简单、一般转变成特殊、函数转变成方程，以及数形之间的相互转变，让他们高效解题.

参考文献：

[1]崔伟.化归思想方法在初中数学教学解题中的应用探索＼.数学之友，2023，37（02）：60-61.

[2]刘玉珍.化归与转化思想在初中数学解题中的应用＼.数理天地（初中版），2022（06）：20-22.

[3]马文慧.初中数学解题中化归思想的运用＼.现代中学生（初中版），2021（20）：15-16.