离心制管机永磁轴承磁力计算与拼接永磁体形状分析

邵龙，徐曼曼，王向东，2，张志涛，毛徐徐

（1.安徽工程大学 机械工程学院，安徽 芜湖 241000；2.芜湖磁轮传动技术有限公司，安徽 芜湖 241000）

离心水泥制管机是将装有混凝土的管模高速旋转，在离心力的作用下使混凝土沿管模内壁成形的工业机械，具有工艺简单，构件强度高，脱模快和效率高等优点，广泛用于水利建设等排水工程。托轮是离心制管机的主要支承部件，数量众多，长期磨损造成很大的能耗，采用无接触的永磁轴承实现磁悬浮可从根本上解决磨损问题。永磁轴承无控制或电源等装置，结构简单，设计方便，还兼具噪声低，减振性好，寿命长，能量损耗低，环保性高，旋转速度高和精度高等特点，在一些恶劣的工作环境下依然可以运转。

永磁轴承在飞轮储能、离心泵、风力发电机等领域应用广泛，对其研究也在不断的深入，涉及到系统建模、承载力理论推导和结构优化等多方面：文献［1］根据积分定义将分子电流模型的被积函数积分域分割成有限微域，能够快速准确地计算出永磁轴承承载力，且计算过程简单，计算程序易于编写，相对误差较小；文献［2］基于库仑模型和矢量法推导了具有n对磁环的轴向、径向和垂直极化永磁轴承的力与刚度，并通过有限元分析验证了数学模型的准确性，结果表明该数学模型可以满足工业生产对永磁转子几何参数选择和优化的需要；文献［3］基于平面点磁荷场、虚功原理和叠加定理，在二维平面建立了2 个矩形截面磁体之间的作用力模型，得到轴向堆叠式永磁轴承的磁力解析式；文献［4］设计了一种能充分利用磁能，具有更大径向磁力的轴向磁化多环永磁轴承，采用虚位移法得到该轴承径向磁力解析模型，并通过试验验证了模型的正确性；文献［5］通过选择定子外径、径向气隙和长度作为参数，采用最大径向力和刚度作为轴承的设计和优化目标，优化后的最大径向力和刚度分别是单对磁环径向轴承的13.20 和13.75 倍；文献［6］设计了一种转子完全被动悬浮的混合轴承组，箔片轴承提供径向支承，海尔贝克阵列永磁轴承提供轴向支承，试验验证了转子在40 000 r/min 时可保持稳定悬浮；文献［7］综合比较了不同结构永磁轴承的刚度，结果表明对于高度较大、宽度较小的永磁体，采用径向磁化堆叠的永磁轴承刚度最大；文献［8］设计了一种将永磁轴承和螺旋槽轴承混合使用的支承系统，结果表明该系统具有承载能力大，摩擦功耗低等特点，提高了飞轮转子系统的动态稳定性。

如果直接将永磁轴承水平放置在离心制管机中，会导致中心位置沿径向的悬浮力为零，对于需要较高承载力的离心制管机，普通结构无法满足其正常使用。基于永磁轴承在定子180°（外磁环的圆心角为180°）时悬浮力最大的研究结果［9］，本文以半定子环、全转子环径向永磁轴承替代托轮的离心制管机永磁悬浮支承系统，以径向永磁轴承为研究对象，应用蒙特卡洛法对基于等效磁荷法建立的永磁轴承磁力模型的四重积分方程组进行求解。考虑大型磁环难以加工，用有限元软件仿真讨论了扇形、梯形和矩形拼接磁环的悬浮力和转矩。

1 永磁悬浮离心制管机结构

以半定子环永磁轴承替代离心制管机传统托轮支承结构，实现无托轮式非接触支承，同时取消了皮带传动和托轮传动，采用三爪卡盘将驱动主轴与管模直接相连。根据厄恩肖（Earnshaw）定理，在仅由永磁体或直流电流形成的静态磁场中，一个永磁体无法实现稳定悬浮，这意味着径向永磁轴承需要对轴向位置进行控制，才能使转子稳定地悬浮起来，因此使用调心滚子轴承限制轴向位移，使离心制管机能够正常工作。永磁悬浮离心制管机结构如图1所示。

永磁悬浮离心制管机主要包括围绕管桩的转子永磁环和其下方的定子，转子永磁环与定子永磁体磁性相反，二者之间的斥力使管桩悬浮。设备工作时，管桩和磁环绕x轴方向做旋转运动，转速最高可达800 r/min。

2 永磁轴承数学建模

永磁轴承磁力的常用计算方法有等效磁荷法、分子电流法和有限元法等。分子电流法分析结果较准确，与试验数据非常吻合［10］，但建立半定子环永磁轴承模型困难；等效磁荷法原理简单，建立的磁力解析模型比较完善，是最常用的磁力计算方法［11］。

根据等效磁荷理论，将径向充磁永磁环视为外表面充满类似正负电荷的磁荷，将磁环内部的磁荷和磁场视为零，磁荷产生的磁场都在永磁环外部，再通过库仑定律计算磁环之间的磁力。半定子环径向充磁的永磁轴承数学模型如图2 所示，Oxy，O′x′y′分别为外磁环和内磁环的坐标系；R1，R2分别为内磁环内、外环面的半径，R3，R4分别为外磁环内、外环面的半径；L1为内磁环厚度，L2为外磁环厚度；α为点B在O′x′y′坐标平面的 角 度，β为 点A在Oxy坐标平 面的角 度，θ为OO′在xOy平面的投影相对于x轴的角度，即内外磁环的偏心角度；e为内磁环相对外磁环在xOy平面上的径向偏移距离，即OO′在xOy平面的投影长度，z为内磁环相对外磁环在z轴方向上的位移。

图2 永磁轴承数学模型Fig.2 Mathematical model of permanent magnet bearing

在外磁环与内磁环的内侧面分别取任意点A和B，求解相应的等效磁荷MA和MB分别为

式中：Br1，Br2分别为外磁环和内磁环的剩余磁通密度；z1，z2分别为内磁环和外磁环内环面上磁荷的轴向位置。

径向磁化的永磁环产生的磁力F［12］由外磁环内表面对内磁环内外表面产生的磁力、外磁环外表面对内磁环内外表面产生的磁力组成，即

式中：μ0为真空磁导率，μ0= 4π × 10-7H/m；r为点B相对于点A的矢量位置；i，j，k分别为x，y，z轴的正向单位矢量；下标a= 1，2；b= 3，4。

将磁力分别向x，y，z方向投影，可得磁力F在各个方向分量

3 蒙特卡洛法求解磁力

磁力计算是永磁轴承参数设计的重要环节，通过等效磁荷法建立磁力解析模型，得到关于偏移位置的四重积分。利用MATLAB 的积分函数（nIntegrate）求解四重积分时周期长，甚至不能获得解析解。蒙特卡洛法以概率统计理论为基础，使用随机数解决计算方面比较复杂的问题，算法简单且适应性强，目前在自然科学和社会科学的各个领域中广泛利用。通过蒙特卡洛法近似求解四重积分，可以简化磁力求解过程［13］。在文献［14］中，当随机变量数N=5.0×106时，蒙特卡洛法计算结果与for 循环计算结果（稳定值）的差值小于0.185%，但蒙特卡洛法计算效率更高。蒙特卡洛法可以将系统属性转化为求定积分I=(x)dx，其中D为高维空间中的区域， （fx）为被积目标函数。

定积分I为某个随机变量的数学期望，可改写为

式中：g(x)为概率密度函数。

一般g（x）在区域D内均匀分布，即

对于区域D上的n重积分，从D中均匀产生N个点表示区域D的体积，则D上n重积分的近似值为

将（8）式用于等效磁荷法中四重积分得到磁力为

4 算例分析

4.1 蒙特卡洛法结果分析

基于半定子环永磁轴承的结构，文中计算的永磁轴承尺寸和永磁体性能参数见表1，永磁轴承气隙10 mm，内外磁环充磁方向相反。将参数代入蒙特卡洛法编制的程序中求解。

表1 永磁轴承尺寸和永磁体性能参数Tab.1 Size of permanent magnet bearing and performance parameters of permanent magnet

蒙特卡洛法的随机变量数量不同，计算的积分值一般不同。通过定义不同N值（N=1 000 000，10 000 000，100 000 000），得到在不同样本数量下轴承径向悬浮力随偏移距离的变化曲线，如图3所示：随着N值的增大，轴承径向悬浮力波动幅度越小，曲线越平滑，近似于直线。在偏移距离e=4 mm时分别运行10次，得出永磁轴承悬浮力计算结果，如图4所示：N值越大，可重复性越高。但随着N值的增大，计算时间也会增加。工程实践中N的取值要合适。

图3 偏移距离对永磁轴承径向悬浮力的影响Fig.3 Effect of offset distance on radial suspension force of permanent magnet bearing

图4 不同N值时e=4 mm处的永磁轴承径向悬浮力Fig.4 Radial suspension force of permanent magnet bearing at e=4 mm for different N values

4.2 蒙特卡洛法与有限元法对比

文献［15］指出，在永磁轴承结构设计初期无具体尺寸的情况下很难进行数值模拟，因此许多学者采用比理论计算更精确的有限元仿真设计永磁轴承结构［16-17］，文献［18-19］的研究结果也表明有限元仿真的结果较准确。本文三维电磁场使用有限元分析软件ANSYS Maxwell 3D 进行仿真分析，建立模型如图5所示。

图5 半定子环永磁轴承三维有限元模型Fig.5 Three - dimensional finite element model of permanent magnet bearing with half - stator ring

内磁环的悬浮力与偏移距离（偏心角度θ为90°）、偏心角度（偏心距离为3 mm）的关系如图6所示：2种算法结果的趋势相同，二者相对误差Er随偏移距离和偏心角度的变化基本不变，说明理论计算与有限元结果之间存在一定的线性误差。因此可以对理论计算结果进行修正，修正系数K根据悬浮力仿真值Fy和计算值F'y进行加权确定，即

图6 悬浮力与偏移距离、偏心角度的关系Fig.6 Relationship between suspension force and offset distance or eccentricity angle

修正后的计算结果如图7所示，修正后的理论计算与有限元结果的最大误差仅为1.5%。因此，在设计永磁轴承结构时，可先通过理论计算进行初步的结构设计，但不能保证较高的精度；在基本参数初步确定后仍需对数据进行验证和修正以得到较优的结构。

图7 参数修正后悬浮力与偏移距离、偏心角度的关系Fig.7 Relationship between suspension force and offset distance or eccentricity angle after parameter correction

5 永磁体形状优化分析

由于离心机管桩尺寸巨大，能适配于管桩外径的大型磁环难以制造且价格昂贵，在工程实践中一般采用将若干块永磁体拼接组成磁环，导致表面的磁感应强度不均匀，特别是两磁体间隙附近磁感应强度下降很多，在离心机旋转时会产生不利的影响。为降低磁场的不均匀性对拼接式磁环悬浮力的影响，采用有限元分析软件对矩形、梯形、径向充磁扇形永磁体和平行充磁永磁体拼接的磁环进行分析计算，寻找拼接式永磁轴承的合理设计方案。

将永磁体分成20 块，由于2 个相邻的磁体之间存在很强的排斥力，导致安装困难，因此在相邻磁体之间留有间隙以减少排斥力。

静磁场时拼接磁环受到的悬浮力与偏移距离的关系如图8 所示，4 种拼接方式对悬浮力的影响不大。拼接磁环以600 r/min 的转速运转时受到的悬浮力和扭矩如图9 所示：每种拼接方式对中时悬浮力最大，且矩形永磁体拼接时悬浮力波动最大，即峰值取决于转子与永磁体边缘位置的接近程度［20］；扇形永磁体拼接时的扭矩最小，梯形永磁体次之，矩形永磁体最大。因此，在具体工程实践中可根据需求选择扇形或矩形永磁体拼接磁环。

图8 拼接磁环悬浮力与偏移距离的关系Fig.8 Relationship between suspension force of spliced magnetic ring and offset distance

图9 拼接磁环的悬浮力和扭矩Fig.9 Suspension force and torque of spliced magnetic ring

6 结论

为解决离心制管机磨损问题，基于等效磁荷法建立了半定子环永磁轴承数学模型，采用蒙特卡洛法近似计算轴承悬浮力，在本文条件下得到以下结论：

1）运用蒙特卡洛法求解方程，合理选取随机变量N的个数，能达到较高的计算精度，理论计算与有限元结果的最大误差为1.5%。

2）扇形和梯形永磁体拼接磁环悬浮力波动较小；扇形永磁体拼接磁环在运行中具有很小的扭矩，梯形永磁体次之。