联合载荷作用下精密轴系角接触球轴承钢球与保持架动力学行为分析

赵雁，高飞，2，夏玉磊，李志娟，张致远

（1.洛阳轴承研究所有限公司，河南 洛阳 471039；2.清华大学 机械工程系，北京 100083）

在精密机床、高速电主轴、航空航天、涡轮增压器等领域，角接触球轴承长期以较高的转速运行，并承受着轴向力、径向力、力矩载荷的联合作用，联合载荷使钢球的承载特性和运动状态发生较大变化［1］，易引发球与保持架的频繁碰撞，球与保持架之间的碰撞则影响着保持架的运转稳定性［2］，严重时将导致保持架兜孔异常磨损［3］，甚至可能造成保持架断裂［4-5］，故有必要对联合载荷下精密轴系角接触球轴承钢球与保持架的动力学行为进行分析。

国内外学者做了大量关于轴承动力学行为的研究：文献［6］建立了轴承有限元仿真模型，分析了加速工况下轴承的接触特性，结果表明加速阶段钢球稳定性较差，增大了保持架应力；文献［7］分析了变工况下轴承保持架的稳定性，发现增加轴向载荷使保持架与球的碰撞增加，导致保持架运行不稳定；文献［8］的研究发现，由于高温作用引发钢球在沟道上的滑移，显著增大了钢球与保持架的碰撞力以及保持架兜孔磨损率，最终导致保持架失稳；文献［9］研究了高速角接触球轴承保持架椭圆兜孔对保持架兜孔冲击力以及保持架稳定性的影响，结果表明，保持架兜孔设计为椭圆状有助于提高较大径向载荷下高速角接触球轴承保持架的稳定性，并减小保持架兜孔的冲击载荷；文献［10］建立了曲柄滑块机构用球轴承动力学模型，分析了转速、径向游隙对轴承-机构系统运动精度和动力学特性的影响，结果表明，随着转速和径向游隙的增加，钢球与保持架之间的碰撞力增大且存在较大的冲击波动变化；文献［11］建立了摆动工况下球轴承的动力学模型，分析了摆动工况下钢球与保持架的瞬时碰撞行为，结果表明，摆动工况下减小径向载荷或增加变速时间有利于减小钢球与保持架的碰撞。

上述文献均基于单一滚动轴承模型分析滚动体及保持架的动态性能与接触特性，缺乏关于角接触球轴承成对使用时的动力学行为研究。因此，本文建立一对角接触球轴承支承的精密轴系仿真模型，开展不同转速、载荷以及结构参数下轴承钢球与保持架的动力学行为分析。

1 精密轴系模型

1.1 精密轴系结构及坐标系

精密轴系由一对角接触球轴承共同支承，如图1 所示，2 套轴承的跨距为34 mm，内圈静止，外圈转速为n，轴向预紧力为Fa，径向载荷为Fr，力矩载荷为M。为描述各零件的运动与相对位置关系，建立固定坐标系Oxyz、外圈坐标系Oexeyeze、钢球坐标系Obxbybzb、保持架坐标系Ocxcyczc以及兜孔坐标系Opxpypzp。

图1 精密轴系示意图Fig.1 Diagram of precision shafting

1.2 轴承受力及运动分析

钢球与保持架的作用力及运动关系如图2 所示，外圈绕x轴旋转；保持架以角速度ωcm旋转；钢球绕x轴以角速度ωbvj公转的同时绕自身轴线以角速度ωbrj自转，且钢球在运动过程中可能包含滚动和滑动2种运动。图2中：Qbczj，Tbcyj分别为钢球与保持架兜孔作用的法向力、切向力；Fcy，Fcz分别为引导挡边对保持架的法向力、切向力；ψc为保持架坐标系与固定坐标系的夹角；φj为第j个钢球的方位角。

图2 轴承运动及钢球与保持架相互作用示意图Fig.2 Diagram of bearing motion and interaction between steel ball and cage

钢球与保持架的法向作用力Qbcj为

式中：Kbc为钢球与保持架的接触刚度；εbcj为钢球中心相对于兜孔中心的位移；Cp为保持架兜孔间隙；Cbc为阻尼系数；vbcj为钢球相对于兜孔的速度。

钢球与保持架兜孔的切向作用力为

式中：fsot为钢球与保持架兜孔的摩擦因数，取0.085［12］。

1.3 轴承动力学微分方程

保持架在运动过程中受到引导套圈的作用力、自身重力以及钢球的作用力，其动力学微分方程为

式中：mc为保持架质量；Jcx，Jcy，Jcz为保持架绕x，y，z轴的转动惯量；ωcx，ωcy，ωcz为保持架角速度在x，y，z方向的分量；Z为钢球数量；Gc为保持架重力；Dw为钢球直径；Dpw为球组节圆直径；Qbcxpj，Qbcypj，Qbczpj为Qbcj在xp，yp，zp方向的分量；Tbcxpj，Tbcypj为Tbcj在xp，yp方向的分量；Tbc为套圈对保持架的轴向摩擦力；Mc为引导挡边对保持架的力矩。

钢球、外圈的动力学微分方程参考文献［13］。

2 仿真分析

以一对7000型角接触球轴承为支承的精密轴系为研究对象，轴承主要结构参数见表1。以左端轴承为例，分析不同载荷和转速下精密轴系轴承钢球的动力学行为以及钢球与保持架的作用规律，探究工况条件和结构参数对精密轴系中轴承钢球与保持架动力学行为的影响。

表1 7000型角接触球轴承主要结构参数Tab.1 Main structural parameters of 7000 angular contact ball bearing

2.1 转速和轴向预紧力对钢球与保持架动力学行为的影响

2.1.1 钢球的运动轨迹

当Fr=60 N，M=0 时，分析不同转速和轴向预紧力下钢球的运动轨迹，如图3所示：在径向载荷、轴向预紧力作用下，n=10 000 r/min，Fa=20 N 时钢球质心在x方向发生偏移，运动轨迹在xOz平面投影近似呈椭圆形，在xOy平面投影呈“I”形，此时钢球的运行比较稳定；Fa=20 N 保持不变，转速增大至50 000 r/min 时，钢球在x方向的运动出现明显波动，在xOz，xOy平面上投影点的重复性变差；保持n=50 000 r/min 不变，轴向预紧力增大至60 N 时，钢球在x方向上的位移波动减小，这是因为随着轴向预紧力的增大，钢球与沟道之的接触载荷增大，弱化了钢球高速旋转时的离心效应，钢球的运行稳定性提高。

图3 不同转速和轴向预紧力下钢球的运动轨迹Fig.3 Motion trajectory of steel balls under different speeds and axial preloads

2.1.2 钢球与保持架的作用力及运动状态

当Fr=60 N 时，不同转速下钢球与保持架的作用力随轴向预紧力的变化如图4所示：当转速小于40 000 r/min 时，钢球与保持架的作用力随着轴向预紧力的增大而增大；当转速大于40 000 r/min时，钢球与保持架的作用力随着轴向预紧力的增大出现波动，且较大和较小的轴向预紧力均导致作用力频繁波动。

图4 不同转速下钢球与保持架的作用力随轴向预紧力的变化Fig.4 Variation of acting force between steel ball and cage with axial preload under different speeds

n=50 000 r/min 时，钢球公转速度与保持架转速随轴向预紧力的变化如图5所示：轴向预紧力为20 N 时，钢球的公转速度和保持架转速存在较大波动；当轴向预紧力增大至40 N时，钢球的公转速度平滑变化，保持架转速波动减小；随着轴向预紧力继续增大至60 N，钢球的公转速度的稳定性有所降低，保持架转速出现了明显波动。

图5 n=50 000 r/min 时钢球的公转速度和保持架转速随轴向预紧力的变化Fig.5 Variation of revolution speed of steel ball and speed of cage with axial preload when n=50 000 r/min

综上分析可知：当轴向预紧力较小时，高速运行时钢球产生较大的离心力，钢球运行不稳定导致其与套圈之间的接触角频繁变化，造成钢球的公转速度剧烈波动，钢球与保持架的作用力较大且碰撞频次高；随轴向预紧力增大，钢球公转速度与保持架转速变化稳定，速度较慢的钢球可以在保持架作用下发生微小滑动，两者之间的作用力相对平稳；继续增大轴向预紧力，钢球与套圈之间的接触载荷更加充分，钢球与保持架之间的碰撞难以改变其运动状态，钢球滑动减弱且与保持架的作用力增大。

2.2 力矩载荷和轴向预紧力对钢球与保持架动力学行为的影响

2.2.1 钢球的运动轨迹

当Fa=50 N，Fr=0，n=10 000 r/min 时，不同力矩载荷作用下钢球的运动轨迹如图6 所示：当M=1 N · m时，钢球整体运行稳定；当M=5 N · m时，钢球在承载区内整体运行稳定，而进出承载区过程中在x方向上存在明显波动，其轨迹在xOz平面投影呈“D”形，在xOy平面投影呈“V”形。

图6 不同力矩载荷下钢球的运动轨迹Fig.6 Motion trajectory of steel balls under different torque loads

2.2.2 钢球与保持架的作用力及运动状态

当Fr=0，n=10 000 r/min时，不同轴向预紧力下钢球与保持架的作用力随力矩载荷的变化如图7所示。当Fa=40 N，Fr=0，n=10 000 r/min 时，钢球的公转速度与保持架转速随力矩载荷的变化如图8所示。由图7 和图8 可知：随着力矩载荷的增大，钢球与保持架的作用力总体呈先增大再减小而后快速增大的趋势；当轴承仅承受轴向预紧力时，每个钢球受载一致，钢球转速不变，钢球与保持架的作用力较小；而在大轴向预紧力与小力矩载荷作用下，每个钢球均受载但接触载荷存在差异，造成各个钢球产生速度差，钢球与保持架兜孔之间产生较强的挤压接触，钢球与保持架的作用力较大；随着力矩载荷的增大，存在一部分钢球受载较大而其他钢球受载较小，钢球与保持架兜孔之间的位置关系可以通过受载较小钢球的微小滑动调节，从而改善两者之间的相互作用；随着力矩载荷的继续增大，部分钢球发生卸载，钢球反复进出承载区与卸载区，钢球出承载区之后转速发生波动，造成保持架转速频繁波动，钢球与保持架的作用力急剧增大。

图7 不同轴向预紧力下钢球与保持架的作用力随力矩载荷的变化Fig.7 Variation of acting force between steel ball and cage under different axial preloads with torque load

图8 钢球公转速度与保持架转速随力矩载荷的变化Fig.8 Variation of revolution speed of steel balls and speed of cage with torque load

2.3 轴承结构参数对钢球与保持架动力学行为的影响

2.3.1 保持架兜孔间隙

当Fa=40 N 时，钢球与保持架的作用力随兜孔间隙的变化如图9 所示：在径向载荷作用下，钢球与保持架的作用力随着兜孔间隙的增大先减小后增大；在力矩载荷作用下，钢球与保持架的作用力随着兜孔间隙的增大而减小。

图9 不同载荷及转速下钢球与保持架的作用力随兜孔间隙的变化Fig.9 Variation of acting force between steel ball and cage with pocket clearance under different loads and speeds

钢球的公转速度与保持架转速随兜孔间隙的变化如图10 所示：兜孔间隙对钢球的公转速度影响很小，对保持架转速影响较大。兜孔间隙较小时，保持架转速处于频繁波动状态，转速的变化将引起其与钢球之间的剧烈碰撞；兜孔间隙较大时，给钢球提供了一定的自由移动空间，保持架转速波动性减小，钢球与保持架的作用力降低。

图10 钢球公转速度与保持架转速随兜孔间隙的变化Fig.10 Variation of revolution speed of steel ball and speed of cage with pocket clearance

2.3.2 外圈沟曲率半径系数

当Fa=40 N时，钢球与保持架的作用力随外沟曲率半径系数的变化如图11 所示：n=10 000 r/min时，径向载荷和力矩载荷作用下的钢球与保持架的作用力均随着外沟曲率半径系数的增大先减小再趋于稳定；n=40 000 r/min 时，径向载荷作用下的钢球与保持架的作用力随着外沟曲率半径系数的增大而减小，力矩载荷作用下的钢球与保持架的作用力随着外沟曲率半径系数的增大先减小后缓慢变化。

图11 不同载荷及转速下钢球与保持架的作用力随外沟曲率半径系数的变化Fig.11 Variation of acting force between steel ball and cage with outer groove curvature radius coefficient under different loads and speeds

钢球公转速度与保持架转速随外沟曲率半径系数的变化如图12 所示：外沟曲率半径系数对钢球公转速度和保持架转速影响较大；较小的外沟曲率半径系数会增加钢球的接触载荷，导致保持架转速波动增大，钢球与保持架的作用力增大；外沟曲率半径系数增大，保持架转速波动逐渐减小，钢球与保持架的作用力随之减小。

图12 钢球的公转速度与保持架转速随外沟曲率半径系数的变化Fig.12 Variation of revolution speed of steel ball and speed of cage with outer groove curvature radius coefficient

3 试验验证

采用高速摄影系统（图13a）测量精密轴系保持架的转速，在保持架端面圆周方向上设置标记点（图13b），对高速摄像机拍摄图片标记点的像素位置信息进行数据处理，得到保持架转速。

图13 保持架转速测量Fig.13 Measurement of cage speed

Fa=40 N，Fr=20 N，M=0，n=2 000 r/min时，保持架转速如图14所示：仿真值略高于试验值，试验测得的保持架转速波动较大，仿真结果的波动较小，仿真结果和试验结果具有较高的一致性，验证了精密轴系仿真模型的准确性。

图14 保持架转速试验结果与仿真结果的对比Fig.14 Comparison between experimental and simulation results of cage speed

4 结论

建立了角接触球轴承支承的精密轴系动力学仿真模型，分析了转速、载荷、轴承结构参数对钢球与保持架动力学行为的影响，在本文的条件下得到以下结论：

1）径向载荷和力矩载荷改变了球的运动轨迹，导致钢球与保持架的转速发生较大变化，且力矩载荷的影响程度更加明显；

2）径向载荷作用下，低速工况时钢球与保持架的作用力随轴向预紧力增大而增大，高速工况时钢球与保持架的作用力随轴向预紧力先减小后增大，高速工况下选择合适的轴向预紧力有助于改善钢球与保持架的接触行为；

3）力矩载荷作用下，钢球与保持架的作用力随着力矩载荷的增大先增大再减小而后急剧增大，在小力矩载荷工况下，钢球与保持架的作用力相对较大；

4）适当增大保持架兜孔间隙与外沟曲率半径系数有利于减小保持架转速的波动，降低钢球与保持架的作用力。