群中的几种解题方法研究

周雅茹 谢雅洵 李丽侦 蒋心学

摘 要：抽象代数作为一门高度抽象的学科，对很多学生来说都不容易，尤其是二三本院校的学生。大多抽象代数教材中不仅定理定义抽象，不易理解，举例也很少，或者过程过于简单不方便学生理解。群作为抽象代数研究三大群体中的一种，具有极其重要的作用，群中的元素作为研究群的重要对象，研究其性质必不可少。本文将给出证明群时找单位元和逆元的方法以及计算群中元素阶的几种方法。

关键词：群；逆元；单位元；生成元；群的阶；元素的阶

一、证明群

关于群的证明方法和步骤很清晰明了，对学生来说较难的点在于找群中的单位元和元素的逆元.因此此部分给出找单位元和逆元的方法：关键在于抓住单位元和逆元的定义.首先单位元和逆元来自群，所以可以根据群中元素的性质特征来假设单位元和逆元，再利用定义中的关键：单位元和任何元素运算之后仍然为其本身，一个元素和其逆元运算之后为单位元，来求出单位元和逆元.

定义1：设G是一个非空集合，“.”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G.如果G的运算还满足（G1）结合律，即对所有的a，b，c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；（G2）G中有元素e，使对每个a∈G，有e·a=a·e=a；（G3）对G中每个元素a，存在元素b∈G，使a·b=b·a=e，则称G关于运算“·”构成一个群，记作（G，·）.其中（G2）中的元素称为群G的单位元；（G3）中的元素b称为a的逆元，记作a-1.

例1：在整数集Ζ中，规定“”如下：

ab=a+b-2，a，b∈Ζ

证明：（Z，）构成群。

证明：（1）a，b∈Ζ，则a+b-2∈Ζ.因为ab=a+b-2∈Z，所以满足封闭性和唯一性，即可得“”为Ζ上的代数运算.

（2）a，b，c∈Ζ，因为

（ab）c=（a+b-2）c=（a+b-2）+c-2=a+b+c-4，

a（bc）=a（b+c-2）=a+（b+c-2）-2=a+b+c-4，

所以（ab）c=a（bc），即结合律成立.

（3）a∈Ζ，e∈Ζ，因为

ae=a+e-2=ae=2，

ea=e+a-2=ae=2，

所以e是Z中的单位元.

（4）a∈Ζ，a-1a∈Ζ，有

aa-1=a+a-1-2=2a-1=4-a，

a-1a=a-1+a-2=2a-1=4-a，

所以4-a是Z中元素a的逆元.

综上可得（Z，）构成群.

例2：设G=aaaaa∈R，a≠0.证明：G关于矩阵的乘法构成群.

证明：（1）A=aaaa∈G，B=bbbb∈G，有

AB=aaaabbbb=2ab2ab2ab2ab∈G，

所以满足封闭性和唯一性，即矩阵的乘法是G上的代数运算.

（2）矩阵的乘法满足结合律，所以在G上也满足结合律.

（3）A=aaaa∈G，E=xxxx∈G，有

AE=aaaaxxxx=2ax2ax2ax2ax

=aaaax=12E=12121212，

同理利用EA=A，解得E同上，

所以E=12121212是G的單位元.

（4）A=aaaa∈G，A-1=yyyy∈G，有

AA-1=aaaayyyy=2ay2ay2ay2ay

=12121212y=14aA-1=14a14a14a14a，

A-1A=yyyyaaaa=2ay2ay2ay2ay

=12121212y=14aA-1=14a14a14a14a，

同理利用A-1A=E解得A-1同上，

所以A-1=14a14a14a14a是G中元素A=aaaa的逆元.综上可得G关于矩阵的乘法构成群.

例3：证明：所有形如1ab01c001的实矩阵关于矩阵的乘法构成一个群.

证明：（1）A=1ab01c001∈G，B=1hg01k001∈G，

有AB=1ab01c0011hg01k001=1h+ag+ak+b01k+c001∈G，

所以满足封闭性和唯一性，矩阵的乘法是G上的代数运算.

（2）矩阵的乘法满足结合律，所以在G上也满足结合律.

（3）A=1ab01c001∈G，E=1de01f001∈G，有

AE=EA=A，

AE=1ab01c0011de01f001=1d+ae+af+b01f+c001

=1ab01c001

解得E=1ab01c001，同理可得EA=A，

所以E=100010001是G的单位元.

（4）A=1ab01c001∈G，A-1∈G，通过初等行变换［A｜E］→［E｜A-1］来计算A-1，1ab10001c010001001r1-br3r2-cr3

1a010-b01001-c001001r1-ar2

1001-a-b+ac01001-c001001，所以A-1=1-a-b+ac01-c001是G中元素A=1ab01c001的逆元.

综上可得G关于矩阵的乘法构成群.

二、计算群中元素的阶

计算元素的阶在很多教材中均是利用定义，或者关于元素的阶的计算的例子很少，过程也很简洁，有的教材辅导只有答案没有过程，这就给学生的预习以及课后复习造成了一定的不便.此部分就元素的阶的计算给出了一些方法，并给出了一些简便的计算方法，减少工作量和幂运算过大带来的失误.

定义2：设G是一个群，e是G的单位元，a∈G.如果存在正整数r，使ar=e，则称a是有限阶的，否则称a是无限阶的.使ar=e的最小正整数r称为元素a的阶，记作orda=r.如果a是无限阶的，则记作orda=

定理1：设G是一个有限群，|G|=n，则对任意的a∈G，a是有限阶的，且orda||G|，即有限群的任何一个元素的阶都是群阶数的因子.

定理2：设G为群，e是G的单位元.

（1）对任意的a∈G，有orda=orda-1；

（2）设orda=n，则对任意的m∈Z，ordam=n（n，m）.

定义3：设G是群，如果存在a∈G，使得G=<a>，则称G为一个循环群，并称a为G的一个生成元.当G的元素个数无限时，称G为无限阶循环群；当G的元素个数为n时，称G为n阶循环群.

推论：如果如果G为有限阶循环群，则

G={e，a，a2，…，an-1}，

且对k，l∈Z，由ak=al，必可推得ak=aln|k-l.

（一）利用穷举方幂计算元素的阶

该方法的本质用的群中元素阶的定义，穷举该元素的方幂，从1试起，直到得到该元素的方幂为单位元，则此方幂即为该元素的阶.

例4：在Z5中，计算每个元素的阶.

解：Z5=1-，2-，3-，4-，计算可得：11=1；21=2，2-2=4-，2-3=2-2·2=8=3-，2-4=2-3·2=3-·2=1-；

31=3，32=9=4-，33=32·3=4-·3=12=2，34=33·3=2·3=6=1-；41=4，42=16=1；由此可得ord1-=1，ord2-=4，ord3-=4，ord4-=2.

（二）利用群的階与元素阶的性质计算元素的阶

此法和1中的方法的区别是加入了群的阶和元素的性质，利用定理1减少了工作量.

例5：在Z5中，计算每个元素的阶.

解：Z5=1-，2-，3-，4-，Z5=4所以每个元素的阶只能为4的因子：1，2，4.11=1；21=2，2-2=4-，2-4=16=1-；

31=3，32=9=4-，34=322=4-2=16=1-；

41=4，42=16=1；由此可得ord1-=1，ord2-=4，ord3-=4，ord4-=2.

（三）利用等价类计算元素的阶

此法在方法2的基础上利用了剩余类的负等价类，目的在于将元素的绝对值变小，更方便计算其幂，减少失误和工作量.我们采用将超过群中元素个数一半的元素等价为其负等价类，将元素的绝对值减小来计算.目前大多数教材虽有利用剩余类的等价类计算元素的阶，但并未展现将元素转换为负的等价类，而使元素的绝对值变小，便于计算.

例6：求U（15）中元素的阶.

分析：U（15）中元素的个数为：φ（15）=φ（3×5）=（31-30）（51-50）=8，所以U（15）中每个元素的阶只能为8的因子：1，2，4，8.

解：U（15）=1-，2-，4-，7-，8-，11，13，14，8-=-7，11=-4，13=-2，14=-1

1-1=1-；21=2，2-2=4-，2-4=16=1-；41=4，4-2=16=1-；71=7，7-2=49=4-，7-4=4-2=16=1-；8-1=8-=-7，8-2=-72=4-，8-4=4-2=1-；111=11=-4，112=-42=1-；131=13=-2，132=-22=4-，134=4-2=16=1-；141=14=-1，142=-12=1-.

（四）利用逆元计算元素的阶

此法是利用定理2中的（1）来计算较大元素的阶，群中每个元素都有逆元，所以只要找到互为逆元的元素求出其中一个元素的阶，则另一个元素的阶也就得到了，无须再重复计算，大大减少了工作量.

例7：求U（13）中元素的阶.

解：U（13）=1-，2-，3-，4-，5-，6-，7-，8-，9-，10，11，12.U（13）=Z13=12，所以每一个元素的阶只能为12的正因子：1，2，3，4，6，12.因为2-和 7-，3-和9-，4-和10，5-和8-分别互为逆元，所以只需要计算2-，3-，4-，8-，6-，12的阶即可.

1-1=1-；2-1=2-，2-2=4-，2-3=8-，2-4=3-，2-6=2-4·2-2=12=-1，2-12=-12=1-；3-1=3-，3-2=9-，3-3=1-；4-=2-2，4-6=2-12=1-；51=5，5-2=12=-1，-12=5-4=1-；6-1=6-，6-2=10=-3，6-3=-18=-5，6-4=-4，6-6=-1，6-12=-12=1-；121=12=-1，122=-12=1-.

所以ord1-=1，ord2-=ord7-=12，ord3-=ord9-=3，ord4-=ord10=6，ord5-=ord8-=4，ord6-=ord11=12，ord12=2.

（五）利用生成元及元素阶的性质计算元素的阶

此法利用定义3，定理2中的（2）以及推论来计算元素的阶，先找出循环群中一个生成元，并将其他元素表示为生成元方幂的形式，再利用定理2中的（2）来计算元素的阶.

例8：求U（13）中元素的阶.

解：U（13）=1-，2-，3-，4-，5-，6-，7-，8-，9-，10，11，12.U（13）=Z13=12，所以每一个元素的阶只能为12的正因子：1，2，3，4，6，12.

2-1=2-，2-2=4-，2-3=8-，2-4=3-，2-6=2-4·2-2=12=-1，2-12=-12=1-；

所以2-可作为U（13）的一个生成元.将每个元素表示为生成元的方幂可得：

2-5=6-，2-7=-2=11，2-8=-4=9-，2-9=-8=5-，2-10=10=-3，2-11=-6=7-.

所以ord1-=1，ord2-=12，ord3-=12（4，12）=3，ord4-=12（2，12）=6，ord5-=12（9，12）=4，ord6-=12（5，12）=12，ord7-=12（11，12）=12，ord8-=12（3，12）=4，ord9-=12（8，12）=3，ord10=12（10，12）=6，ord11=12（7，12）=12，ord12=12（6，12）=2.

結语

本文给出了证明群时寻找逆元和单位元的方法，抓住定义的本质寻找这些元.并给出了五种求解群中元素阶的方法：第一，利用穷举方幂直到得到单位元；第二，利用元素的阶整除群的阶的性质计算元素的阶；第三，利用剩余类的负等价类计算元素的阶；第四，利用一个元素和逆元的阶相同计算其阶；第五，利用元素的阶及其方幂的阶的性质计算元素的阶.着重突出第三种方法的简便性，极大减少了计算失误和工作量.从方法一到方法五层层递进，更便于学生理解，同时如果将五种方法结合，大大提高了计算元素阶的方便性和快捷性.

参考文献：

［1］张禾瑞.近世代数基础［M］.北京：高等教育出版社，1982.

［2］韩士安，林磊.近世代数［M］.北京：科学出版社，2009.

［3］韩士安，林磊.近世代数习题解答［M］.北京：科学出版社，2010.

［4］朱崇利.关于群中元素阶的研究［J］.佳木斯大学学报（自然科学版），2011，29（01）：102104.

［5］杜海霞，李玉萍.群的阶与元素的阶［J］.河南教育学院学报（自然科学版），2014，23（01）：2224.

项目基金：本课题研究受2020年度广西高校中青年教师科研基础能力提升项目资助，项目编号：2020KY6108

作者简介：周雅茹（1993— ），女，汉族，山西芮城人，硕士，助教，研究方向：拓扑动力系统。

*通讯作者：谢雅洵（1991— ），女，壮族，广西百色人，硕士，讲师，研究方向：牛顿迭代法。