优化灰色模型在变形预测中的应用研究

张华平，聂 飞

（江西省地质局地理信息工程大队，江西 南昌 330001）

0 引言

在城市建设工程的整个生命周期中，建筑物或构筑物的空间位置、形状和行为是建设工程的核心内容。这种空间位置、形态和行为的变化统称为变形。它是指工程建筑物等在受外界原因作用下产生外形、高度等的变化。常见的城市建设工程中的变形破坏现象，如建筑物的倾覆、道路桥梁的沉陷等，会对工程建设和人民的生命财产造成巨大的损失，甚至发生更具破坏性的灾难。变形所导致的破坏防治方法是在城市建设工程的建造、运营期间，对建筑物和构筑物进行监测，以便掌握变形程度，揭示变形原因，总结变形规律，控制变形发展，防止危害。灰色模型预测能够掌握系统发展规律，通过原始数据处理和灰色模型的建立，可以实现系统未来走向预测。如果能够将灰色模型广泛应用于各大建筑物的变形预测中，将会有很大的意义。

1 灰色模型的系统原理

1.1 灰色模型理论概述

灰色模型作为一个新的前沿主题，具有广泛的横截面、强大的渗透性和广阔的发展空间，是一个简单易学易用的新理论。变形系统本身也具有灰色特征，过去使用的数据处理方法受到需要大量数据才能实现变形预测的限制。但使用灰色模型预测的主要优点之一是建模并不需要大量数据，对于无序数据序列，可以使用数据生成方法将其更改为具有明显规律性的数据序列，然后对生成的数据进行建模。该方法成功地解决了数学家认为无法解决的微分方程建模问题，并对系统的发展和变化进行了综合分析［1］。

1.2 灰色模型生成

1.2.1 灰色模型生成分类

灰色模型生成方法可以根据需要分为整体生成和局部生成。整体生成是整个序列的转换。局部生成是转换序列中的某些部分数据。例如，在变形监测过程中，由于某种原因，不能及时进行观察或观察到的数据是异常的，然后在消除数据后将序列变为不等时间序列。此时，有必要用生成方法填充数据的空位，并将序列转换为相等的时间序列，即局部生成。

1.2.2 生成方法

1）累加生成。通过累加生成得到光滑的生成数列，充分揭示原始数据中的特征以及规律性，也可以使时间序列上下波动，因其具有一系列线性或指数律特征，从而发现灰色量积累过程的发展态势［2］。

2）累减生成。设原始序列为r次生成数列，对其做r次累减生成，定义为“一次累减”，累减生成是累加生成的逆变换，对累加生成起到还原作用。

3）插值生成。根据生成函数，对给定函数的生成进行尽可能逼近，并生成插值函数。无论灰色函数的形状如何，折线都可以看作是一种逼近。

以上，是灰色系统中常用的几种生成方法，但使用灰色理论模型，有时会遇到一些特殊的情形，譬如建模需要非负增量数据，所以当有消极的项目序列，它必须通过某种方式转化为非负序列，然后使用该模型［3］。

1.3 灰建模

1.3.1 GM模型建模过程

1）考查原始序列是否满足建模条件。

序列的非负性；

序列的动态随机性。

2）时间响应函数离散化。共有k-1 个时间间隔，将其作为第0 个数据的前提下，经过k-1 个时间间隔才到达。

3）模型精度检验。对于初始模型，需要对它进行诊断性检验，以考核模型的合理性，只有检验合格的模型，才可以用于预测［4］。

1.3.2 灰色预测模型的建模步骤及MATLAB程序

1）灰色预测模型建模过程主要包括以下几个步骤：

原始序列的累加生成处理，得新的序列；

累加生成序列的紧邻均值生成，得新的序列；

构建矩阵B 和Y，估计模型参数；

依据得到的模型参数建立灰色预测模型；

依据所建立的灰色预测模型计算模型模拟值、预测值；

依据模拟值及预测值计算模型的相对模拟，预测百分误差；

依据系统精度要求，检验模型模拟及预测性能；

倘若模型通过检验则可用于预测，否则需要优化或重新构造灰色预测模型［5］。

2）建立GM（1，1）模型的MATLAB 程序。

程序名称：GM（1，1）模型。

功能：单变量时序数据的模拟及预测。

输出结果：模拟数据、模拟残差、模拟百分误差、预测结果。

MATLAB 中程序编写如图1 所示。

图1 建立GM(1,1)模型的MATLAB 程序

点击运行即可，输入数据。

2 GM(1,1)模型在建筑物变形预测中的应用

2.1 工程概况

某区域一大型工程建筑物，于2021 年年初施工，2022 年4 月封顶。按照业主以及设计部门的要求，对工程建筑物的主体框架进行监测。依据变形监测国家规范要求，监测方埋设了10 个沉降观测点，3 个基准点，共历时15 个月。在整个施工过程中，一共进行了20 次沉降观测，以及精度为二等水准的20 条闭合水准路线，且每条闭合路线的高差闭合差均合理。该大型工程建筑物的监测点位置分布如图2 所示：

图2 大型建筑物的监测点位置分布图

2.2 监测数据的分析应用

工程建筑物某一监测点在各阶段的沉降数据如表1 所示。

表1 沉降数据 单位：mm

同时依据监测所获得各期数据制作折线图，下面将利用灰色预测模型GM（1，1）对该工程的建筑物变形预测进行研究，以该工程建筑物为例研究如何建立建筑物变形预测模型。

2.3 建立GM（1,1）模型

在大坝、房屋、基坑等一系列工程建筑物的变形沉降过程中，它们受许多因素的影响，这样一系列的建筑物变形沉降就具有了模糊性和不确定性。建立GM（1，1）模型就是为了减少这些模糊性与不确定性，通过少量的数据来找出变形沉降数据的规律性，达到变形预测的目的。以该工程建筑物为例，运用灰色模型预测模型GM（1，1）时候，通常讨论时间序列的单变量。以灰建模为理论基础，对该实例进行建模探究。取监测的前10 期监测数据为原始序列建模，后面的6 期数据作为预测的比较对象。

1）建立原始序列。

2）对原始数列作列加生成得到序列。

3）计算紧邻均值生成序列，发展系数、白化方程、模拟数据等可通过MATLAB 计算得出。

2.4 利用MATLAB程序计算

以下为MATLAB 生成的报告：

GM（1.1）模型：

输入原始序列：［0.24 0.50 0.81 1.24 1.66 2.11 2.57 3.00 3.53 4.02 4.57 4.99 5.42 5.90 6.41］

----------------------------------

1）输入原始序列为：

Columns 1 through 3

0.24 0.5 0.81

Columns 4 through 6

1.24 1.66 2.11

Columns 7 through 9

2.57 3 3.53

Columns 10 through 12

4.02 4.57 4.99

Columns 13 through 15

5.42 5.9 6.41

2）GM（1，1）模型的参数a、b分别为-0.132 和1.212。

3）GM（1，1）模型误差检验表数据如表2 所示。

表2 GM（1,1）模型误差检验表数据

4）平均相对模拟误差（%）：24.44。

2.5 灰色预测数据处理分析

通过报告中的数据表建立折线图后，进行分析。对数据进行分析处理，精度检验计算出方差为0.194，可以发现精度比较好。不过，平均相对误差为24.44%，这一结果误差过大，相对精度不高，说明模型精度普通，需要进行优化。

比对折线图，可以发现在监测的中期精度很好，但是GM（1，1）模型是指数模型，具有一直增长的特性。根据建筑物的变形特点，建筑物的沉降在一段时间后，会趋于缓和，故而GM（1，1）模型后期预测的数据，精度会越来越低，长期预测的可靠性严重缺失。

2.6 GM（1.1）模型优化

根据残差修正模型的理论，可以通过建立残差序列来建立模型，提高精度。

1）将残差数据提取一些出来建立新的序列。数据处理的时候，需要取绝对值建立序列。

通过MATLAB 程序计算出结果。

GM（1.1）模型：

输入原始序列：［0.002 0.277 0.603 1.013］

----------------------------------

1）输入原始序列为：

Columns 1 through 3

0.002 0.277 0.603

Column 4

1.013

2）GM（1，1）模型的参数a、b分别为-0.579和0.224。

3）GM（1，1）模型误差检验表如表3 所示。

表3 GM（1,1）模型优化误差检验

4）平均相对模拟误差（%）：6.07。

5）得到新的改正序列。

通过残差修正的方法建立新的修正模型得到新的修正值。计算得出改正后方差值为0.468，平均相对误差为4.14%，精度得到提高，模型良好。

将得出的数据整理为折线图，可以看出改正后的远期数据更加接近观测值，但是早期的数据还是存在一些问题，优化后的数据也只是针对模型远期数据，故而当进行全部数据的预测时，则需要进行删减或者换其他方法。

通过该工程案例结合灰色模型，最初建立的GM（1，1）模型以前15 期作为原始序列，但是精度不佳，效果不理想。对于这种情况，做出优化，选择残差修正。优化后的模型精度得到明显提高，但是通过数据对比发现，这种模型只适合短期的预测，同时，对数据还要有一定的要求。

2.7 建立DGM(1,1)模型

GM（1，1）模型是通过差分方程估计模型参数，通过微分方程推导模型时间响应式，因此上述模型兼具部分微分（光滑）部分差分（跳变）的性质。DGM（1，1）的参数估计与时间响应式均来自差分方程，确保了模型参数设计与模型时间响应式来源的一致性，因此DGM（1，1）模型能实现对齐次指数序列的无偏模拟。对于该工程，使用DGM（1，1）模型如下：

设置离散灰色预测模型DGM（1，1）模型。同时计算紧邻均值生成序列，若为参数列，则离散灰色预测模型的最小二乘估计参数列应满足相应条件。

利用MATLAB 计算得出以下结果：

（1）输入原始序列为：

Columns 1 through 3

0.24 0.5 0.81

Columns 4 through 6

1.24 1.66 2.11

Columns 7 through 9

2.57 3 3.53

Columns 10 through 12

4.02 4.57 4.99

Columns 13 through 15

5.42 5.9 6.41

2）DGM（1，1）模型的参数a、b分别为1.14 和1.31。

3）GM（1，1）模型误差检验表如表4 所示。

表4 DGM（1,1）模型误差检验数据表

4）平均相对模拟误差（%）：24.85。

2.8 DGM(1,1)模型结果分析

通过报告中的数据表5 建立折线图进行分析。

表5 报告数据

对数据进行分析处理，精度检验计算出方差为0.194，可以发现精度比较好，平均相对误差为24.84%，模型精度相对来讲一般。但是通过建立DGM（1，1）模型解决了经典GM（1，1）模型的缺陷。GM（1，1）模型及DGM（1，1）模型的最大特点是单序列建模，不用考虑系统发展受到哪些因素的影响及其影响程度。灰色理论认为，一个不确定性系统的发展与演化，受到诸多复杂外部环境与内部因素的影响，在这样的情况下，很难建立一个确定的因变量和自变量之间的函数关系去分析和预测系统的未来发展趋势。但是，系统在因素的影响和制约下，其运行结果是确定的，以本工程建筑物预测为例，变形受地下水位、地质状况和周围环境等多种因素的影响，然而沉降所体现出的是一个确定的数值。结合本实例，在预测的时候可以将DGM（1，1）模型预测当作相对精确的结果，将残差改正后经典的GM（1，1）模型预测当作近似结果。

3 结语

本文主要介绍灰色模型在变形监测中的应用，其中包括变形监测的内容与方法以及灰色模型的理论方法。同时以某区域的一大型建筑物监测为案例，研究了普通GM（1，1）模型在变形监测中的应用，以该工程的前10 期变形数据为原始数列建立模型，但是预测结果不理想，对于这种情况，对模型进行了优化改进，通过残差的方法进行修正得到新的残差GM（1，1）修正模型，实现了模型精度的提高，DGM 改善缺陷验证了灰色模型在建筑物变形预测中的可靠性。