铅华洗尽是中点 珠玑不御用向量——近三年全国乙卷理科数学立体几何解答题命题特点探究

贾会新

(甘肃省嘉峪关市教科所)

笔者对大量立体几何试题研究后发现,求解立体几何类试题的关键是中点.中点是解题的出发点和突破口,也是落脚点.比如等腰三角形底边的中点与顶角的顶点能引出垂直关系;普通三角形的中点能引出三角形的中位线的平行关系,而线线之间的位置关系多以垂直平行呈现.试题中有中点、平行或者垂直的位置关系,立体几何的证明和计算就有了抓手.求解立体几何问题的主要方法之一是向量法,空间向量坐标运算是特殊方法,向量的表示才是通性通法.教师在复习中要启发引导学生掌握稳定方法,熟练特定片段,提高解题质量,落实核心素养.

一、2023年全国乙卷理科第19题原题呈现

(1)证明:EF∥平面ADO;

(2)证明:平面ADO⊥平面BEF;

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

二、2023年全国乙卷理科第19题考题分析

2023年全国乙卷理科立体几何解答题序号是第19题,位置居中,共有3问.

(一)第(1)问解析

要证线面平行,先证线线平行.从图中容易观察到,若EF∥DO,则命题得证.而要保证EF∥DO,F必须得是AC的中点,而题目条件中并无F是AC中点的信息,那就得先证F是AC中点.

证明中点的方法有两种,一种是利用空间向量的坐标运算直接求得F点的坐标,另一种是利用共线向量基本定理,用基向量表示与F点相关的合适向量.立体几何中的向量,能够用坐标表示或者计算的属于特殊情况,不能用坐标表示时就只能用向量基本定理去表示,这就属于一般方法.师生必须都要熟练掌握用基向量进行表示的通性通法.

(二)第(2)问解析

对于有些需要关注和研究的图形,如果位置关系在原图中特征不甚明显,就需要将其抽取出来以平面图形呈现,更有利于计算证明,比如第(2)问抽取了△AOD.

于是有AO2+OD2=AD2,

△AOD为直角三角形,∠AOD=90°,AO⊥OD.

有了这组垂直关系,思路迅速打开.

根据OD∥EF便可得AO⊥EF.

又AO⊥BF,且EF∩BF=F,则AO⊥平面BEF.

又AO⊂平面ADO,于是平面ADO⊥平面BEF.

“不畏浮云遮望眼,善从图中抽平面”可见,第(2)问证明的关键在于获得了一组垂直AO⊥OD.可是有些考生看不出来这组垂直关系,所以本例就是生动的例子.

(三)第(3)问解析

1.向量法.根据DO⊥AO,BF⊥AO,可知异面直线DO与BF所成角为D-AO-C的平面角,不妨设为θ.

但是在《立体几何》(乙种本)全一册,人民教育出版社中学数学室编,1983年12月第一版教材中,立体几何二面角的求解办法只能用几何法,因为当时的教材中没有引入向量概念,所有的人都是通过“一作二证三算”的高难度动作完成的,特别能考验人,特别能折磨人,这种方法就是几何法.为了能让大家从知识的发展过程全方位认识一下二面角,进一步体会两种方法的各自特点,我们不妨在此探究一下几何法.

2.几何法.要作出二面角D-AO-C的平面角,就得分别在两个半平面内找到与棱垂直的线.

(1)“一作”.连接AD,BE交于点K,连接BF,AO交于点Q,连接KQ,KF,可知∠KQF为二面角D-AO-C的平面角.

(2)“二证”.根据第(2)问可知OD∥EF,可得AO⊥EF,又已知BF⊥AO,于是得到AO⊥平面BEF.又KQ⊂平面BEF,则AO⊥KQ,因此∠KQF为二面角D-AO-C的平面角.为了计算的便捷,可求其补角∠KQB.

(3)“三算”.△BQK的形状无法断定,经分析最稳妥靠谱的就是用余弦定理,但是用余弦定理就必须要算出三条边.对考生的运算能力提出了较高的要求.

最后一步就是在△BQK中直接求解二面角的平面角正弦值.

(四)解后感悟

1.解题方法：经过对以上两种不同的解法的对照发现,向量法简便快捷,达到了四两拨千斤的效果.是考生首选的方法.

2.知识技能：如果从学生平时复习系统性来看,对几何法的研究还是很有必要的,本题第(3)问中,步步为营,步步惊心.“一作”让学生明白了二面角的平面角是怎么做出来的,加深对二面角定义的理解;“二证”让学生加深对“线面垂直的判定”的理解;“三算”让学生会利用平面几何的知识层层递进、抽丝剥茧,加深对相似三角形、中位线、余弦定理等知识的理解和应用.

3.复习效果：几何法的繁杂过程提示我们,计算二面角的平面角绝非易事.考生只有在两种方法的比较中才能感同身受.只有系统掌握几何法求二面角的整个流程,又熟练掌握向量法求二面角的快捷方法.才能统领全局,居高临下,收放自如.复习能达到这个层级,收获就会最大化.

三、近三年全国乙卷理科立体几何题考点比较

年份2023年2022年2021年卷型理科全国乙卷第19题,共3问理科全国乙卷第18题,共2问理科全国乙卷第18题,共2问图形中点O,D,E分别为BC,PB,AP的中点E为AC的中点M是BC的中点第一问1.线面平行2.共线向量基本定理3.中点4.线线平行5.线面平行1.三角形全等2.等腰三角形底边中点3.线线垂直4.线面垂直5.面面垂直1.线面垂直2.线线垂直3.余角与等角4.三角形相似比5.求线段第二问1.勾股定理的逆定理2.线线垂直3.线面垂直4.面面垂直1.面积最小2.等边等腰直角三角形3.勾股定理逆定理4.共线向量基本定理5.中点的中点即四等分点6.线面角、法向量7.空间向量数量积应用8.线面角正弦值1.平面向量坐标运算2.法向量3.法向量的夹角4.空间向量数量积应用5.二面角正弦值第三问1.二面角定义2.空间向量数量积应用3.BF→·OD→=|BF→|·|OD→|cosθ4.二面角正弦值

四、近三年全国乙卷理科立体几何解答题特点分析

通过比较近三年全国乙卷理科立体几何解答题可以发现,它们之间所考查的知识点重合度高,共同特点多.可以概括为:

(一)中点.都会考查到中点或者与中点相关的知识.

(二)勾股定理.证明线面位置关系都需要通过边的关系利用勾股定理逆定理a2+b2=c2证得直角三角形找出垂直线段.2023年全国乙卷理科第19题、2018年全国乙卷理科第20题,两年的考点完全相同.

(三)相似全等推余角关系.根据两个三角形的已知边角关系证明三角形相似或者全等,得到两个等角,根据等量代换,推出另一个三角形中两个角的和为90度,于是进一步得到第三个角为直角,就推出了边的垂直关系.这种考查方式与勾股定理逆定理的考查方式经常交替出现.

根据试题中的已知条件容易得出△DCF∽△DBC,于是可以推出∠1=∠2,又因为已知∠1+∠3=90°,等量代换得到∠2+∠3=90°,所以可得∠CFB=90°,即CE⊥DB.又获取一组线线垂直关系.这种由相似全等推出余角关系找垂直和前面提到的利用数量关系验证a2+b2=c2找垂直关系,是立体几何高考解答题中两朵美丽的浪花,是实现数形转化,由数量关系推导位置关系的两大基石.学生在日常的学习中潜移默化地掌握两种获取位置关系的方法,就成为解决问题的有力武器.

(四)向量数量积公式.求线面角或者二面角,都可以转化为向量方法,借助平面的法向量,利用向量数量积公式m·n=|m||n|cosθ求解.

五、近三年全国乙卷理科立体几何解答题核心素养汇总

数学核心素养2023年2022年2021年逻辑推理能够对与学过的知识有关联的数学命题条件与结论的分析,探索论证的思路,选择合适的论证方法予以证明,并能准确地用数学语言表述论证过程直观想象能够掌握研究图形与图形、图形与数量之间关系的基本方法,能够借助图形性质探索数学规律,解决实际问题或数学问题数学运算能够针对运算问题,合理选择运算方法,设计运算程序,解决问题.能够理解运算是一种演绎推理.能够在综合运用运算方法解决问题的过程中,体会程序思想的意义和作用

在数学六大核心素养中,数学抽象与直观想象作为一类,它们是观察世界的数学思维;逻辑推理与数学运算作为一类,是思考世界的数学思维;数学建模与数据分析作为一类,是描述世界的数学思维.

很显然,立体几何解答题,至少考查了四个数学核心素养,首先在思维特征方面通过数学抽象与直观想象进行观察,提取了有用信息并进行化归转化.其次在思维特征方面通过逻辑推理和数学运算进行思考,定量探究了边角关系.可见,渗透了数学核心素养的“观察、思考、运算”是立体几何求解的重要特征.

六、近三年全国乙卷理科立体几何解答题相关特征分析

(一)几何图形的模型特征

2023年模型为底面是直角三角形,侧面与底面垂直的三棱锥;2022年模型为底面是等边三角形,侧面与底面垂直的三棱锥;2021年模型为底面是矩形,有一侧棱垂直于底面的四棱锥(阳马模型);2020年模型为底面是等边三角形的正三棱柱;2019年的模型为长方体.底面图形都很特殊,都有一条垂直于底面的线存在,这就为向量运算提供了保证.

(二)是否具备空间向量坐标运算要素

2023年考题具备建立空间直角坐标系运算的要素,分别以OA,OC,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系;2022年考题具备建立空间直角坐标系运算的要素,分别以EA,EB,ED为x,y,z轴建立空间直角坐标系;2021年考题具备建立空间直角坐标系运算的要素,分别以DA,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

(三)渗透的数学思想方法

三年的考题均考查了数形结合思想、化归与转化思想、待定系数法等数学思想方法.

七、复习备考建议

在一套共6道高考解答题中,没有一道题会轻松得分,概率需要建模抽象,三角函数需要逻辑推理和数学运算,其他如圆锥曲线、导数与最值等题型都不容易得分.而唯独立体几何解答题,经过有针对性的训练之后,学生解题成功率和成就感就会大大增强,所以说立体几何解答题是学生最容易拿到较高分数的题型,应该是师生重点关注的题型.

纵观近年来全国乙卷理科立体几何解答题命题特点,建议今后立体几何解答题高考复习备考中要注意以下几点.

(一)牢固树立“中点”的核心意识

猜想、推理、计算都要紧紧围绕“中点”展开,“中点”能派生出等腰三角形的垂直,能派生出中位线的平行.立体几何的落脚点是线线关系,有了平行和垂直的位置关系,所有的考点都会丰满而灵动.

(二)努力挖掘“a2+b2=c2”的数量关系

该数量关系可为几何证明提供有力的垂直依据.一部分学生在面对历年立体几何高考试题时,因苦于找不到充足的线线垂直条件而一筹莫展,实际上专家的命题意图就是要让考生对已知数据进行处理整合,通过三角形中边的关系得到直角三角形,教学中要提醒学生养成这样的思维意识,就是要从计算得垂直.过了这个坎,难度得到分散,思路随之开阔.

(三)精准计算“法向量”的待定储备

向量工具的引入,求角变得比较简单,考生可以不用作出所求的角,同样可以通过向量计算得到所求角.因此,利用待定系数法精准计算出平面的法向量作为储备,特别重要.

向量的坐标运算是特殊方法,是在能够建系的基础上的解法,当无法建系时,就要学会用基底去表示所需向量.这才是通性通法,这是教师要必须引导学生熟练掌握的一项基本功.

在向量工具未引入高中数学课本以前,立体几何求线面角或者面面角难上加难,因为都要经历对相应角“一作、二证、三算”的艰难过程,尤其是“二证”“三算”部分相当困难.前面已经将两种解法进行了较为全面的阐释,经历过两种解法对照的考生,会留下极其深刻的印象并且坚定地选择向量法稳定发挥.教师在复习过程中让学生探究体会两种方法,在比较中选择向量法作为储备.

(四)系统研究“几何模型”的相应策略

虽然几何图形无法猜测,但是立体几何解答题中的图形类型却也能有章可循.底面不外乎正方形、矩形、等腰三角形、等边三角形、直角梯形.与底面垂直的要素不外乎是线面垂直或者面面垂直.根据“中点”的核心意识,尽快定位空间直角坐标系,思路就打通了.把常见的几种几何模型训练熟悉了,提取其中的共性,分析立体几何的解答题就变得简单有趣,考生面对此类解答题就更加有自信.