成果导向教育的教材建设初探——以《最优控制》为例1)

曾祥远 * 温童歌 * 李俊峰

*(北京理工大学自动化学院，北京 100081)

†(清华大学行健书院，北京 100084)

教材是课程教学内容的主要载体，是学生学习课程内容和科学思想的主要工具，是教师有序开展教学活动的重要参考与支撑，在课程建设和课程改革中占有举足轻重的地位。高质量的教材可以为学生提供学习的核心内容、基本框架和探索性研究的基本线索，为具有自主学习能力的个体提供“初始能量”。同时，高质量的教材为高水平课程建设奠定重要基础，是教学改革不可或缺的一部分，是建设精品课程、实现育人目标的重要依托。

随着科技快速发展和人才强国战略的实施，我国教育教学改革已经发展到教学内容、教学方法、课程体系等全面综合改革的新阶段。不过，从目前各高校立项的教学改革项目以及相关教学比赛来看，教学新理念在教学方法改革方面推进较多，而对于教材建设与改革的关注明显不足。例如，2023 年2 月以“教学方法”为主题在中国知网搜索可获得71.12 万条中文相关文献，而“教材建设”主题搜索时仅有807 条内容。另一方面，高校课程建设过程中有关教材的出版和使用情况等相关研究相对较少，导致教材建设难以形成有据可查、有规可依的参考范式，不利于青年教师继承性地开展教材建设。特别地，“学为中心”的教学理念对教学活动提出了更高的要求，教材内容的选取和编排要充分考虑学生的学习情况，才能高质量地达成学习目标。

“学为中心”的教育理念起源于建构主义理论，于1998 年由联合国教科文组织明确提出，强调以学生的学习和发展为中心，实现教师“教”为中心向学生“学”为中心转变，全面提升学生的知识、能力和素质。该教育理念也是成果导向教育（outcome-based education，OBE）的3 个核心理念之一，为实现该理念还需另外两个核心理念的支持−成果导向和持续改进。成果导向[1]使得教育活动的判断标准更为明晰，即教育教学工作有没有促进并支撑学生达成毕业要求和培养目标。具体到一门课程，则是学生是否达到了课程要求的培养目标并具备了相应的思维和能力。持续改进是成果目标以及达成情况等不断改进的重要保障，以期培养目标与内外部需求相适应，并在教育教学活动中通过学生中心的教学评价不断调整培养方式，最终达成预期的培养目标。

随着我国工程教育正式加入《华盛顿协议》与新工科建设的大力发展，国内各大高校正在持续不断开展工程教育认证及相应课程改革。 “最优控制”是力学、宇航科学与技术、控制科学与工程等多个一级学科的重要基础课程。例如，实际工程里振动的主动控制方法中理论体系最为完备的一种就是最优控制[2]。随着交叉研究的新兴以及人工智能的快速发展，“最优控制”也已逐渐成为控制类课程中的经典。不过，其重要的优化思想和大量新的应用多出现在零散的网络内容或线下课程中，教材内容更新略显滞后。无论是教学主导身份的教师还是学习中心地位的学生，都清楚教材对于教育教学活动和学生学习活动的重要意义。对于教师而言，教材是课程主要教学内容和教学方法的知识载体[3]，是与课程教学不断迭代相互促进的关键要素，是教师对教学内容的深刻把握以及教学思想的重要展现。对于学生而言，课程教材是学习活动的主要依据，是有效理解和吸收课堂教学内容的关键蓝本，是开展自主学习和探索式学习的良好素材。对于工科类大学生，教材的重要性甚至不低于课程教学，一本可读性的教材、一本符合当前学生学习习惯的教材，或许更能激发学生的学习兴趣并提升他们自主学习的能力。

为此，在高校不断深入开展教学改革中，教材不应该再独立于课程之外或处在教学改革的边缘位置，而应该适应并引领教学改革。在课程改革与建设中，教材应作为教改的核心内容之一，持续改进更新教材内容和教材形式。在充分挖掘培养目标与课程关系的基础上，教材应当深入探究适应时代发展且符合学生习惯的教学内容和学习架构，为课程改革和学生培养提供高水平教材与学习之本。综合上述问题，本文以北京理工大学《最优控制》教材建设[4]与课程改革为切入点，力争阐明教材的内容安排及编写逻辑，为未来教材建设及教材改革提供一定参考。

1 国内外最优控制教材建设概述

1.1 国外代表性教材

最优控制亦称现代最优控制，是20 世纪中后期航空航天大发展背景下应运而生的。作为求解确定性系统优化问题的有力数学方法，最优控制已在科学研究、工业实践和国民经济等多个领域产生了广泛应用和重要影响[5]。变分法的创立、极大值原理和动态规划方法的提出，使得最优控制逐渐发展为一门独立的学问，在国内外高校理工科教学中作为一门单独的课程加以讲授和学习。本节首先对最优控制发展历史作简单回顾[6-8]。

变分法是最优控制的重要基础，最早的变分问题现已追溯至古希腊时期的“狄多等周问题”（Dido isoperimetric problem）。鉴于此类问题的古典几何属性，目前学界一般认为变分问题起源于1696 年伯努利兄弟打赌的“最速降线问题”，至18 世纪欧拉和拉格朗日等创立并发展了变分法。作为数学发展的黄金时代，19 世纪的Hamilton，Jacobi 和Weierstrass 等深化了变分法思想并将其数学基础严格化；20 世纪前半叶Bolza，Mcshane 和Bliss 等进一步推广了变分法并将其系统化。

20 世纪50～60 年代是最优控制发展的新阶段，50 年代初Bellman 提出了处理多级决策问题的动态规划方法及其最优性原理，50 年代末Pontryagin 等提出了极大值原理，用以处理控制变量受约束的最优控制问题。其中，Kalman，Lawden 和Battin 等学者将上述方法成功应用于航天探测轨迹优化等实际工程问题，进一步扩大了最优控制理论的影响力[9]。最优控制方法在工业界的另一个成功应用则是线性二次型调节器（linear quadratic regulator，LQR），这实际是一类满足最优性条件的线性反馈控制器。1971 年，Athans 作为客座主编在IEEE Transactions on Automatic Control组织了一期LQ 控制的专刊，其中，编者将此类具有二次型性能指标和微分方程约束的优化问题命名为LQR 问题[10]。至此，现代最优控制理论中的核心内容及主要应用均臻成熟。

最优控制的首部专著由Leitmann 等编辑出版于1962 年[9]，此时动态规划的专著和极大值原理的专著均已出版。第一部以《Optimal Control》为名的教材则正式出版于1966 年，作者为美国麻省理工学院Athans 教授和布朗大学Falb 教授（图1）。另一部包含大量应用实例的经典教材是来自于美国的《Applied Optimal Control》[11]，书中对于动力学系统和优化问题数值求解给予了大量关注，一定程度上增强了最优控制的影响并推进了最优控制走向更深层次的工程实践。欧洲最优控制代表性教材之一来自于英国伦敦帝国理工学院Vinter 教授，书中同时包含了Vinter 对于最优控制问题的大量思考，且每一章均提供了问题的历史背景。限于篇幅，下文将主要关注21 世纪以来国内出版的最优控制教材。

1.2 近期国内代表性教材

教育部第四轮学科评估中控制科学与工程A类高校共16 所，研究生培养方案或本研一体化培养方案均有最优控制相关课程。考虑到力学、宇航科学与技术、信息与通信工程等学科通常也要求学生选修“最优控制”，最优控制课程在我国“双一流”高校工科培养方案基本都会存在，不过相关教材并非每所高校都有，或者部分高校教材近十年从未更新过。例如，北京理工大学控制类研究生最优控制课程，之前一直选用吴沧浦教授2000 年出版的《最优控制的理论与方法》。该教材偏重于控制理论和数学推导，基于该教材的课程学习要求学生已选修过“线性系统理论”和“泛函分析”等课程，对于目前仅有高等数学基础的工科学生学习难度很大，难以达成课程目标。部分《现代控制理论》[12]和《自动控制原理》[13]教材会包含最优控制内容，主要是精简的数学推导和习题，内容以知识点呈现为主，对于理论的发展和应用着笔较少。

在近期出版的教材[14]中，西安交通大学吴受章编写的《最优控制理论与应用》别具一格，书中注重理论的对比分析以及应用实践探讨，结合MATLAB 软件给出大量仿真实例，并深入探究了美国登月的最优控制实际问题，为最优控制理论的学习以及发展应用提供了多维度的训练与思考空间。哈尔滨工业大学李传江和马广富整理的《最优控制》教材系统而全面，涵盖了静态优化和动态优化两大部分内容，例题和习题丰富，且包含了部分开放性思考题，有利于学生思维的拓展与创新性能力的培养。清华大学钟宜生最新教材则包含了部分鲁棒控制内容。国内上述优秀教材均系统介绍了最优控制的核心理论，包括变分法、极大值原理和动态规划方法，不过关于这些核心理论的来源、发展以及创建过程则提及甚少或直接略去。如果教师在授课过程中与学生共同探讨理论创建的过程和思想演变过程，辅以教材可以达到良好的学习状态，否则学生对于该学科的发展建设以及创新创造的过程是难以把握的，期待学生未来以此为基础实现再创新会更加困难。2017 年中国科学院张杰和王飞跃出版的教材[15]在该方面迈出了一大步，在理论内容之中穿插了相关学者的事迹及部分学科发展史，提升了教材的可读性。上述教材的内容整理和写作风格为作者新教材的编写提供了良好借鉴。

2 新教材建设情况

现代教育心理学认为学生学习水平的差别，主要在于兴趣、意志和习惯等非智力因素。学习兴趣能够吸引学生关注学习内容，在学习意志的支持下学习兴趣转化为学习动机并逐渐成为习惯，才能长时间专注于所学内容，最终达成学习目标。当今学生良好的教育基础使得他们对基础知识的学习兴趣不断降低，加之互联网的快速发展使得知识获取变得容易而及时，导致大多数学生对于选修课程难以提起兴趣，随之而来便是失去了学习这门课程的内生动力。机能主义的哥伦比亚学派代表学者Woodworth 在《动力心理学》中采用“驱力（drive）–机制（mechanism）”模型分析人类的学习行为，强调学习的“内生动力”作为驱力，以此达成良好的自主学习。

基于作者的授课和学生培养经验，以最优控制课程为例，若学生自身对课程内容感兴趣或者对科研工作等有重要支撑，学生便会产生“内生动力”，由此开启主动学习。不过学生基于兴趣产生驱力的主动学习还不够，要培养出探究式学习的习惯和批判性思维等高阶能力，还需要学生长期保持学习动力，如图2 上侧循环所示。学习动力的长期保持，主要来自于学习中的价值感和成就感[16]。价值感包括当前可直接应用的知识和方法，也包括对学生成长和发展有长期影响的能力、素质，后者需要教师在教学中注重高阶性、批判性思维等。成就感需要给学生适当的挑战度，有一定难度但跳一跳够得着，课程或教材中的前沿应用实例便是一部分，这同时也是当前教学中需要加强的部分。反之，若学生主观上不愿意学习，处在教师中心的被动式学习中，学生不能获得学习的兴趣，教师也无法收获教学的乐趣，更无从谈起长期保持。为了能够激发学生学习的内生动力，引导学生长期保持学习动力而达到预期的学习目标，下文将以最优控制课程为例基于成果导向教育理念探讨教材建设问题。

图2 基于动力心理学“驱力–机制”模型的改进范式

2.1 最优控制课程建设思路

教材建设与课程建设是学生培养的不同方面，二者相辅相成，割裂地谈论教材建设或课程建设难以真正达成创新性人才培养的目标。为此，本文在深入讨论教材建设之前，首先简介学生情况和课程建设思路，这也是教材建设的重要基础。作者讲授的最优控制课程为研究生学位核心课——控制类专业学生必修课，同时可供其他工科研究生、已取得保研资格本科生选修，近几年平均选修人数50～70 人，选课学生分布涵盖了自动化学院、机电学院、机械与车辆学院、宇航学院、信息与电子学院、生命学院等主要工科院系。这些研究生来自于全国多所不同的大学，一部分学生本科期间学习过自动控制原理、现代控制理论等相关课程，也有少一半同学没有相关基础，直接学习变分法及其约束极值问题时存在一定难度。此外，之前课堂讲授变分法等核心内容时连续系统后介绍离散系统情况，学生的学习效果不佳，难以有效衔接递进至连续系统极大值原理。由于最优控制课程涉及多个新概念和新理论，数学公式较多，课堂之外仅依靠教材自学时依然有很大挑战。

为逐一解决上述问题，作者讲授最优控制课程拟通过“三步走”完成第一阶段建设工作，包括：（1）基于多年授课积累出版配套教材，利于学生课堂外自学；（2）借助乐学平台开展SPOC（small private online course）课程建设，打破教师课堂教学的时间与空间限制；（3）基于学堂在线平台开展线上课程建设，以此为基础建设混合式课程。第二阶段则是基于形成性评价（formative evaluation）更新教材并改进课堂教学，不断提升学生的学习效果。在北京理工大学重点教改项目和线上共享课程建设项目支持下，最优控制课程目前已完成第一阶段前两步，正在准备学堂在线的录制资源和相关材料，其中教材建设是课程建设的第一步，也是本文探讨的重点。

2.2 OBE 教材主要特色

面向我国新工科建设和未来领军人才培养的教材建设是育人之基，要深入解读育人目标和学科发展需求，充分挖掘教学内容和学科特色，不断探讨课程知识内在逻辑及其背后蕴含的美妙思想，以此积累出高水平的教材。基于成果导向的OBE 理念在近几年的教学改革中不断发展，但在教材建设中还鲜有讨论，本文便是对此问题的一个初步探讨。OBE 教学理念首先要明确“学习目标”，针对目标开展逆向教学设计来形成学习内容建设方案；之后再正向实施教学活动，通过合理的教学评价评估学习目标完成情况；针对学习目标完成偏差和评价数据提出持续改进方案，开启下一轮循环。

图3 为基于OBE 理念开展教材建设（或课程建设）的设计过程，其中学习成果需求是“培养复合型创新人才”。限于作者水平，目前将学习需求对应的学习成果目标分类为“知识、能力和素质”3 个方面，知识的积累可以促进能力和素质提高，而能力和素质的提高能够帮助学习者更高效地获取成长所需的知识，3 个方面相互联系又相互促进。这3 方面的下位概念细分为6 个独立部分，例如知识方面希望学习者能够掌握“基础理论”与“核心概念”；这些被认为是获得“创新能力”和“应用能力”的关键基础。在学习者掌握专业知识与创新应用能力的同时，潜移默化地培养学生的团队协作精神和家国情怀，以此达成期望的培养目标。至此，围绕这6 个部分便可以构建出教材的框架结构、内容编排及撰写方式。以创新能力培养部分为例，新教材以研究探索的视角展开学习内容，以演绎分析的方式从问题出发直至得出关键结论或定理，让学生在参阅教材时能够“身临其境”地体会知识创新的过程，激发学生科研的兴趣和动力。下面对各部分的思考与实践做进一步的介绍。

图3 基于OBE 理念构建的教材关键架构

（1）结构设计与内容编排

新教材定位是工科类本科生和研究生通用教材，适用于自动化/非自动化专业学生或相关技术人员学习参考。为实现这一目标，教材第2 章从学生熟悉的函数极值入手，介绍了极值基本概念、变分法相关的数学基础知识、以及约束极值问题求解中的Lagrange 乘子法，方便学生从已有知识向新知识的学习迁移与递进。从内容完整性考虑，教材第3 章至第5 章以连续系统（主要是动力学系统）为研究对象，次第展开变分法、极小值原理（亦称极大值原理）和动态规划的基本理论，内容逐章递进。第6 章面向离散系统进一步对比分析3 类基本方法异同，并探究最优控制在线性二次型问题中的广泛应用。最后以一个深空探测轨迹优化的前沿实例，阐明最优控制理论及其应用蓬勃发展的现状，让读者切实感受到最优控制理论的优美及其实践应用的强大生命力。教材总体内容安排上注重问题的提出与研究方法的递进（图4），遵循“提出问题—探究方法—形成理论—推动应用”的探究式撰写风格，有利于培养学生探究式思维习惯，为未来创新性研究奠定基础。

图4 最优控制教材主要内容及章节安排[4]

（2）教材思政与历史文化

教育工作的出发点是育人，落脚点则是培养面向未来的复合型人才。这些人才在具备宽广扎实的基础理论知识和创新应用能力的同时，还需要有勇于承担国家社会发展责任的家国情怀以及团队协作等综合素质。上述服务国家社会的责任心和综合素质的培养以往主要集中在思政课程，而随着课程改革的推进和专业课中思政素材的挖掘，课程思政逐渐成为人才培养中达成育人目标的重要方式。作为课程建设的重要载体，新教材主要挖掘思政元素，将学科发展史、重要贡献华人科学家，以及相关中华历史文化等巧妙融入教材，形成教材思政，在学科知识的学习中潜移默化实现家国情怀的培养。例如，在分析Goddard燃料最优火箭爬升问题时，以图文并茂的方式介绍了钱学森先生完整解决这一问题的重大贡献，这是中国学者在该领域150 多年发展中的重要贡献，为未来中国学者在该领域的发展注入了强大的动力。在谈及伯努利兄弟打赌求解最速降线问题引发变分法起源时，横向介绍同一时代的中国清朝康熙时代的发展情况，对比呈现出当时中国自然科学发展落后的面貌，激发学生的爱国强国热情。我国赵鑫珊有言：历史是一面镜子，它照亮现实，也照亮未来。将中国历史发展与学科背景文化融入教材思政，有意培养学生长远发展的眼光和坚持奋斗的毅力，由此超越与身边人横向比较的阶段，跨入与以往时代大师纵向比较新阶段，真正发展成为引领时代发展的人才。

（3）前沿实例与英文关键词

最优控制的发展本就源于实际问题，极小值原理等现代控制方法更是直接服务于任务实践，为此该课程容易开展应用实例分析，便于学生了解理论与工程实际的联系。为了突出最优控制理论目前仍是控制学科的重要发展方向，且在多个领域具有重要应用，教材中除给出传统Bang-Bang 控制和线性二次型问题的实例外，以单独一节详细讨论了当前深空探测轨迹优化这一国际前沿热点难题。国际空间轨道设计大赛①国际空间轨道设计大赛（The Global Trajectory Optimisation Competition，缩写为GTOC）是由欧洲航天局（ESA）于2005 年发起的一项国际性赛事，旨在促进深空探测科学与技术发展，探索新型轨道设计理念与方法，是世界航天领域的高水平、专业性竞赛，号称航天界的“奥林匹克”。号称航天界“奥林匹克”，旨在探索新型轨道设计理论与方法，国内清华大学航天动力学与控制实验室自2005 年首届参赛至第11 届夺得冠军，很重要的一点便是创新性地应用了极小值原理。教材中将轨迹优化典型问题整理于最后一节，便于读者了解理论发展的前沿和最新应用。

为了适应当前国际化交流研究新形势，教材中关键词均给出了对应英文表达。一是目前学生英文水平均较好，二是研究生期间都会阅读和发表英文论文等。授课和指导研究生的过程中，发现学生完全理解和掌握中文概念和方法后，在研读英文论文时无法与既有中文框架下的知识快速有效地建立联系。教材中通过给出关键概念和关键方法的英文对照表达、引用英文原始文献以及推荐英文参考书目等，促进学生科研工作，着力培养学生国际化的视野和思维表达习惯。

2.3 持续改进的思考

纸质教材是课程学习的主要参考资料之一，能够系统清晰地展现课程内容，不过也存在携带不便和无法随时随地查阅的问题。为能够解决学生随时随地参阅学习的需求，该教材下一步规划建设成为立体式教材，通过建设课程网站，提供视频资料、案例分析、自测试题及探究性问题等多方面学习资料，推进最优控制教材与课程一体化建设。最优控制课程获2022—2024 年度北京理工大学精品网络共享课立项支持，目前正在准备视频录制资料，近期将进行视频资源录制及电子版材料制作。除上述立体式教材建设外，纸质教材使用3～5 年后会结合学生意见等更新改进，删减陈旧冗余内容，增加理论和应用最新进展等，持续改进优化教材建设，为学生提供高质量的学习参考资料。

3 结束语

本文以北京理工大学《最优控制》教材建设和课程建设为例，阐述了基于OBE 理念的教材建设情况。文中详细论述了OBE 教材建设的设计过程，围绕课程改革重点介绍了OBE 教材的特色，主要包括整体框架结构设计与内容编排、教材思政与历史文化建设、前沿实例与英文关键词融合等几个方面。目前最优控制课程已获北京理工大学精品网络共享课立项支持，随着线上课程的建设，未来有望建设立体式教材，不断提高教材质量，以达到培养学生学习兴趣与内生动力的目的，为实现复合型创新人才的培养目标提供优质资源。