混合神经网络用于滚珠丝杠热误差预测

孙廷英，张义民，李铁军

（1.沈阳化工大学装备可靠性研究所，辽宁 沈阳 110142；2.沈阳化工大学计算机科学与技术学院，辽宁 沈阳 110142）

1 引言

机床热误差对加工精度影响很大［1］。对热误差的研究表明，热致误差已经达到了总误差的70%［2］。可以看出，精确预测热误差对提高机床精度具有重要意义。

为了提高热误差的精度及鲁棒性，建立精确的热误差模型成为研究数控机床热误差的关键。

至今为止，研究者们在热误差建模方面有很多成果。文献［3］提出了LS-SVM的动态自适应方法对数控机床热误差建模。文献［4］提出了多元线性回归方法的主轴热误差模型。文献［5］利用径向基函数神经网络对热误差建模进行了研究，有效地减少了温度测量点的数量。文献［6］使用时间序列算法提出了热误差建模方法。文献［7］用人工神经网络（ANNs）建立了主轴温度与热误差之间的关系，并证明该模型有助于进行推广。文献［8］使用灰色算法和最小二乘支持向量机算法的组合建模方法对热误差进行预测。

上述建模方法在热误差预测方面取得了一定的成就，但实际应用中这些方法的热误差建模精度仍不理想，表现为泛化能力不足。因此，这里提出使用逆向辨识算法优化权值的混合RBFNNARIMA热误差建模方法，并与单一的模型进行试验对比。

结果表明，本模型既汲取了单独模型的优点，又提高了原有模型的精度和鲁棒性。

2 模型

2.1 RBF神经网络模型

RBF神经网络的第一层为输入层，输入变量从此层进入；第二层称为隐藏层，每个神经元通过径向基函数对输入变量进行运算；第三层是输出层，输出输入变量的预测值，是神经元输出的数据与对应的输出节点之间的权值计算而得［9］。RBFNN的原理结构，如图1所示。

图1 神经网络原理图Fig.1 Neural Network Schematic Diagram

将高斯函数作为RBFNN的径向基函数，表示隐藏神经元对输入变量的响应。激活函数的一般表达式为：

式中：U=（u1，u2，…，ur）T—输入变量；r—输入变量的维数；σq、εq—第q个隐藏神经元的中心和宽度，q=1，2，…，Q；Q—隐藏节点的个数。输出变量的表达式为：

式中：Fp—第p个输出节点的预测输出值，p=1，2，…，P；P—输出节点数；vpq—第p个输出节点与q个隐藏神经元之间的权值。

2.2 ARIMA时间序列模型

时间序列分析准确地反映系统的动态依赖关系，建立充足的基于有限样本的观测系统，并应用于预测和监控系统未来行为的数学模型［10］。一般表达式为：

式中：Ft—t时刻的时间序列；λ1，λ2，…，λo—自回归系数；o—自回归阶数；w—移动平均的阶数；δ1，δ2，…，δw，—移动平均参数；ϕt—模型的残差。

该模型具有三个操作步骤：模式识别、参数估计、诊断检查。首先使用自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来识别热误差序列模式，再确定参数o、w的阶数，最后通过Box-Jenkins方法诊断检查，验证模型是否符合当前数据序列。

在模式识别之前数据序列通常是非平稳的，因此需要对其进行差分，使其达到平稳，即使用ADF测试算法（ADF）证明它们是否平稳。

时间序列模型的本质是利用历史数据预测未来的数据。这里使用的历史数据序列数量固定，设置为G，初始历史数据序列G为神经网络模型的预测值。

历史数据序列G随着时间前移需要更新，新数据的来源为时间序列模型的下一步预测值。历史数据序列G的更新示意图，如图2所示。

图2 历史数据序列更新示意图Fig.2 Schematic Diagram of Historical Data Series Update

2.3 逆向辨识算法热误差模型

这里为了综合利用RBFNN和ARIMA两个模型各自的优点，提高热误差预测精度，将两个模型利用最优权值的方式结合在一起，形成新的混合模型。模型的表达式设置为：

式中：FRBF（t）、FARIMA（t）—RBF神经网络模型和时间序列模型在t时刻的热误差预测值；F（t）—混合模型在t时刻的热误差预测值；a、b—RBFNN模型和ARIMA模型的变权值，在t时刻的表达式为：

并且约束条件为0 ≤a≤1，0≤b≤1。

这里利用逆向辨识算法获取RBFNN与ARIMA两个单一模型随着时间的变化比值，再利用函数的拟合方法获取两个模型热误差预测值的最优变权值，从而获得最终预测值，整个热误差建模过程，如图3所示。逆向辨识算法的目标函数设置为：

图3 热误差建模流程图Fig.3 Thermal Error Modeling Flow Chart

式中：y（t）时刻t的热误差残差值；X（t）—t时刻的热误差的实验值。

3 实验装置

3.1 实验

为了验证RBFNN-ARIMA 模型的有效性，研究滚珠丝杠的热推导定位误差，这里针对滚珠丝杠系统进行了实验研究。该装置由微型计算机、热电偶、激光干涉仪、数控机床组成。实验中滚珠丝杠系统的规格设置为：丝杆长度为300mm，螺杆直径为32mm，导程为10mm，整个螺杆行程为220mm，轴承的内径、外径和宽度分别为30mm、62mm和16mm，实验装置，如图4所示。图中1、2、3号分别是轴承1座、轴承2座和丝母处的温度测点，通过热电偶以0.5s的间隔采集温度数据。4号为热误差测量点，由激光干涉仪记录了88mm处的系统定位误差值。

图4 实验装置示意图Fig.4 Schematic Diagram of Experimental Apparatus

3.2 数据采集

实验测量过程中，启动车床时记录系统初始状态，然后车床主轴以500r/min的转速和给定2000N的预载荷进行预热。整个实验过程经历了预热阶段（0～50）min、冷却初始阶段（50～70）min、深度冷却阶段（70～100）min三个阶段，为期100min的实验，整个实验测量过程中的数据，最终都记录进微型计算机中。本项研究中，又以相同的操作条件分别测试了主轴转速为1000r/min 和1500r/min的实验，记录相关数据并进行处理。不同转速下采集的实验数据，如图5所示。

图5 不同转速下的温度及热误差曲线Fig.5 Temperature and Thermal Error Curves at Different Speeds

4 结果与讨论

根据这里提出的基于逆向辨识算法的混合模型，对比分析了热误差建模预测值与实测热误差值。

这里利用500r/min和1500r/min的车床主轴转速实验数据作为训练集，以1000r/min的主轴转速数据作为预测集，验证新的混合模型的有效性。进而将这里所提模型与单一的RBFNN 和ARIMA模型分别进行对比分析，三个模型的残差对比结果，如表1所示。从表1中可以看出，通过优化权值后得到的混合模型的预测精度明显高于单一的RBFNN模型和ARIMA模型，进一步验证了这里模型的精确性。

表1 模型残差结果对比Tab.1 Comparison of Model Residual Results

5 结论

这里提出了基于逆向辨识权值比例的RBFNN与ARIMA的混合模型，利用逆向辨识算法，确定混合模型的最优权值，建立热误差预测模型。进而这里对滚珠丝杠进给系统的热误差进行了实验和对比分析。实验结果验证了该模型具有较高的预测精度。同时，该模型优于单一的RBFNN和ARIMA模型，并且扩大了传统模型的泛化能力。