曲径通幽 彰显本质

仲伟东

二次函数图像的平移、翻折和旋转是众多命题者青睐的方向，也被不少同学视为数学学习中的障碍。要突破这个学习难点，我们需要回歸知识本位去思考不同的解题策略，进而发现隐藏于题目之中的数学本质，解密二次函数图像的变换规律。

一、二次函数图像的平移

问题1 把二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，所得图像的函数表达式是什么？

【方法提示】方法1：在抛物线y=x2-2x-3上任取三点，如（0，-3）、（-1，0）、（-2，5），然后确定这三点向上平移2个单位后的新点坐标为（0，-1）、（-1，2）、（-2，7），最后用待定系数法求解。

方法2：我们根据平移性质发现，在自变量x不变的前提下，对应的函数值均增加2，直接得到平移后的表达式为y=x2-2x-3+2。

【密码破译】二次函数图像的平移问题本质是利用平移的性质确定平移后对应点的坐标，对于规律的运用要分清楚点的平移规律和图像平移规律的不同之处。

变式1 把二次函数y=x2-2x-3的图像向左平移2个单位，所得图像的函数表达式是什么？

【方法提示】方法1要注意点的左右平移和上下平移的区别；方法2要注意是函数值y不变，自变量x变化。

变式2 把二次函数y=x2-2x-3的图像沿直线y=[3]x方向向上平移2个单位，所得图像的函数表达式是什么？

【方法提示】此题的关键在于将“沿直线y=[3]x方向向上平移2个单位”进行解密，它的正确译文应是“先向右平移1个单位，再向上平移[3]个单位”。

二、二次函数图像的翻折

问题2 把二次函数y=x2-2x-3的图像沿x轴翻折，所得图像的函数表达式是什么？

【方法提示】方法1：同问题1的“方法1”一样，任取三点，然后用待定系数法求解。

方法2：我们根据轴对称性质发现，在自变量x不变的前提下，对应的函数值均取相反数，得到翻折后的表达式为

-y=x2-2x-3。

【密码破译】二次函数图像的翻折问题的本质是利用轴对称性质，确定翻折后的对应点坐标。

变式1 把二次函数y=x2-2x-3的图像沿y轴翻折，所得图像的函数表达式是什么？

【方法提示】方法1要注意点关于y轴对称和关于x轴对称的区别；方法2要发现其翻折的规律是在函数值y不变的前提下，对应的自变量x均取相反数。

变式2 把二次函数y=x2-2x-3的图像沿直线y=1翻折，所得图像的函数表达式是什么？

【方法提示】此题的关键在于将“沿直线y=1翻折”进行解密，它的正确译文应是“翻折前后，对应点到直线y=1距离相等”。

三、二次函数图像的旋转

问题3 把二次函数y=x2-2x-3的图像绕顶点旋转180°，所得图像的函数表达式是什么？

【方法提示】方法1：同问题1的“方法1”一样，任取三点，然后用待定系数法求解。

方法2：在抛物线y=x2-2x-3上取顶点（1，-4）和非顶点的任意点（0，-3），然后确定这两点绕顶点旋转180°所得的新点坐标为（1，-4）、（2，-5），最后用待定系数法设顶点式求解。

【密码破译】二次函数图像旋转问题的本质是利用中点坐标公式确定旋转后的对应点坐标。

变式1 把二次函数y=x2-2x-3的图像绕其与y轴交点旋转180°，所得图像的函数表达式是什么？

【方法提示】破译旋转类问题要学会取特殊点降低解题难度。如本题可取顶点和与y轴交点变换后的对应点进行求解。

变式2 把二次函数 y=x2-2x-3 的图像绕点（2，1）旋转180°，所得图像的函数表达式是什么？

【方法提示】对于旋转中心为一般点的情况，我们要学会合理建立全等三角形模型，正确求出变换后图像上的对应点坐标。

（作者单位：江苏省南京市江宁高新区中学）