探索运算律本质，开阔数学视野

东方建

本学期我们学习了五个重要的运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。这些运算律是数学中的基础知识。深入了解它们的本质不仅能提高我们的计算能力，还能进一步开阔我们的数学视野，为以后的学习打好基础。下面我们就来复习这部分内容。

一、理解加法交换律和加法结合律

我们先来看下面的图。

从上图可以看出，无论是用上面的2塊橡皮加下面的3块橡皮，还是用下面的3块橡皮加上面的2块橡皮，橡皮的总数都是不变的，都是5块，都是2个“一”和3个“一”相加，结果都是5个“一”。也就是无论两个加数的顺序如何变化，和都不变。这就是加法交换律，用字母表示是a+b=b+a。

我们再来看下面的图。

从上图可以看出，要算出这些橡皮一共有多少块，无论是先算2+3=5，再算5+7=12，还是先算3+7=10，再算2+10=12，橡皮的总数都不变。但为了使计算更容易，可以先算3+7=10，再算2+10=12。总之，都是2个“一”和3个“一”和7个“一”相加，结果都是12个“一”。也就是三个数相加时，为了使计算容易，可以先计算任意两个数的和，再与另一个数相加，最后的和不变。这就是加法结合律，用字母表示是a+b+c=a+（b+c）。

在有些计算过程中，运用加法结合律之前，会先用到加法交换律，例如45+38+55=38+（45+55）。这个很重要，大家一定要熟练掌握。

二、理解乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律

“好再来”超市购进了如右下图所示的矿泉水5箱，每瓶以2元的单价售出，这些矿泉水很快就被卖完了，于是超市又购进了15箱同样的矿泉水。问：这样的一箱矿泉水有多少瓶？5箱矿泉水卖了多少钱？超市两次一共购进多少瓶这样的矿泉水？

解决第一个问题，有两种方法：（1）横着数，每行有6瓶，一共有4行，所以这箱矿泉水有6×4=24（瓶）；（2）竖着数，每列有4瓶，一共有6列，所以这箱矿泉水有4×6=24（瓶）。大家发现了吗，无论横着数还是竖着数，这箱矿泉水都是24瓶，即6×4=4×6。所以，交换两个乘数的位置，积不变。这就是乘法交换律，用字母表示是a×b=b×a。大家还发现了吗，乘法交换律和加法交换律是不是很相似？两个数相加或相乘，交换两个加数或乘数的位置，它们的和或积都不变。

解决第二个问题，也有两种方法：（1）先算一箱矿泉水能卖多少钱，再算5箱矿泉水能卖多少钱，也就是（2×24）×5=240（元）；（2）先算5箱一共有多少瓶矿泉水，再算这些瓶矿泉水能卖多少钱，也就是2×（24×5）=240（元）。大家发现了吗，无论是哪种方法，都是2、24、5三个数相乘，只不过是运算顺序改变了，最后算出的结果都是240元，即（2×24）×5=2×（24×5）。所以三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，再与第三个数相乘，积不变。这就是乘法结合律，用字母表示是（a×b）×c=a×（b×c）。大家也许会问，根据数的特点，为了计算简便，先运用乘法交换律，再运用乘法结合律计算，也就是（2×24）×5=（24×2）×5=24×（2×5）=24×10=240，可以吗？三个数相乘，先把任何两个数相乘，再与第三个数相乘，积都不变，所以当然可以。但在解决问题列算式时，还是要先列出（2×24）×5或者2×（24×5），这样才能讲得通道理。

解决第三个问题，依旧有两种方法：（1）先算两次各购进了多少瓶，再加在一起，算出一共购进了多少瓶，也就是24×5+24×15=120+ 360=480（瓶）；（2）先算两次一共购进多少箱，再用一箱矿泉水的瓶数24去乘，也就是24×（5+15）=24×20=480（瓶）。大家发现了吗，24×（5+15）=24×5+24×15，也就是两个数的和与另一个数相乘，可以先把这两个数分别与另一个数相乘，再相加。这就是乘法分配律，用字母表示是（a+b）×c=a×c+b×c。把24×（5+15）=24×5+24×15的等号左右两边调换一下，从自然数乘法意义的角度来想24×5+24×15=24×（5+15），等式左边是5个24与15个24合并起来的和，而等式右边表示的正是这样一个合并的结果。另外，对于24×15，直接计算比较麻烦，如果从自然数乘法意义的角度去想，15个24是由10个24与5个24合并而成，那么就有24×15=24×（10+5）=24×10+24×5。

三、五个运算律的拓展

理解了以上五个运算律，我们再来看看跟它们相关的运算性质和简便算法。

1.减法的运算性质。先来看一个问题：“好再来”超市原有100瓶矿泉水，上午卖了49瓶，下午卖了21瓶，还剩多少瓶？解决这个问题时，有两种方法：（1）先用超市原有的矿泉水瓶数减去上午卖出的瓶数，再减去下午卖出的瓶数，就得到了剩下的瓶数，即100-49-21=30（瓶）；（2）先算上午和下午一共卖出的矿泉水瓶数，再用超市原有的矿泉水瓶数减去它们的和，得到剩下的瓶数，即100-（49+21）=30（瓶）。大家发现了吗，100-49-21=100-（49+21），也就是一个数连续减去两个数，等于这个数减去两个数的和，或者一个数减去两个数的和，等于这个数连续减去两个数。这就是减法的运算性质，用字母表示是a-b-c=a-（b+c）或者a-（b+c）=a-b-c。在连减计算或者有减法的计算中，可以根据数的特点，运用减法的运算性质，改变运算顺序和运算类型，使计算简便。

2.除法的性质。看了前面减法的运算性质，大家也许会问，除法有这样的性质吗？有。2000÷4÷25=500÷25=20，根据减法的运算性质及除法是乘法的逆运算，大家是否想到了2000÷（4×25）=2000÷100=20，所以2000÷4÷25=2000÷（4×25）。也就是说，一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个除数的积。这就是除法的性质，用字母表示是a÷b÷c=a÷（b×c）。

3.凑整的简便算法。计算中需要凑整的情况比较多，在这里只介绍其中的一种。有时候，我们需要计算例如9+99+999+9999这样的算式。如果按运算顺序直接计算，会很麻烦。通过观察和思考，可以发现这四个加数都与整十、整百、整千、整万接近，所以为了计算方便，可以先根据加法结合律把这四个加数变成整十、整百、整千、整万的数，再减去多加的4个1，即9+99+999+9999=（9+1）+（99+1）+（999+1）+（999+1）-4=10+100+1000+10000-4=11106。凑整时，一定不要忘了在最后减去多加的数。

亲爱的同学们，通过深入了解加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律，大家可以更好地理解和应用这些运算律。同时，运用好减法的运算性质、除法的性质和凑整的简便算法，大家能够进一步提高数学运算能力。希望这些内容能够帮助你们开阔数学视野，并在未来的学习中得到广泛应用。