不确定广义Delta算子系统的鲁棒H∞性能分析及控制器的设计

王文

泰山科技学院智能工程学院 山东 泰安 271000

引言

广义系统是在20世纪70年代提出的[1-2]。由于相对于一般系统而言广义系统能对系统进行更加普遍的描述，因而得到广泛的应用。Delta算子的方法是20世纪80年代被提出的，相对于传统的移位算子而言，Delta算子模型具有很大的优势[3]。在对实际系统处理过程中，往往会无法避免地遇到不确定因素，因此基于普遍性而言，针对各种系统研究需要考虑鲁棒性能分析[4]中的问题。鲁棒性能问题分析主要是研究存在所有的在给定范围内变化的不确定因素扰动下，系统性能仍能得到保持的条件。鲁棒控制问题主要讨论针对所研究的控制系统如何设计合适的控制器，以使得闭环系统能达到所要求的鲁棒性能。近年来，针对广义系统采用Delta算子研究方法取得了很多宝贵的结果[5-8]。然而，关于不确定广义Delta算子系统的鲁棒性能研究，比如分析以及控制的结果较少。因此在本文中，我们针鲁棒控制及鲁棒性能分析等系一列问题对不确定的广义Delta算子系统的进行了研究，并得到了系统的广义二次可容许的充分必要的条件。然后，进一步的利用线性矩阵不等式等分析方法，并给出了设计方法，并用数值例子来具象地描述理论结果。Delta算子即算子，其定义如下：

1 预备知识

考虑以下的广义Delta算子系统：

定义1：[9]若，则称系统（1）稳定。如果，则称系统（1）是因果的。如果系统（1）稳定，并且具备正则、因果两个条件，则该系统是容许的。

对于存在以下形式的广义离散系统：

引理2：[10]（舒尔补引理） 对于矩阵以及矩阵，以下不等式：

式中，各变量满足定义1中的描述。

证明：按照前文Delta算子的定义，可将系统（7）表示成系统（2）的形式。由文献[5]可知，系统（7）容许等价于系统（2）容许，系统（7）的性能与系统（2）相同。根据引理1及，系统（2）容许，且备有鲁棒性能的充分必要条件是存在矩阵以及矩阵满足：

很容易得出式（9）等价于式（8）。证明完毕。

考虑具有以下的形式的不确定广义Delta算子系统：

系统（13）中的其他符号与系统（7）中含义相同。

定义2：[11]对于任意的满足式（14）、（15）的不确定性矩阵存在着矩阵以及矩阵满足以下条件：

取：

这样，不等式（18）就可以写成以下的形式：

根据引理2，不等式（21）也可以写成以下形式：

3 鲁棒控制

对于如下式所述具有不确定性的广义Delta算子系统：

根据式（24）、（25），可以将系统（23）写成闭环形式：

根据定理1可知，闭环系统（27）具备广义二次容许的条件，并具有鲁棒性能的充要条件是对于矩阵以及任意的矩阵和任意标量满足：

4 数值算例

例 ：对于上述的系统（23），具有如下所示的参数形式：

所给出的不确定性矩阵具有如下参数：

根据定理2，可得状态反馈控制器（25）的表达式如下：

5 结论

本文讨论了不确定广义Delta算子系统鲁棒控制的问题。在系统存在着不确定性的条件下，利用线性矩阵不等式对广义Delta 算子系统进行了探讨，进而找到了系统满足广义二次容许，并且具备鲁棒性能的充要条件。

之后，在上述条件下进一步得到了状态反馈的鲁棒控制器的表达式以及存在的充分必要条件。最终的理论结果也通过数值实例和Matlab LMI工具箱仿真进行了验证。