作业讲评多“不妨”，生本评价促提升

洪丽敏

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向”，同时指出“教学评价是数学教学活动的重要组成部分，评价应以课程目标、课程内容和学业质量标准为基本依据，日常教学活动评价，要以教学目标的达成为依据.”

数学作业是学生获取数学知识、发展数学思维能力的一项重要的活动形式，同时也是师生之间知识交流互动的一个基本载体．数学老师对课后作业进行恰当的评价，能给学生们带来一种满足感，并能提高他们学习数学的自信心.因此，教师在数学作业批改时，需要通过判断解决问题方法的合理性、创新程度、答案的准确性、写作模式和作业的整洁度等全面评估数学课后作业的质量．当然，在数学作业讲评时，教师要调整传统“你听我讲”的形式，结合作业的反馈情况，多些“不妨……””、合理评价、激励学生.

1 不妨在“纠错辨析”中促“生成”

“对与错”是学生学习效果在作业完成中的直观呈现，“对”固然是好的，但“错”也不失是一面教学诊断的镜子．面对作业中存在的错误，教师不妨珍视错题暴露出来的问题，合理利用，“变废为宝”．

例1 已知函数f（x）是（－∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=－f（x），且当x∈［0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（－2011）+f（2012）＝（  ）.

A．1+log23  B．－1+log23  C．－1  D．1

学生的答案只有C或D两种结果，且两种答案几乎是旗鼓相当．为什么？带着疑问，作业讲评时，笔者各自请一代表说出解题思路．

1.1 各显身手

生1：x≥0时，由f（x+2）=－f（x）可知函数f（x）是周期为4的周期函数，又f（x）是偶函数，可推知f（x）是（－∞，+∞）上周期为4的周期函数，所以f（2012）=f（0）=0，f（－2011）=f（1）=1，故选D．

生2：由生1知f（2012）=f（0）=0，f（－2011）=f（－3）=f（3），根据条件f（3）=f（1+2）=－f（1）=－1，故选C．

听了学生1，2的解法后，大部分同学一下子都蒙了，两种解法都那样“无懈可击”.那么问题究竟出错在哪里呢？此时，有相当一部分同学认为题目错了.该如何判决呢？笔者并不急于作出判断，而是把“球”踢给学生．

评注：对于作业中存在的较大面积错误，讲评时，教师不仅要关注正确的解法，更要关注错误的原因（大面积的错误绝非偶然），此时应让“不同声音”得以完整呈现，以便学生在解析之后辨明是非．

1.2 辨明是非

学生通过思考讨论，一部分学生建议画图试试.

若x∈［2，4），则x－2∈［0，2），f（x－2）=log2（x－1）=－f（x），故f（x）=－log2（x－1），故函数f（x）的图象如图1，由图1可知，正确答案为C．

评注：查究错误之源是纠错的重点，此时贵在引导学生领悟“如何找？”，而非“直接给”.本题“纠错”关键在于让学生学会思考――数形结合是解决函数问题的重要方法，既然“数”计算不能辨真伪，那么只能求助于“形”了.

1.3 错因解剖

笔者抓住机会，让学生说说解法1错误的原因．最后形成共识：对于偶函数f（x），f（x）在［0，+∞）上的周期为4，可以推出f（x）在（－∞，0）的周期为4，但f（x）在R上并不是周期函数．（）

评注：让学生学会对错误的原因进行辨析说理，在说理中有所思、有所得、有所悟．

1.4 因势利导

若函数f（x）是（－∞，+∞）上的奇函数，情况又如何？如图2，我们发现上述结论（）对奇函数f（x）仍成立．

评注：“因势利导、乘胜追击”是纠错后的“强化”环节，一方面可以检测诊断学生对错误的辩证认识，另一方面可以对比、迁移知识．

生本评价：教师对学生作业完成情况的多元评价，将使得作业的强化、反馈效果更上一层楼.“落红不是无情物，化作春泥更护花.”作业中存在的错误，虽没有正确答案那样赏心悦目，但却是教学效果的晴雨表．教师在作业讲评时要善于开发利用错误资源，鼓励学生暴露解题历程，引导学生进行“纠错辨析”，不仅明白“错在哪里？”，更要弄清楚“为什么错？”，最终实现“变废为宝”.

2 不妨在“百花齐放”中促“提炼”

对于同一个题目，不同的学生由于不同的学习体验，常出现不同的解法，形成不同的解題策略．在作业的讲评中，不仅要鼓励学生寻求不同的解法，“百花齐放”，更要善于引导学生注重提炼解题策略．

方法二：如图3，可知∠CDA+∠ADB=π，则有cos∠CDA=－cos∠ADB．

不妨设CD=DB=x（x>0），则BC=2x．在ΔADC与ΔADB及其ΔABC中结合余弦定理可解得b=6．（下同方法一，略）

评注：作业呈现的方法主要是方法一、二（课堂曾解决过三角形中线的问题），学生的作业反馈在笔者的意料之中，笔者欣慰之余又有所期待…

2.2 百花齐放

受生1启发，生2认为可以把三角形补成平行四边形．

ΔABE中，由余弦定理解得BE=6，所以b=AC=BE=6．（下同方法一，略）

方法五：受方法1影响，生3认为解决向量问题

评注：对于学生的多样解法，笔者甚感欣慰，尤其方法三，课后笔者曾与该学生交流，“为什么这么想？”，学生说“老师您不是常说‘中点，再找中点，构造中位线吗？”（有的解题策略的确可以深入人心），让笔者倍感欣慰！

2.3 提炼策略

在欣赏学生的多样解法之余，笔者趁热打铁，引导学生归纳三角形中线问题的常见解题策略：

策略一：利用互补关系（如方法二），此策略可解决一般“爪形结构”情形，属通法；

策略二：构造平行关系（如方法三、四），此策略也可解决非中点情形，属通法；

策略三：利用中点向量形式（如方法一），属最佳解法，也可推广到非中点情形；

策略四：建立坐标系（如方法五），关键在于合理建系，也是解决三角形问题的常见策略.

评注：“提炼策略”是最容易被师生忽视的环节，也常常因为该环节的缺失，学生易陷入“虽有多种想法，但不知如何入手”、缺乏“策略性解决问题”、“只见树木不见森林”的困境．

生本评价：教师对学生作业“百花齐放”解法的及时肯定与赞赏，可以进一步激发学生的学习热情和探究欲望.作业讲评时，教师若能引导学生对多种解法进行反思总结、甄别对比，再加以提炼，辨别通性通法和最佳解法，将使得讲评的效果更佳.

3 不妨在“总结反思”促“提升”

荷兰数学教育家弗莱登塔尔指出：反思是数学思维活动的核心和动力．反思是数学解题过程的最后阶段，也是提高学生解题能力最有意义的阶段．然而，这个阶段常常被忽略．数学作业离不开解题，为此，教师在讲评之余能否引导学生进行解题反思，在某种程度上决定了学生解题的高度．

例3 如图7，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，A1A=AB=AC，D是AB的中点．记平面B1C1D∩平面A1C1CA=l，在图中作出l，并说明画法.

在讲评之余，笔者引导学生总结反思两平面交线的作图策略：

一是找两平面的两个交点，则可确定交线（如图8）．其作图要点在于：先直观找一个公共点（如点C1）；再通过同一平面內的两相交直线确定另一公共点（如本例中的直线B1D和直线AA1相交于点F）．

二是构造两平行直线（两平行直线可确定一个平面，如图9），其作图要点在于构造平行关系（常见中位线形式，如本例中C1B1∥ED），需要考生较强的观察能力．

同时要引导学生注意以上两种方法的合理选择．比如图10，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，求作平面PAD与平面PBC的交线时，可直接过点P作直线l//AD，则有l//AD//BC，则l为所求直线（此时就不宜用方法一，AD//BC，不相交！）图11

进而类比思考线面平行的作图策略：比如问题“在平面A1C1CA内过A作一直线m//平面B1C1D”．此时，学生不难把问题化归，如图11，先作出两平面交线l，再作AG与交线l平行．

通过这样的反思，学生不再“就题论题”，而是能“由例及类”，其“解题能力”得以在反思中提升．

生本评价：对于“学习解题”而言，学生完成了解题过程，并不意味一次“解题学习”的完成，对解题的真正学习是“回顾解题”.这如同知识获得的保持阶段一样，它是解题学习的“保持阶段”.“工欲善其事，先利其器.”“回顾解题”就是磨利解题武器的过程，可取得举一反三的作用.因此，无论是解题教学还是作业讲评，教师一定要留出时间，让学生回顾解题，在解题反思中提升.

总之，数学作业讲评中，教师不仅要合理评价学生的不同想法，还要学会适当放手，不妨多多创造机会让学生“生成知识”、“提炼策略”，进而“提升能力”，最终实现“教学双赢”.

参考文献

［1］胡秀．基于生本理念的高中数学前置性作业研究［J］．数学教学通讯，2023（03）.