几类二次三项式偏微分方程的整函数解

魏慧珍 ,涂金 ,徐洪焱

(1.江西师范大学数学与统计学院,江西 南昌 330022;2.上饶师范学院数学与计算机科学学院,江西 上饶 334001)

1.引言

Gross在文[1]中讨论了Fermat型函数方程

并证明:方程(1.1)的整函数解形如f=cosa(z),g=sina(z),其中a(z)为整函数.由文[2-3]可知,Fermat型函数方程的研究可追溯到60年以前甚至更早.近年来,随着Nevanlinna理论的快速发展,许多复分析学者应用该理论于(偏)微分方程以及差分方程中,取得了大量重要且有趣的成果.尤其在研究复域内的Fermat型函数方程方面,如: 刘凯,曹廷彬等讨论了方程

得到

定理A[4]若f是(1.2)的整函数解,则f必须满足f(z)=sin(z±iB),其中B ∈C,且c=2kπ,或c=(2k+1)π,k ∈Z.

2013年,Saleeby研究了

的整函数解与亚纯函数解,得到

定理B[5]若f,g是(1.3)的整函数解与亚纯函数解,则

2016年,刘凯,杨连忠等在文[6]中研究了方程(1.3)中g与f具有一些特殊关系时解的存在性以及形式,得到

定理C[6]若α0,±1,则方程f(z)2+2αf(z)f′(z)+f′(z)2=1,不存在超越亚纯函数解.

定理D[6]若α0,±1,则方程f(z)2+2αf(z)f(z+c)+f(z+c)2=1的有限级超越整函数解的级数必须等于1.

而对于多变量的Fermat型函数方程,为叙述方便,以下均记z=(z1,z2).1995年,Khavinson在文[7]中证明了偏微分方程

定理F[14]令c=(c1,c2)∈C2,则

的任一超越整函数解具有形式f(z1,z2)=sin(Az1+B),其中A,B ∈C且为常数,=1;特别地,当c1=0时,有f(z1,z2)=sin(z1+B).

受以上定理及结果启发,本文主要研究了二次三项式偏微分方程,即将方程(1.3)推广到多变量的形式,如:方程

的有限级超越整函数解的存在性及其形式,其中α2∈C-{0,1}.

因此,本文只考虑α0,±1的情况.

2.主要定理与举例

从上述问题出发,文章得到

定理2.1若f(z1,z2)为方程(1.6)的有限级超越整函数解,则f(z1,z2)具有以下形式之一

以下两个例子说明定理2.1中的有限级超越整函数解的形式是精确的.

推论2.1若方程(1.7)中α,则该方程不存在有限级超越整函数解.

定理2.3若f(z1,z2)为方程(1.8)的有限级超越整函数解,则f(z1,z2)具有以下形式之一

以下两个例子说明定理2.3中的有限级超越整函数解的形式是精确的.

3.重要引理

为了定理的证明,我们引入以下引理:

引理3.1[17-18]设F为Cn上的整函数F(0) =0,且ρ(nF)=ρ<∞,则存在一典型的函数fF与函数gF ∈Cn,满足F(z)=fF(z)egF(z).特别地,若n=1,则fF为Weieratrass典型乘积.

注3.1记ρ(nF)=ρ<∞为函数F零点计数的函数的级.

引理3.2[3]若g与h为复平面C上的整函数,且g(h)为有限级整函数,那么下面两种情形之一发生:

1)h为多项式,g为有限级整函数;

2)h为非多项式的有限级整函数,g为零级超越整函数.

4.定理2.1的证明

证假设f(z1,z2)为方程(1.6)的有限级超越整函数解.令

其中u,v为整函数.则方程(1.6)可写成以下形式

现对以下两种情况进行讨论.

结合(4.3),(4.4)得

由(4.5)可知

利用初始条件:z1=0,z2=s,f(0,s)=ϕ(s),其中ϕ(s)是含s的参数表达式.根据(4.5)特征方程的参数表达式z1=t,z2=-t+s得到

其中ϕ(s)是有限级超越整函数.再结合z1=t,z2=-t+s得

根据(4.3),(4.4)得到k2=0,k1=±1.由(4.7)式得

将(4.8)代入(4.3)或(4.4)得

由(4.8),(4.9)式得

其中b0∈C.

其中

由(4.11),(4.12)得

由于u,v是超越的,故p(z)不是常数,且

其中b0∈C.由(4.13)可知

利用初始条件:z1=0,z2=s,f(0,s)=φ0(s),其中φ0(s)是含s的参数表达式.根据(4.13)特征方程的参数表达式z1=t,z2=-t+s得

其中φ(s)是有限级超越整函数,且

再结合z1=t,z2=-t+s得

将(4.18)代入(4.11)或(4.12)中得到

由(4.18),(4.19)式得到

其中b0,η ∈C.

综合情形1和情形2,定理2.1证毕.

5.定理2.2的证明

证假设f(z1,z2)为方程(1.7)的有限级超越整函数解.类似定理2.1的证明,令

其中u,v为整函数,则方程(1.7)可写成以下形式

现对以下两种情况进行讨论.

结合(5.3),(5.4)得到

另一方面,由(5.3),(5.4)得

根据(5.3)与(5.6)得

由(5.7)式可知f√(z)为常数,因此在该情形下方程无超越整函数解.

由(5.8),(5.9)得

另一方面,根据(5.8),(5.9)得

由(5.10),(5.11)得

同理可知u,v是超越的,由上述式子可得

设degPz1=m,若m ≥2,则(5.13)式左边阶数不为0,右边为常数,矛盾.因此m ≤1.若m=0,则(5.13)式左边为0,右边为常数不等于0,矛盾.因此得到m=1,则=0.于是(5.13)可写成

根据(5.14)得到

综合情形1和情形2,定理2.2证毕.

6.定理2.3的证明

证假设f(z1,z2)为方程(1.8)的有限级超越整函数解.类似定理2.1的证明,令

其中u,v为整函数.则方程(1.8)可写成以下形式

现对以下两种情况进行讨论.

结合(6.3),(6.4)得到

根据(6.3)与(6.6)得

由(6.7)可知

利用初始条件:z1=0,z2=s,f(0,s)=ψ(s),其中ψ(s)是含s的参数表达式.根据(6.7)特征方程的参数表达式z1=t,z2=t+s得

其中ψ(s)是有限级超越整函数.再结合z1=t,z2=t+s得

再根据(6.3)得k2=0,k1=±1.由(6.9)式得

将(6.10)代入(6.3)或(6.4)得

由(6.12),(6.13)得

由(6.12),(6.15)得

另外由(6.15)对z1求偏导,再结合(6.14)得

同理可知u,v是超越的,由上述式子可得

同理得到p(z)具有以下形式

其中b0∈C.由(6.16)得

利用初始条件:z1=0,z2=s,f(0,s)=φ1(s),其中φ1(s)是含s的参数表达式.根据(6.16)特征方程的参数表达式z1=t,z2=t+s得

其中φ2(s)是有限级超越整函数,且φ2(s)满足

根据(6.20)得到

将(6.21)代入(6.12)或(6.13)中得到

由(6.21),(6.22)得到

其中b0,η ∈C.

综合情形1和情形2,定理2.3证毕.