一类基于等级结构的n维食物链系统最优收获

贺亚权,雒志学

(兰州交通大学数理学院,甘肃 兰州 730070)

1.引言

近些年来,有关生物种群的最优收获控制问题一直被人们广泛研究[1-12,14],其中所具有的实际意义无疑是重大的.因为研究生物种群的合理开发与科学管理,可以促进我们人类文明的发展进步.

如今,人们也已把生物种群作为可再生资源进行开发,这样一来,种群内部的个体年龄分布就会对实际的经济收益造成直接影响.就以养殖业为例,一般年幼的和太老的都不太值钱;而对于处在适当年龄间段的生物,通常情况下,其食用和营养价值都很高,但这些成熟个体也都是由未成熟的个体花费较长时间长成的.而这种情形在控制理论的领域当中,就已经是一类有关初始分布的最优控制问题,其中的控制变量就是这一种群的初始年龄分布.因此,我们可以通过适当地调整种群的初始状态,并且在培养一段时间后,就能成功获得最大收益.

为此,我们就需要精细刻画生物种群的演化行为.而为了精细刻画生物种群的发展与演化,常常在建模的时候就要考虑个体间所存在的各种结构性差异抑或是种群间的一些复杂关系,比如在个体间,就会讨论研究年龄、尺度、空间位置等特征差异,再比如在生态环境中的某一生物群落系统里,就会考虑研究各种群间竞争、互惠、捕食等的复杂关系.此外,还有在每一个种群的内部存在以个体的年龄为基础的社会等级地位差异,这也不难理解,例如在狮群中就有类似的现象.

现今在不断发展的情况下,种群内部的等级地位差异也已经被纳入到个体的生命参数里,就产生了具有等级结构的生物种群模型.相关方面已经有的工作可参见文[1-2,4-5].这些成果大多比较关注种群的动态演化与控制,比如文[2]中的等级结构模型就为两种群捕食系统模型建立了最优控制;又比如文[10]里的生物模型研究的是非线性种群年龄等级结构的最优收获问题;再比如文[14]研究了连续的单种群的年龄等级结构,并且讨论了系统的最优收获问题,确立了最优控制问题解的存在性,还得出了最优问题的一阶必要条件.

本文将考虑如下最优控制问题:

在上述系统中,xi(a,t)表示t时刻年龄为a的第i个种群的种群密度,函数mi,µi和βi分别表示种群i中个体的密度制约,平均死亡率和繁殖率;ri(E(xi-1)(a,t),fi((E(xi+1)(a,t))分别表示在食物链当中食饵对捕食者的增长贡献率,捕食者对食饵造成的额外死亡率.

其中需要说明内部环境E(xi),它的定义如下:

常数αi表示对第i个种群中年龄大于a的个体的折扣系数,表达了比年轻个体较弱的竞争力.

2.解的适定性

定义2.1系统(1.1)的解为:

它在几乎每条特征线a-t=c(c为常数)上绝对连续且满足

下面,我们将利用压缩映射原理证明系统(1.1)解的适定性.

将系统(1.1)中函数参数µi,mi,βi,fi里xi固定为非负函数qi,i=1,2,···,n.由此可得以下的线性系统:

由文[12]的线性理论可知,上述系统(2.1)有解.并利用特征线方法可得

其中i=1,2,···,n;s ∈(0,min{a,t})以及

利用(2.2)和系统(2.1)中的方程,再经过适当的变量替换可得

而在(2.4)中函数Fi与Ki定义如下:

其中c=min{a+,T}.

以下只处理T>a+情形,相反的情况可用类似的方法证明.

从假设(A1)-(A4)可推得

其中∥(v1,v2,v3)∥=∥v1∥+∥v2∥+∥v3∥.

接下来我们引入两个引理.

在区间(0,T)上几乎处处成立.

证对任意qk,k=1,2,由(2.5) 可知: 若t ∈(a+,T),则Fi(t;qk)≡0,此刻(2.7)自然成立.

若t∈(0,a+),则由(2.5)可推出

由内部环境E(xi)的定义,可有

再利用上式以及Gronwall不等式可有

上述引理处理了i=2,3,···,n-1的情形,但对于i=1,n的情况依然可用类似的方法证明出来,并且更简单.

并在此基础上,定义如下映射:

其中

这表明,t ∈(0,a+),有(2.10)成立;t ∈(a+,T)时,类似可证.

定理2.1如果(A1)-(A4)成立,则系统(1.1)存在唯一解,且该解非负有界.

证令λ>M4T,在q=(q1,q2,···,qn)∈[L1((0,a+)×(0,T))]n空间内定义如下范数:

故G为空间([L1((0,a+)×(0,T))]n,∥•∥∗)上的压缩映射.因此,根据Banach不动点定理,该映射存在唯一的不动点,即为系统(1.1)存在唯一解.

另一方面,易得该解不仅非负,而且有界.证毕.

有以下几点注意:

注1现在我们已经确立了系统(1.1)解的适定性.即对于任意给定的u=(u1,u2,···,un)∈U,若假设(A1)-(A4)成立,则系统(1.1) 在QT上存在唯一的非负有界解

注2(A1)-(A3) 中函数mi,βi,µi的单调性体现的是种群内部的密度制约,而函数ri,fi的单调性表现的是多种群之间捕食与被捕食的关系.

注3(A2) 表达了种群的自然死亡率µi(a)局部有界,但在最大年龄值处无界,这点与最大年龄有限相匹配.

注4xi(a+,t)=0,t>0,i=1,2,···,n.

之后为避免混淆,使用下列记号:

3.最优解的存在性

在证明最优解的存在性之前,还需要引入以下引理.

由注1,2和假设(A1)-(A3)可知

下面引用Fr´e chet-Kolmogorov定理[13]来证明引理3.1.

下证明控制问题最优解的存在性.

定理3.1问题(OH)至少有一个最优控制.

并且根据引理3.1,当m →∞时,还有

对任意固定的(a,t)∈QT,取函数(i=1,2,···,n),

根据弱解的唯一性[3],有x∗=成立.即有E(x∗)=

因此,不等式(3.1)可变为

4.最大值原理

证明最优解的一阶必要条件之前,需要引入以下引理.

引理4.1系统(1.1)-(1.2)的解xu ∈(L∞(QT))n关于控制变量u在(L∞(QT))n中连续.

对于该引理的具体证明,可采用类似文[14]的方法.

下证控制问题最优解的一阶必要条件.

定理4.1如果(u∗,x∗)是(OH)的最优对,则有

这里q=(q1,q2,···,qn)为下列共轭系统的解.

其中,i=1,2,···,n,

证系统(4.2)解的适定性,可由标准证明[3]证得.并且用NU(u∗)表示[L∞(QT)]n中U在u∗处的法锥.

对任意v=(v1,v2,···,vn)∈ΓU(u∗)(集合U在u∗处的切锥),都有任意足够小的ε>0,使得uε:=u∗+εv ∈U,故

故当ε →0+时,并运用引理4.1,有

的解.

上述系统解的适定性可用类似于文[14]的方法证明.

在(4.4)1两边同乘以qi并在[0,T]×[0,a+]上进行积分,我们得到:

现在再利用(4.3)和(4.13)又有下式成立:

考虑到NU(u∗)的结构可得:

且对任意v ∈ΓU(u∗)均成立.即等价于(4.1),即证.

5.结论

本文研究了一类具有年龄等级结构的n维食物链种群系统的最优收获问题,首先研究了该系统解的存在唯一性以及非负性;其后又运用了紧性定理和Mazur定理证得了控制问题最优解的存在性;最后还通过构造共轭系统和利用法锥的概念,得出了最优控制问题解的一阶必要条件.因而,本文的结论更具有普遍性,并且是对于文[2]的总结.