二次函数综合题的解法探究与启示——以2023年南充市中考数学二次函数题型为例

相晨晨

(合肥师范学院数学与统计学院,安徽 合肥 230071)

二次函数是初中数学的重要内容,也是中考数学的重要考点.由于其涉及的知识面广,思维难度大,通常以中考压轴题的形式呈现,对学生而言具有一定的难度.解决这类问题需要学生具备较高的数学素养和思维能力.2023年南充市中考数学第25题是一道以二次函数为背景的压轴题,具有一定的选拔功能.本文立足核心素养,明晰思维路径,探究多种解法,培养学生利用数学知识分析问题和解决问题的能力,提升学生的数学核心素养.

1 试题呈现

如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.

图1 抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)

(1)求抛物线的解析式.

(2)点P在抛物线上,点Q在x轴上,以B,C,P,Q为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标.

(3)如图2,抛物线的顶点D,对称轴与x轴交于点E,过点K(1,3)的直线(直线KD除外)与抛物线交于G,H两点,直线DG,DH分别交x轴于点M,N,试探究EM·EN是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.

2 试题分析

不论是从知识的综合性还是思维的层次性来看,二次函数都当之无愧地占据着初中数学代数领域的“制高点”,是中考压轴题的命题热点[1].本题是一道二次函数的综合题,以二次函数为背景并结合图形与几何进行命题,不仅能考查学生对二次函数和图形与几何相关知识的掌握情况,还能考查学生综合应用知识的能力及灵活处理问题的心态.问题的难度层层递进,符合学生的心理特征及由易到难的解题模式.本题以核心素养为导向,集中体现了数学课程的育人价值,符合《义务教育数学课程标准(2022年版)》所提出的命题原则,即实现对核心素养导向的义务教育数学课程学业质量的全面考查[2].

本题主要考查的核心概念有二次函数、平行四边形的性质、一次函数、线段定值等,蕴含丰富的数学思想和方法,主要有方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和模型思想等.综合考查了学生的运算能力、几何直观、空间观念、推理能力和创新意识等核心素养.

问题(1)难度较小,考查二次函数的解析式,学生只要熟知二次函数相关知识及求解方法,就能很容易解出正确答案.此问题主要考查学生的运算能力,培养学生会用数学的眼光观察现实世界.问题(2)难度上升,从学生的认知规律来看,只要学生认真审清题目,提取有关信息,采用“爬山法”,一步一步分析题目,也能很快解决问题.而本题是从平行四边形的性质出发,最终落脚到点的坐标,解题最关键的一点是学生能够考虑到分类讨论的思想,想到固定点B,C组成的线段,而点P在抛物线上,通过抛物线的图象来看,点P有可能在x轴的上方,也有可能在x轴的下方,然后采用数形结合的方法解决问题.此问题主要考查学生的运算能力、几何直观、推理能力等,培养学生会用数学的眼光观察现实世界和用数学的思维思考现实世界.问题(3)难度要比前两个问题高,学生要根据题目的信息先提出猜想,再进行证明,最后得出结论,并借助尺规将数学语言转化为实际图形,促进学生理解和思维的转变.此问题需要学生解出三个一次函数的解析式,并通过方程思想,解出两根之间的关系,再通过射影定理模型得出结论,对学生运算能力和逻辑思维能力的要求相对较高,知识的综合性更强,这不仅考查学生的“四基”和“四能”,更考查学生是否具有稳定的心态,培养学生会用数学的语言表达现实世界.

3 试题解答

3.1 问题(1)的解法

解法2 (对称法)因为抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,从而得出抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为x=1,所以b=2a.将A(-1,0)代入抛物线中a-b+3=0,从而得出a=-1,b=2,所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

解法3 (两点式)根据题意,可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,从而得出-3a=3,解得a=-1,进而得出抛物线的解析式为y=-x2+2x+3(a≠0).

3.2 问题(2)的解法

根据已知条件,以B,C,P,Q为顶点的四边形为平行四边形,但并没有明确说明P的位置,所以要对点P的位置进行分类讨论,分为两种情况,第一种是P在x轴的上方,第二种是P在x轴的下方.

第一种情况:P在x轴的上方.

解法1 (平行四边形的性质)如图3,过点C作CP∥BQ,过点P作PN⊥OQ,设点P的坐标为(t,-t2+2t+3),因为四边形BCPQ为平行四边形,所以BC=PQ,CP=BQ进而得出Q(t,0),OQ=3+t,ON=t,NQ=3,所以PQ2=PN2+NQ2,即(-t2+2t+3)2+9=18,当-t2+2t+3=3,解得t=0(舍去)或t=2;当-t2+2t+3=-3,因为P在x轴的上方,所以-t2+2t+3=-3舍去,从而只有t=2符合题意,进而求出点P的坐标为(2,3).

图3 P在x轴的上方示意图

解法2 直线CB的斜率为kCB=-1,又因为CB∥PQ,所以kPQ=-1,-t2+2t+3=3,解得t=0(舍去)或t=2,只有t=2是符合题意,从而求出点P的坐标为(2,3).

第二种情况:P在x轴的下方.

图4 P在x轴的下方示意图

评析分类讨论是二次函数综合题常用的方法之一,是学生在学习过程中必须掌握的解题思想.解决本题的关键是对点P的位置进行分类讨论,从已知条件出发,可以把点P分为在x轴的上方和在x轴的下方.

3.3 问题(3)的解法

图5 问题(3)解法1示意图

评析这类解法思路很明确,求出点的坐标,然后根据点的坐标求相关线段的长度,进而计算EM·MN的值.虽然运算量较大,需要明确三条直线的解析式,但是解题的思路比较清晰.

评析根据点的坐标,利用两点间的距离公式可求得相关线段的长度,然后利用勾股定理的逆定理即可判定△MDN是直角三角形,最终利用直角三角形和相似三角形的性质解决问题.

图6 问题(3)解法3示意图

评析根据图形特征,一条线段上有垂直线,并求EM·EN,要能够想到射影定理,利用三角形相似,证明两个三角形相似要从角或者线段成比例角度考虑,同时解题的关键是要证明出∠MDN=90°.

解法4 在上面的解法中已经求出了直线DG解析式为y=-(x1-1)x+x1+3,同理可求出直线DN的解析式为y=-(x2-1)x+x2+3,从而可以得出kDG=-(x1-1),kDN=-(x2-1),又因为x1+x2=2-k,x1x2=-k,所以kDG·kDN=(x1-1)×(x2-1)=-1,则直线DG与直线DN互相垂直,进而∠MDN=90°,所以∠MDE+∠EDN=90°,所以∠MDE=∠DNE,所以△EMD△EDN,从而得出ED2=EM·EN=16.因此,EM·EN是定值.

评析通过对图形的观察,发现解题的关键是要证明∠MDN=90°,两直线的夹角为直角,说明两直线互相垂直,则可以通过斜率关系进行证明,最后能求出EM·EN的值.

4 解题反思

4.1 重视变式训练,发展思维能力

题目不在于多,而在于精.一道题目不仅是一个知识点,它还可以是多个知识点的结合.在教学中教师可以围绕着一个问题向多个方向发散,把一道题变成一类题.就如本题中的二次函数,在方法上,对于点P的位置进行分类讨论,通过变式的形式可以从B,C所组成的线段是边还是对角线进行分类讨论,打破学生的常规思维.在内容上,除了可以考查线段乘积的定值和点的存在性,还可以与中点问题、线段的最值问题、面积定值、一次函数特殊角等问题进行结合.基于此,在教学中要不仅要培养学生能够灵活选择数学方法解决问题的习惯,还要通过“一题多解”培养学生思考问题和灵活变通的意识,而“一题多解”不仅有利于学生发散思维的培养,更有利于学生问题解决策略的形成、关键问题解决能力的培养[3].所以,在教学中教师可以通过变式进行教学,发展学生的思维能力,培养学生的发散思维,打破学生的思维定式,培养学生创新意识和实践能力.

4.2 构建知识网络,提高运算能力

综合题往往不是一个数学知识点,而是多个数学知识的结合,所以在复习的过程中,要提高学生搭建知识网络的能力,形成知识框架,在教学中可以通过主题式学习,将知识进行整合.知识是解决问题的前提,而解决问题的成败关键在于学生的运算能力,它不仅是一种数学的操作能力,更是一种数学的思维能力[4],教师在教学中可以通过日常的运算训练来发展学生的运算能力,有利于培养学生的思考问题的品质和养成科学的学习态度.