透析试题结构 探寻思维路径——一道中考题的解法探究与思考

沈敏辉 马 飞

(象山县高塘学校,浙江 宁波 315734)

中考压轴题通常以结构化数学知识为载体,具有结构优美、解法多样等典型特征,所以一直以来都是教师研究的主要对象.本文以2021年嘉兴市中考数学第9题为例,对其进行结构类型分析、解法探究和反思内化,供读者参考.

1 试题呈现

如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,点D在AC上,且AD=2,点E是AB上的动点,连结DE.F,G分别是BC和DE的中点,连接AG,FG.当AG=FG时,线段DE长为( ).

图1 试题示意图

2 结构分析

2.1 条件分析

由∠BAC=90°,AB=AC=5可知△ABC是等腰直角三角形,并且可求得相关角度和边长.由AD=2可得到CD=3.因为F,G分别是BC和DE的中点,由中点和直角三角形,可联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即AG=DG=GE.由中点和等腰直角三角形,可联想到等腰三角形“三线合一”性质,连接AF,进而得到AF⊥BC.由条件AG=FG可以考虑AG=DG=GE=GE,进而得到A,D,E,F在以点G为圆心圆上.

2.2 结论分析

一方面,因为A,D,E,F在以点G为圆心的圆上,∠BAC=90°,所以DE是此圆的直径.根据已知条件可构造全等三角形,从而得出各条线段的长度,然后计算线段DE的长度.在构造全等三角形的基础上,可以引入“一线三等角”模型.另一方面,根据图形特征,可以通过设未知数构造方程的方式,将DE的长度表示出来.另外,可考虑建立直角坐标系,利用两点之间的距离公式,设未知数构造方程,从而解得DE的长度.

3 解法探究

思路1 本题是一道选择题,故可考虑将四个选项一一代入,观察得到的结论和条件是否矛盾.

图2 解法1示意图

思路2 在直角三角形中,可以通过设未知数的方式将DE表示出来,遇到这类问题通常利用题中的等量关系联立方程,求出未知数.

思路3 若学生观察到本题可以分离成多个直角三角形,存在多条线段相等,则通过添加辅助线的方式,构造全等三角形.

图4 解法3示意图

图6 解法5示意图

思路4 根据等腰直角△DEF角度的特殊性,可以采用构造“一线三等角”的基本图形.根据图形的局部特征也可以构造相似三角形,利用相似比求解.

图8 解法7示意图

思路5 基于△ABC是等腰直角三角形,可以A点为原点,AB为x轴正方向,AC为y轴正方向建立坐标系,把题目中的等量关系表示出来.

4 解题思考

4.1 筛选试题,包含主干知识

教师在进行中考专题复习时,应该精心挑选涵盖主干知识、具备多种解法途径的典型例题,带领学生一起对这些试题进行深度探究,运用综合知识和数学方法解决问题,总结类型和反思内化.把典型试题当作发展学生核心素养的有效载体,能全面提高学生符号意识、几何直观、空间观念等核心素养[1].

4.2 分析试题结构,寻找多种解法

在解题过程中,学生之所以出现困难,有一大部分原因是学生没有进行细致的结构分析.分析题目的结构时,要将题目条件逐一进行适当转化,并标注在图形上,相关重要线段的长可以用未知数代替,可以用此未知数表示出与其相关的其他线段的长度,实现代数与几何的数形结合.

4.3 反思内化,提高核心素养

解题完成后,笔者带领学生进行解法反思.裴光亚老师说过:“教学生解题,就是教学生猜想,洞察出最后的结果.”学生表示,建立直角坐标系,通过设未知数的方式能够较快求出结果.最后,学生总结得出了解决线段长度问题的基本思路.