小学生逆向思维能力培养的探究

刘元跃

［摘 要］在小学数学教学中应用逆向思维，不仅可以弥补正向思维在解决问题中的不足，还可以有效降低问题的难度，激发学生对数学学习的兴趣。文章通过“多边形的面积”的教学，在面积公式推导、应用，巩固拓展、作业布置等环节运用逆向思维，有效增强了教学效果。

［关键词］逆向思维；解决问题；多边形面积

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2024）08-0052-04

小学是培养学生逆向思维能力的重要阶段。在实际教学中，教师不应只采用正向思维的教学方式，还应该注重挖掘能锻炼学生逆向思维的素材，结合学生的情况及年龄特征，有意识地从多个方面渗透逆向思维方法，促进学生形成良好的数学思维能力。逆向思维是对正向思维的补充，也是培养学生创新能力不可忽视的思维方式。应用逆向思维进行教学，对数学课堂提出了新的要求——从问题的反面进行探究，找出解决问题的新思路和新方法。对小学数学教学而言，逆向思维的运用，可以有效提高课堂教学效率，同时增强学生的学习效果。下面，笔者结合“多边形的面积”的实际教学过程，简要阐述培养学生逆向思维能力的方法。

一、新知探究，逆向思维必不可少

多边形面积公式的探究是一个看似直观却又抽象的内容。小学阶段，学生以形象思维为主，空间想象能力较差，新课教学活动应以量一量、剪一剪、拼一拼的自主探究和发现为主。同时，教师要根据学生的年龄和已有的学习水平、生活经验，指导学生运用逆向思维解决问题，激发他们的学习兴趣和内在动力，并引领他们通过自主探究或小组讨论，逐步突破学习多边形面积的重难点。

例如，在进行“多边形的面积”大单元教学时，笔者出示了2组图形（如图1-1、图1-2），让学生运用量一量这一自主探究的方式，找到2组图形之间的相同点和不同点。学生发现：图1-1中平行四边形的底和长方形的长相等（或平行四边形的高和长方形的宽相等）；图1-2中平行四边形的底和长方形的宽相等（或平行四边形的高和长方形的长相等）；图1-1中平行四边形的斜边比长方形的宽长，图1-2中平行四边形的斜边比长方形的长长，即2组图形中的平行四边形的周长比长方形的周长长。

接着，笔者让学生以小组合作的方式，通过剪一剪、拼一拼的方式再次探究这2组图形之间的联系和区别。学生小组发现：在图1-1中，沿虚线（高）把平行四边形剪开，得到一个三角形和一个梯形，将三角形移至梯形右侧，就能拼出与其右边一样的长方形；在图1-2中，按相同的方法剪开平行四边形，也能拼出与其右边一样的长方形。于是学生得出结论：图1-1中平行四边形和长方形的面积相等，图1-2中平行四边形和长方形的面积相等。

学生还结合图1-1中长方形的长与平行四边形的底相等，长方形的宽与平行四边形的高相等（或图1-2中长方形的宽与平行四边形的底相等，长方形的长与平行四边形的高相等），以及长方形的面积公式，运用逆向思维进行分析：因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

为了激发学生运用逆向思维方式解决问题的兴趣，帮助他们树立学好数学的信心，在探究三角形的面积公式和梯形的面积公式时，笔者继续指导学生运用逆向思维的方式进行推导。

如图2-1、图2-2所示，学生经过测量后很快发现了图形面积之间的关系：图2-1中平行四边形与三角形等底等高，图2-2中平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高与梯形的高相等。接着，学生通过拼接知道：2个完全相同的三角形（或梯形），可以拼成一个平行四边形，这时平行四边形的面积是三角形的面积（或梯形的面积）的2倍。结合量、剪、拼和算的结果，学生运用逆向思维来探究问题的解决方法，对照平行四边形的面积公式，很快就推导出：三角形的面积=底×高÷2，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。

二、公式应用，为逆向思维开辟新思路

多边形面积公式的推导过程较为抽象，且推导过程具有双向性的特点。让学生运用逆向思维分析并解决问题，不仅能帮助学生深入地理解知识，还可以提升学生解决问题的能力。因此，在实际教学中，教师要根据学生的年龄特点和身心发展状况，积极引导学生进行逆向思考，让他们在持续的探索中突破多边形面积学习的重难点，更好地激发他们的逆向思维。

例如，面对“已知一个三角形的面积是36平方厘米，它的一条底边长12厘米，这条底边上的高是多少厘米？”这一问题，习惯于已知三角形的底和底边上的高的条件的学生无从下手，但对于熟练运用逆向思维的学生来说，此题并不難。运用逆向思维进行思考后，有学生给出了3种解决方法。

［方法1］2个完全相同的三角形可以拼出1个与三角形等底等高的平行四边形。三角形的面积是36平方厘米，三角形和平行四边形的底都是12厘米，2个完全相同的三角形的面积是36×2=72（平方厘米）。根据“平行四边形的面积=底×高”，可以得出平行四边形的高是72÷12=6（厘米）。因此，三角形这条底边上的高是6厘米。

［方法2］由“三角形的面积=底×高÷2”，得到36=12×高÷2。依据等式的性质，在这个等式的两边同时乘2，整理后得到12×高=72。因此，三角形这条底边上的高是72÷12=6（厘米）。

［方法3］因为“三角形的面积=底×高÷2”，所以“三角形的面积×2”就是三角形底乘高的积。先用三角形的面积乘2，为36×2=72，72是三角形底乘高的积，那么三角形的这条底边上的高是72÷12=6（厘米）。

对比上述3种方法，它们的共同之处都是先用“三角形的面积×2”得到三角形底乘高的积，再用“底乘高的积÷底”得到对应底边上的高。

为了进一步增强学生运用逆向思维解决问题的意识，笔者出示了一个探究梯形的面积公式的问题：“一块梯形菜地的上底是20米，下底是50米，菜地的面积是700平方米，这块菜地的高是多少米？”学生凭借刚才解决问题的经验，很快就发现：计算梯形面积时，都是上底与下底的和乘高的积再除以2，所以要求梯形的高、上底或下底时，首先要将梯形的面积乘2，即700×2=1400，1400就是上底与下底的和乘高的积，然后用积除以上底与下底的和，商就是梯形的高，1400÷（20+50）=20（米）。同理，如果梯形的高是20米，下底是50米，面积是700平方米，求梯形的上底时，仍然是用面积乘2，即700×2=1400，然后用所得的积除以高就得到上底与下底的和，1400÷20=70（米），再用和减去下底就得到了上底，上底是70-50=20（米）。

三角形的面积公式和梯形的面积公式在应用过程中的逆向引领，打破了正向思维的定式，提升了学生应用公式解决问题的能力，让不会或不敢运用逆向思维方式解决问题的学生突破瓶颈，帮助他们树立解决问题和难题的信心。

三、巩固拓展，为逆向思维提效率

在小学数学教学过程中，平面图形面积公式的获取和应用是可以从正逆两个方面进行的，这就要求教师在鼓励学生对面积公式进行正向推理的同时，也要对获取的公式进行逆向推理，这样不仅可以加深学生对数学公式的理解和掌握，而且有助于学生在实际运用中做到灵活应用。

例如，在学生经过正向推理得到“平行四边形的面积=底×高”之后，笔者让学生利用手中的平行四边形，逆推证明“平行四边形的面积=底×高”。学生经过自主探究发现了2种方法。

［方法1］如图3所示，找到平行四边形左右两条斜边的中点，然后分别向下和向上作垂直线段，得到两个小直角三角形，将两个小直角三角形剪下后顺时针旋转180°，就可以拼成一个长方形。经测量得知，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，由此推出“平行四边形的面积=底×高”。

［方法2］如图4所示，以平行四边形左边斜线上一点向下作垂直线段，得到一个直角三角形，将其剪下后，平移到图形的右边，再将图形的右上角多出的部分剪下，得到一个小的直角三角形，将小的直角三角形向左平移到图形的左上角，就得到了一个长方形。经过测量发现：长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，由此得到“平行四边形的面积=底×高”。

借助“三角形的面积=底×高÷2”“梯形的面积=（上底+下底）×高÷2”的推导经验，笔者利用问题“你能用1个三角形或1个梯形推出三角形或梯形的面积公式吗”，培养学生运用逆向思维思考问题的习惯，并逐步养成逆向思维的能力。有了前面探究的经历，学生很快就探究出了2种方法。

［方法1（三角形的面积）］如图5所示，从三角形左右两边的中点分别向下作垂直线段，沿垂直线段剪下后就得到两个直角三角形，左边直角三角形绕中点顺时针旋转180°，右边直角三角形绕中点逆时针旋转180°，就转换成一个长方形，经过测量得到，长方形的宽等于三角形底的一半，长方形的长等于三角形的高，即“三角形的面积=（底÷2）×高”，整理后得到“三角形的面积=底×高÷2”。

［方法2（三角形的面积）］如图6所示，用线段连接三角形两边的中点，形成一个小三角形，沿线段剪下小三角形。画出小三角形的高，沿高将小三角形剪成两个直角三角形，左边的直角三角形绕中点逆时针旋转180°，右边的直角三角形绕中点顺时针旋转180°，就转换成一个长方形。经测量，长方形的长等于三角形的底，长方形的宽等于三角形高的一半，即“三角形的面积=底×（高÷2）”，整理后得到“三角形的面积=底×高÷2”。

对比上述2种方法不难发现：在解决同一个问题时，可以按照人们认识事物的过程来考虑，即从条件到结论、从现象到本质，也可以运用逆向思维反向思考，从结论出发，追溯其充分条件。教师在实际教学中可以引导学生摆脱习惯的、传统的、常规的正向思维方式的束缚，多采取逆向思考，以便形成新颖的构思，增强创新意识，提高创造能力。

四、开放性作业，培养逆向思维能力

布置开放性作业，对提高学生的数学核心素养、培养学生的逆向思维能力和创新意识有着重要作用。学生在多边形的面积的学习中，经历了正、逆向思维探究问题的过程，积累了一定的分析问题和解决问题的学习经验。基于此，教师可以布置开放性的作业，以提高学生的逆向思维能力。如以小组为单位，从下列作业选取一道题或多道题进行分析和解答。

1.一块梯形玉米地的面积是12公顷，它的上底是（）米，下底是（）米，高是（）米。

（1）先补充上底、下底的长度，再计算出梯形玉米地的高。

（2）先补充上底、下底和高任意两个长度，再计算另一个的长度。

（3）对比上述两个问题，你发现了什么？

2.一块三角形纸板的面积是24平方厘米，它的底是（）厘米，高是（）厘米。

（1）如果底和高的长度都是整厘米数，分别是多少厘米？（把所有的情况都写出来）

（2）如果底和高的长度不是整厘米数，会有多少种情况？列举出来并说明理由。

（3）如果底是8厘米，請画出5个形状不同的三角形，它们有什么特点？画出5个之后，还能继续画吗？如果能继续画，会有多少种不同的情况？为什么？

3.一个平行四边形的底是12厘米，高是3厘米，求它的面积。

（1）请画出5个形状不同的平行四边形，仔细观察后你发现了什么？

（2）量出所画平行四边形的一条边以及它们所对应的高，算出每个平行四边形的面积。分别量出所画平行四边形的另一条相邻的边，结合平行四边形的面积，算出该邻边对应的高，比一比，然后把你的发现写下来。

以上问题旨在打破学生的思维定式，让学生的思维一直处于正向和逆向的转换活动之中。这样不仅使学生对知识辨析得更清楚，而且还使学生培养了正反联想的思维意识。

综上所述，逆向思维是数学逻辑思维中不可或缺的一种思维方式，教师应该给予充分的重视，并在教学过程中有意识地对学生进行逆向思维的训练，这样不仅能提高数学学科的趣味性，也能极大地提升学生学习数学的积极性和主动性。实践证明，在教学过程坚持双向思维，能使学生真正形成良好的思维品质，逐步养成创新思维。

［ 参 考 文 献 ］

[1]    崔建花.探究小学数学解题中培养学生的逆向思维能力[J].天津教育，2020（4）：133-134.

[2]    朱云秀.小学生数学逆向思维能力培养方法探索[J].教学管理与教育研究，2021，6（2）：72-74.

[3]    廖昀.小学生逆向思维的培养策略[J].江西教育，2021（18）：68.

[4]    付发秀.基于逆向思维培养的小学数学教学策略刍议[J].学苑教育，2023（10）：32-33，36.

（责编 覃小慧）