结构重合：思维从“特殊”走向“一般”

张婧靓

［摘 要］度量是数学的本质，其关键是度量单位的建立，具体操作路径是度量单位的累加。“度”是角的单位，教学时要基于学生已有认知，引领学生经历单位多样化、统一化和合适化的全过程。通过摆、找、画、量、猜和赏等活动，促使学生对度量单位的认知由模糊变清晰、从特殊到一般，进而有序发展其量感和空间观念。

［关键词］结构重合；量感；空间观念；问题链；数学化

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2024）08-0018-04

“角的度量”属于“图形与几何”领域，主要研究“图形的认识和测量”，苏教版教材将它编排于四年级上册第八单元。对于“角”，学生在二年级已经有了初步的认识，能用“活动角”直观表征角的大小变化，能用“观察法”直接区分差异较大的两个角，能用“数格法”间接判断钟面上出现的角度大小，能用“重叠法”直观比较三角尺上的角是否相等，还能以直角为基准将角进行适当分类、形象命名和简单应用。到四年级时，学生通过射线重新认识了角，知道“角的顶点”与“射线端点”有关系，理解“角的大小”与“边的长短”并无直接关系，进一步丰富了对角的结构认知和内涵理解。掌握“角的度量”，能为两线空间位置的判断、图形认识和图形变换的判定做好必要铺垫。

度量单位虽然是人为规定的，但是形成过程各不相同，大致可分为“抽象”与“工具”两类。其中，“角度”属于后者。这种度量单位的产生紧扣角的背景构建，如先有平角180°的确定和等分，再有角重合后的读数和表征。在这一过程中，始终含有表达角的指标称谓，如∠A=60°中的单位名称“°”不能少，否则指向不明、陈述不清。弄清楚角度“怎么来”和“是什么”，还需要把握“有何用”和“怎么学”。应该说，角度的出现使得角的大小从定性描述变为定量刻画，有助于空间表征、精准交流和问题解决。教师在教学时需要依靠学生已有的角度经验，促使学生从被动接受转变为主动参与，使他们能够经历角度单位建构的全过程，掌握“两重一看”的量角技巧，理解结构重合的累加本质，使得思维从特殊走向一般，从而有序发展学生的量感和空间观念。

一、尝试重合结构，探究度量单位

（一）激活经验

师：科学课上咱们认识了各种各樣的鸟，它们张开的嘴巴像哪个数学图形？

生（齐）：角。

师（出示图1-1、图1-2）：哪只鸟张开嘴的角度更大？谁来说一说？

生1：图1-1的鸟张开的嘴的角度更大，这个角正好有2块比萨那么大，图1-2的才有1块比萨那么大。

师：这样比较可以吗？为什么？

生2：不行，这2块比萨的大小不一样。应该选择相同的比萨来比较。

师：统一标准再比较，大家都有经验，以前度量学习就是这样做的。请通过视频回顾一下。

（播放视频：简要介绍长度、面积、容积的度量标准，动态演示1厘米、1平方厘米、1毫升等计量标准的累加过程。）

师：那么，怎样度量角呢？今天我们就来一起学习。

（二）引发冲突

师：通过刚才的回顾，我们知道所有度量都要先选定标准。我准备了一些同样的小角当作标准角，如何使用这些标准角去测量呢？

生1：顶点要重合，边线要依次重合。

师：会思考，还要能做事。请小组合作，完成活动后汇报。

出示活动要求：

1.摆一摆：四人合作，用三角形中的小角摆在∠1和∠2上。

2.说一说：∠1有       个小角那么大，∠2有       个小角那么大。

生2：把小角的顶点摆在∠1的顶点处，依次排开，摆了4个这样的角，∠1有4个小角这么大。

师：∠1正好包含4个这样的标准角。

生3：∠2里面摆了4个小角，没摆满，摆5个小角又多了，∠2比4个小角大一点，比5个小角小一点。

师：看来，这个标准并不同时适合这两个角。

（三）介绍标准

师：古人也遇到同样的问题，他们是怎么解决的？让我们一起去瞧瞧。

（播放视频：古巴比伦人发现，太阳从地平线东端到西端的过程呈现出一个半圆形轨道，而这个半圆形轨道恰巧是180个太阳一个挨着一个紧紧排列所得。因此，他们就把半圆定义为180度。在此基础上，把半圆平均分成180份，每一份就是1度，“度”有“步”的意义，用这个符号“°”来表示，就好比是太阳的脚印。）

师：原来古人创造了更小的标准1°，度是角的单位，用符号“°”表示。那么，1°的角有多大？在哪里？

生1：把半圆平均分成180份，每一份都是1°，从这个点引出的两条射线组成的角就是1°的角。

师：仔细看，2个1°组成的角是——

生（齐）：2°角。

师：接着数——3°，4°，5°，…，9°，再增加1°是——

生（齐）：10°。

师：如果以10°为标准数下去，接着是20°，30°，40°，…，90°。你在哪里见到过90°的角？

生2：在三角尺上见过，它是直角。

师（课件演示三角尺的直角部分与半圆中90°的角完全重合的过程）：利用重合验证一下，你发现了什么？

生3：它们顶点重合，2条边也重合，说明直角就是90°。

师：接着数。100°，110°，120°，…，180°。180°里有几个直角？

生4：180°÷90°=2（个）。

师（课件演示拼接2个三角尺的直角部分后与180°重合的过程）：有了测量标准，角度清清楚楚，这真是了不起的创造。

【思考：首先，从现实世界自然引入数学上研究的角，通过大小不同比萨的验证描述，激活学生统一标准度量的认知本能和现有经验，并在整体梳理、路径重温和理性认同的基础上，顺势设问揭课。这个环节看似轻描淡写，其实是有机渗透“顶点重合”和“边线重合”的度量关键。其次，借助同样大小的标准角分别度量研究对象，自然运用角结构重合的关键点引导学生发现度量标准虽然统一了，但是并没有解决根本问题，从而引发学生度量标准从“要统一”转向“要合适”的思考。思维冲突的产生及时且必要，因为它能引发学生对度量标准的持续关注和深度探究。最后，通过简要介绍数学历史，帮助学生理解角的度量单位及其符号表达，使得冰冷的概念性知识变得温暖。尤其是1°的逐步累加，顶点、边线的确认和直角的两次验证，能有效帮助学生初步建构量角器的结构雏形。显然，生活与数学交融，动脑与动手交叉，现在与历史交织，度量思维不露痕迹，度量要义时时体现。】

二、自由重合结构，凸显度量单位

（一）找中凸显

师：请在半圆里找出一个你喜欢的角，介绍一下它在哪里，有多大。

（组织学生开展找角游戏，分三个层次进行：第一层找比90°小的角，第二层找比90°大的角，第三层找最大的角和最小的角。要求学生说清楚角的顶点和边线的位置，以及包含1°的个数。）

师：这些角的顶点位置有什么特点？

生1：顶点都在同一个位置。

师（动态演示）：由于顶点都汇聚于此，中间的边线多而不清，在不影响观察的情况下，可以省略一部分。瞧！这变成了——

生（齐）：量角器。

师（动态演示）：顶点汇聚的位置就是量角器的中心点，从右边起，这是0°的刻度线，这是180°的刻度线。你还在哪个工具上见过刻度线？

生2：直尺。

师：长度刻度线和角度刻度线的相似之处是什么？

（组织学生重点交流工具上都刻有大小不同的度量标准，刻度线分布都从0开始，然后依次有序累加。）

【思考：首先，在“原型结构”中真实找角，要求说清楚角“在哪里”和“有多大”。其中，“在哪里”指向角的顶点和边线的位置确认，以强化学生对角作为平面图形的定性认知；“有多大”指向边线张开的程度描述，激活学生對角大小结构的定量意识。两者“学以致用”的意味较浓，但基础性和重要性不言而喻。其次，是在“简洁结构”中类比找角，主要引导学生在半圆结构中着重体会“顶点都汇聚于此，中间的边线多而不清”的简洁需求，并让学生在“变中不变”的结构认知中认同量角器，感受工具创造的渐进性和实用性。最后，是在“对比结构”中整体找角，通过呈现、观察和比较两种不同类型刻度的结构，发现存在“定标准”和“数标准”的关联行为，使学生感受从“0刻度”开始有序累加的基本路径。显然，有效“找角”能助推学生对度量单位的多向体验。】

（二）画中凸显

师：瞧！量角器上画了一个角，它是多少度？

生（齐）：60°。

师：请在量角器上画出一个你喜欢的角，介绍一下它在哪里，有多大。小组合作完成活动后汇报。

出示活动要求：

1.找一找：在量角器上找出一个角，画出它的两条边。

2.说一说：从刻度       到刻度       ，是       度。

3.比一比：组内比较找到的角有什么共同点。

生1：这个角从刻度0到刻度30，是30°。

生2：这个角从刻度0到刻度45，是45°。

生3：这个角从刻度0到刻度125，是125°。

生4：我们组认为，这些角虽然大小不同，但是顶点都在中心，一条边对准刻度0，另一条边到刻度多少，这个角就是多少度。

（课件呈现边线不与0°刻度线重合的角，教师组织学生观察和读数。）

师：这样画的时候，你感觉怎么样？

生（齐）：比较麻烦。

（媒体同时呈现两个开口相反的20°，组织学生观察和读数。）

师：从右往左看，一个可以直接读数，另一个需要间接计算。如果想要另一个也能直接读数，怎么办？对比自己手中的量角器，有什么发现？

生5：我发现我的量角器比黑板上的多一圈。从左往右看，另一个20°也可以直接读出来。

师：你觉得量角器构造两圈结构有必要吗？

生6：角的开口有时向左，有时向右，有了两圈刻度后，我们都可以找到对应起点，这样读角度时就轻松许多。

【思考：“画角”与“找角”在凸显度量单位上目标一致，但是在呈现图形位置、说清图形大小、归纳图形特征等方面，“画角”操作则更胜一筹。首先，呈现从“刻度0”开始的角，这类角高频出现，一是因为量角器现有的“一圈结构”及其刻度排序，二是由于方便找角的思维定式所致。对于这类角，应给予更多的课堂教学时间，竭力地促成“画角”与“找角”的一致性，促使学生感知量角器上角的结构特征和读数规律。其次，需引导学生的思维从封闭走向开放，适当安排“边线不与0°刻度线重合的角”，明确“这类角真实存在，读数不方便源于刻度的人为排序，与角本身无关”。最后，对比开口相反的2个20°，充分激发学生产生“从刻度0读数”的需求，并在“一圈结构”与“两圈结构”的差异对比中对刻度表征的创造认同。显然，有效“画角”使得度量单位深入人心。】

三、优化重合结构，表征度量单位

师（出示图2-1、图2-2）：现在，你会用量角器去测量一个角的大小吗？女生量图2-1的角，男生量图2-1的角，大家比一比速度。

出示要求：

1.量一量：用量角器量出角的大小，把结果填在括号里。

2.说一说：量角时，摆放量角器需要注意什么？

师：请女生分享量角器怎么摆和怎么看。

生1：角的頂点和量角器的中心重合，一条边和右边的0°刻度线重合。从0°开始数起，另一条边所对的刻度是65°，所以这个角就是65°。

师：请男生分享量角器怎么摆和怎么看。

生2：角的顶点和量角器的中心重合，一条边指着140°刻度线，另一条边指着180°刻度线，180°-140°=40°。

生3：我有不同想法。因为角的一条边和左边的0°刻度线重合，从0°数起比较方便，一眼就能看出这个角是40°。

师：谁来总结一下测量角时要注意什么？

生4：角的顶点和量角器的中心重合，0°刻度线要与一条边重合，然后再从0°开始数起，看另一条边所对的刻度是多少，这样比较方便。

【思考：技能训练需要刻意为之，但又不能机械重复。采用男女分组比赛的方式，一方面可以激发学生的参与热情，另一方面有助于学生对量角器两圈结构的思考。从思维的递进关系看，女生的测量速度较快在情理之中，这主要源于第一圈刻度的首映效应，学生普遍认同角度测量的观察顺序是从右往左。但是，随着结构对比深入，第二圈刻度的作用也被激活和应用，男生也很快进入状态，并迅速调整测量起点，从而提高测量速度和准确率。换个角度来讲，图2-2中角的结构没有变化，所包含度量单位的多少也没有改变，需要改变的是“未知角”与量角器上“已知角”的重合顺序。显然，这样的量角活动精简且有效，选择合适起点测量已经从“简单告诉”转变为“自我认知”。】

四、变式重合结构，内化度量单位

（一）理中内化

师（出示图3-1、图3-2、图3-3）：请量出下面每个角的度数。

（活动完成后，组织学生演示测量过程，重点汇报量角器“怎么摆”和“怎么看”）

师：在测量图3-1和图3-2的角的过程中，少部分学生度数刚好填反了。对此你有什么建议？

生1：数的时候要看准起点，从0°刻度线开始数，依次数下去就不会错。

生2：可以用90°做标准，先估计和判断一下，图3-1的角比90°大，图3-2的角比90°小，这样就不会填错了。

师：有道理，点个赞！

（二）猜中内化

师（出示图4）：小明量角时，一条边摆放的位置已经确定，另一条边的位置不确定。猜一猜，这个角可能有多大？

（组织学生分两个层次进行猜测。第一层是猜测位置已经确定的边与0°刻度线重合，结果是140°或40°；第二层是猜测位置已经确定的边不与0°刻度线重合，结果不确定。）

师：为什么这个角的度数有这么多可能？

生1：因为一个角有两条边，我们只知道一条边的具体位置，另一条边的位置不能确定，所以这个角的度数就有多种可能。

生2：量角时角的一条边与0°刻度线重合，这样方便读数。但是，不与0°刻度线重合也可以量角，只是麻烦一些。我们只要打开思路，方法就多了。

师：会反思，点个赞！

（三）赏中内化

课件播放：蜂房六边形的省料设计角度、滑滑梯安全与舒适的角度范围、放风筝的角度技巧、写字过程中笔与纸之间的角度建议、大雁飞行中“人”字形角度的秘密等。

【思考：首先，图3-1和图3-2是一组变式题，旨在引导学生迁移测量技能，并反思填错或填混的原因，通过提出以“90°”为标准判定大小的共性对策来整体把握量角器的结构。图3-3与前面的图相比是一次变化，要求学生灵活运用“两重一看”的技巧要领，同时注重度量单位个数的本质。其次，与确定角度测量不同的是，图4的问题情境比较开放，既包含对角这个图形的再认识，也包含对测量中结构重合的再确认，结构思维在猜测中被一次次有效激活。最后，欣赏数学与生活的完美融合，帮助学生以数学视角审视生活现象，感受数学的广泛应用和严谨结构。显然，变式训练有助于学生深刻理解结构，并使度量单位内化更到位。】

【本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点课题“基于问题链驱动的小学生数学化学习的研究”阶段性成果（课题批准文号：C-b/2020/02/26）和江苏省中小学教学研究第十五期立项课题“指向‘三会素养的小学数学游戏化学习设计研究”阶段性成果（课题批准文号：2023JY15-L190）。】

（责编 金 铃）