立足特殊化,巧解数学题

2017-01-17 19:27许沥魏海霞高明
数学学习与研究 2016年17期
关键词:特殊特殊化数学题

许沥 魏海霞 高明

【摘要】特殊化思想是创新思维中一种重要的数学思想,可以起到简化推理,弱化运算,排除选项的作用.本文通过特殊赋值,特殊引路,特殊探究三个方面阐述特殊化思想在数学解题中的应用.

【关键词】 特殊;特殊化;数学题

【基金项目】2014年西华师范大学校级教学改革研究项目,项目编号:403/403299

“特殊寓于一般之中”,利用特殊化的思想解题,可以将问题化繁杂为简单,化困难为容易,化陌生为熟悉,可以起到简化推理,弱化运算,排除选项的作用,有助于数学思维的培养和解题效率的提高.

一、特殊赋值,巧解客观型选择题

特殊赋值的主要形式有变数字母数值化、一般图形“正”规化、特殊数值代入化.在解答客观性试题时,采用特殊赋值可以简化推理和弱化运算,排除错误选项,取得事半功倍、出奇制胜的效果.

例1 不等式m2+(cos2x-5)m+4sin2x≥0对任意实数x恒成立,则m的取值范围是( ).

A.0≤m≤4 B.1≤m≤4

C.m≥4或m≤0D.m≥1或m≤0

分析与解答 此题涉及两个参变量且含正、余弦运算,常规解答较为复杂.解题时可以转换思维,通过结论的特征,将m进行赋值,采用特殊数值代入化的方法进行验证.令m=0时,代入验证,满足题意,则可以排除选项B;令m=1时,不满足题意,则可以排除A、D两个选项;故答案应选C.

二、特殊引路,探求一般证题规律

对于某些定点、定值问题,可以从特殊情况入手,通过特殊情况的解题过程所获得的启示,由此探明解题的方向,探求解题思路.

例2 设D是锐角△ABC内部的一点,使得∠ADB=∠ACB+90°,并且AC·BD=AD·BC,试计算比值AB·CDAC·BD.

分析与解答 这是一道定值计算题,通常可以采用特殊化的方法,先探究出结论,以此为基础,寻找解决试题的思路.将△ABC特殊化,考察△ABC为正三角形,则∠ADB=150°,BD=AD, 于是有

AB·CDAC·BD=CDBD=sin∠DBCsin∠DCB=sin45°sin30°=2. 通过特殊化,探究出了AB·CDAC·BD在一般情况下的值应恒为2.

而“2”是一个较为特殊的数,可以看成是等腰直角三角形的斜边与直角边之比.这样通过特殊化探究,为解题提供了方向和解题思路:构造一个等腰直角三角形.因此,构造一个等腰直角△BDE(如图),由AC·BD=AD·BC,BD=DE,∠ADE=∠ADB-90°=∠ACB,可得 DEBC=ADAC,△AED∽△ABC, 得到AEAB=ADAC,又∠EAD=∠BAC,推得∠EAB=∠DAC,于是△AEB∽△ADC,有ABAC=BECD.因此,AB·CDAC·BD=BECD·CDBD=BEBD=2.

三、特殊探究,构建解题思维途径

当题目结论不明确,解题思路不清晰,解题方向不明确时,可将试题条件特殊化,通过“尝试—观察—归纳”的探究过程,为解题提供线索,找到解决问题前进的方向,将隐含信息显性化,内在结构特征外显化,化陌生为熟悉.

例3 若实数x,y满足1+cos2(2x+3y-1)=x2+y2+2(x+1)(1-y)x-y+1,则xy的最小值为.

分析与解答 由于条件是关于x,y的超越方程的形式,等式左边=1+cos2(2x+3y-1)≤2为三角式,右边为分式形式,很难找到解题思路.可将试题条件特殊化,将x视为常量,将y视为变量.

当y=0时,右边=x2+2(x+1)x+1=x+1+1x+1;当y=1时,右边=x2+1x=x+1x;当y=-1时,右边=x2+4(x+1)+1x+2=x+2+1x+2;通过特殊化探究,就将题目当中的隐含信息显性化了,内在特征外显化了,即右边为一个数与这个数的倒数的和的解析式形式,为解题提供线索和方向.

实际上,x2+y2+2(x+1)(1-y)x-y+1=x-y+1+1x-y+1≥2.根据等式成立的条件可得:x-y+1=1, 2x+3y-1=kπk∈Z,得x=y=kπ+15.因此xy的最小值为125.

数学高考、竞赛试题因其内容的广泛性与深刻性,其解答包含着丰富的机智思想.在教学过程中,教师应有意识让学生掌握和运用特殊化的思想,加深对数学方法的理解.只要认真去总结,用心去领悟,就能拓展解题思路,提高解题效率,优化解题技巧.

【参考文献】

[1]田红亮,田戚可人,戚江艳. 一题多解[J]. 佳木斯职业学院学报,2015(11).

[2]任爱群.一道数学题的多种解法[J]. 中学数学教学参考,2015(21).

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