小学数学“联结课堂”的三个基本要素特征

【摘 要】新课标要求学生“有关联地学”和教师“有结构地教”。要实现这一要求，有效“联结”是一个追求的方向，构建“联结课堂”是一条有效途径。“联结课堂”以结构化为特征，以整体建构为目标，促进师生联结力的发展。教师围绕课堂教学中的基本组成要素构建“联结课堂”，要凸显以下三个特征：教师维度要具有结构化思想和联结能力；教材维度要提供结构化内容和联结支架；学生维度要进行结构化理解和联结思考。

【关键词】小学数学 联结课堂 基本要素 主要特征

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）提出，“帮助学生建立……结构化的数学知识体系”，让他们“了解数学知识的……结构与关联”[1]85，教师通过“整体设计，分步实施”，适当进行结构化整合等手段，“促进学生对数学教学内容的整体理解与把握”[1]86。要实现上述要求，有效“联结”是一个方向，它是数学学科特质的体现。在当前的数学课堂教学中，教师和学生的联结意识和能力还比较弱，与新课标的要求有一定差距。因此，努力构建一个数学“联结课堂”是当前的形势所需。

所谓数学“联结课堂”，是指数学教师在课堂教学中，在结构化思想和联结意识的统领下，厘清某一层级整体的内在结构关联，找准相应的联结路径，搭建联结支架，带领学生通过对联结点的捕捉和进阶联网等一系列联结思考活动，实现学生“有关联地学”和教师“有结构地教”，进而发展师生的联结力，达成整体建构的目标。

数学“联结课堂”以结构化为特征，以整体建构为目标。构建数学“联结课堂”首先要弄清那些起本质作用的基本要素的特征。围绕教师、教材和学生这三个基本组成要素，我们认为“联结课堂”的有效构建至少需要具备以下三个方面的主要特征（见图1）。

图1 小学数学“联结课堂”的主要特征

一、教师维度：具有结构化思想和联结能力

教学中有效联结的开启者和主导者是教师，如果教師没有结构化思想和联结意识，那就不可能有联结教学的行为。当然，有了思想和意识，如果操作层面的联结能力较弱，有效联结也难以深度发生。因此，一位教师头脑中是否具有结构化思想和行为中有没有联结能力是能否构建“联结课堂”的前提性要素。

数学教师的结构化思想体现在哪些方面？第一，头脑中要有整体规划和长程的思想，用长远眼光审视整体，知会“昨天”，看清“今天”，放眼“明天”，既见树木，更见森林[2]。第二，心中要有结构意识，针对不同层级的整体，都能有意识地去沟通元素与整体、元素与元素之间的内在结构关联，教学中能主动挖掘“构”功能，会用结构本质进行整体联结，追求“1+1＞2”的效果。例如，讲授“小数加减”这一课，具有结构化思想和联结意识的教师在备课时会首先将这一内容放到“加减计算”的整体中去审视，弄清小学阶段该整体的构成元素有“整数加减”（“昨天”已学）、“小数加减”（“今天”在学）和“分数加减”（“明天”要学）。接着去梳理元素之间的内在结构关联，发现它们之间“法不同、理相同”，被共同本质统领着。该整体中起着纽带作用的联结点就是“相同计数单位个数的加减”，这样就通过“联动找点”梳理出了加减计算的共同本质。在掌握了整体联结后，教师就可以进行整体规划，布下前有孕伏、不断进阶、一脉相承的结构化蓝图，并在分阶段实施中抓住共同本质进行教学，有力地促进结构化迁移，享受“构”功能带来的红利。

当教师头脑中有了结构化思想和联结意识之后，还要看他能不能把思想、意识转化为行动，即观察他在“有结构地教”各环节的“联结力”表现。我们将数学课堂观察评价分为“一般性评价（共性）”和“联结力评价（特质）”，两者各占50分，总分100分。考评一位数学教师“联结课堂”开展的有效程度，从整体上来说，可观察该教师在整个教学过程中是否具有联结意识，备课时是否进行了结构化设计，以及上课时是否开展了结构联结实践。具体可运用下面的评价量表来初步评估数学教师的结构化联结力教学水平（见表1）。

二、教材维度：提供结构化内容和联结支架

从教材维度来看，有效联结活动能否发生，主要看能否给学生提供具有结构化特征的学习材料（可用教材或对教材进行二次开发设计）。“设计体现结构化特征的课程内容”是新课标提出的五条课程理念之一[1]2。学习内容的呈现是否具有结构化特征会产生不同的学习路径，获得不同的学习效果。在给学生提供结构化学习内容的时候，为了使联结学习活动顺利展开，教师可以为学生搭建一个联结支架，在操作层面引领导航。给学生提供了合适的结构化内容和联结支架，就为学生的联结学习活动打好了基础。

什么样的学习内容是具有结构化特征的呢？我们认为，首先，要具有整体性。这个整体可分为很多层级，可大可小。教师在确定了某一层级的整体后，提供给学生的学习材料要系统完整，为实现最终的整体建构做好内容保障。其次，要对结构化学习具有驱动作用。教师要将学习材料由散状分布转为有结构地呈现，以利于学生开展分类探究、对比辨析、联结本质、沟通迁移等一系列结构化学习活动。最后，学习内容要能促进联结活动顺利开展。教师要吃透相关联内容的逻辑序列，按内在逻辑引领学生进行整体建构活动。

如何给初具结构化特征的内容进一步搭建一个联结支架，以便深入展开联结学习活动？“联结课堂”的联结路径按范围进阶分为课时、单元、板块等，按是否新授又可分为新知探索路径和练习复习路径。不同的路径有各自的联结支架搭建策略，但都要围绕联结点或模块结构来设计辅助支架。①单课时新授类型。既可以活用教材结构来搭建联结支架，又可以根据改革需要对教材进行整合重组，设计结构化统整后的新课时联结支架。该类型主要围绕联结点通过“点动成线”搭建线性联结支架。②单元归总和板块梳理类型。该类型由于知识和方法的综合性较强，联结维度比较丰富，教师可以围绕联结点运用“线动成面”和“面动构体”等策略，给学生的结构化学习提供平面联结支架和立体联结支架。③练习复习题类型。该类型主要为新知模块的形成和巩固服务，以结构化练习（整理）取代碎片化题海（重复），实现以少胜多的联结功效。教师可以围绕模块结构本质给学生设计结构化题组型联结支架。

例如，“三位数乘两位数”这节课，要完成“三位数乘两位数”的算理算法探究，同时又是小学阶段整数笔算的收官课。因此，这节课既有单课时新授的目标，又有联结梳理的任务。要完成这些任务，教师可以为学生提供具有结构化特征的整体学习内容和推进序列（联结支架）：

用竖式计算13×2→13×12→113×12→12×

113（交换位置验算）。

教师通过四个进阶流程“一材多变”的多次探究，使学生明白：两位数乘一位数是“算一层”；两位数乘两位数是“算二层”；三位数乘两位数还是“算二层”（量变质不变），实现了结构迁移；两位数乘三位数是“算三层”，进行了结构拓展。学生通过步步深入地对比辨析和联结迁移，明白了整数竖式笔算的本质内涵（联结点）是“算几层由下面这个乘数的位数决定”，这样，以后不管学几位数乘几位数，学生都能按照这个结构本质进行类推了，从而实现了该系列内容的整体建构[3]。

又如，学习“商不变规律”一课，其模块结构本质是探索“被除数和除数怎样变化时商才不变”。为了强化该模块中被除数和除数的联结规律，在练习应用阶段，教师可为学生提供这样的题组型联结支架进行巩固深化：

（80○□）÷（20○□）=4，在○里填加减乘除符号，在□里填数字。

在该联结支架的引领下，学生通过开放式组合可以填出一系列的题组算式，在填的过程中学生会发现：“数字相同运算符号不同”和“运算符号相同数字不同”以及“运算符号和数字都不同”这几种情况都不能实现“商不变”的目标，并且“同时加或减相同的数”商也变了，只有“同时乘或除以一个相同的数（0除外）”商才不变，而且□里的数可以是整数（除不尽也可以）、小数、分数或字母……通过这样的结构化题组训练，学生深化了对“商不变规律”本质特征的认识，联结思维获得了发展。

三、学生维度：进行结构化理解和联结思考

教师具有了联结的意识和能力，行动上也给学生提供了结构化的学习内容，搭建好了联结支架，最终考查有效联结活动是否深度发生，落脚点还是在学生。因此，“联结课堂”能否成功构建关键在于学生是否进行了结构化理解和联结思考。获得“结构化理解”是结构化学习追求的目标，要达到这一目标，就要有效开展联结思考活动，通过联结性思维对所学的知识和方法进行整体深度认知，获得融会贯通的系统性结构，进而实现整体建构[4]。

学生的结构化理解表现在哪些地方？数学结构化学习的思维方式从“散点状态”转变为“整体思考”，学习结果由“碎片叠加”转变为“系统入构”，学习过程表现为主动求联、对比辨析、本质沟通、结构迁移等。学生通过结构化的深度理解，实现对数学知识和方法的整体建构。具体表现在两个方面：①结构化知识。所获得的结构化数学知识具有整体性和逻辑性，有利于记忆；所获得的结构化数学知识具有关联性，有利于结构化理解和应用；所获得的结构化数学知识具有类推性，有利于举一反三。②结构化方法。所形成的结构化方法能运用同化和顺应自主开展数学学习活动；能自觉运用各种表征方式结构化地理解数学知识和解决数学问题；能够关联各种元素实现数学认知方法的有效迁移。

“联结思考能力”这一特质素养如何观察评估？学生的联结思考能力是“联结力”的核心部分，它是指学生在学习思考过程中将相关的数学知识与技能、思维与方法联结起来形成网状结构的能力。具体来说，就是学生在面对数学新知识、新问题时，能主动关联已有认知结构，激活解决当前问题的相关联结经验，运用多元表征等手段展开提取与分析，借助联结的力量形成整体认知结构网，并能主动通过结构化迁移应用到类似的新情境中。评估时，由低到高可以将学生的水平层级分为“不会联结”“知识关联”“多元联结”“反思迁移”，教师具体可运用以下测评量表（见表2）来考查学生是否“有关联地学”[5]。

表2 学生数学联结力等级测评量表

水平层级 测评要素 具体描述

水平0

不会联结 孤立、点状 不能激活已有知识来解决新问题，不能建立信息之间的关联，学习处于孤立无序状态

水平1

知识关联 单联、线性 能结合学习的问题有序罗列、关联、提取所需知识，但关联维度比较单一，无法多角度进行联结

水平2

多元联结 多联、平面 能多途径联结提取学习新知所需的信息，能对所学新知的意义进行多角度解释和多元表征，并获得较完整的认知结构

水平3

反思迁移 网状、立体 能整体联结出知识之间的立体网状结构，能主动对所获知识和方法进行结构化反思，并能将学习方法和策略通过结构化迁移运用到后续同类学习中

例如，探索“三角形的面积计算方法”时，联结能力弱的学生不会用已有的平行四边形面积公式的推导经验来解决这一新问题，难以建立起相互关联。处于“知识关联”水平的学生可以把三角形转化成已学过的图形来进行推导，还知道用割补法来进行等积变形，但由于关联维度比较单一，他们不知道三角形怎么割补（割补方法不同，难以直接类推），无法通过多角度联结找到新的转化方法。处于“多元联结”水平的学生能多途径寻找联结关系，他们能从平行四边形中连接对角线，发现可以将平行四边形分成两个完全一样的三角形，然后逆向思考得出“两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形”，找到了“倍拼”的转化方法（有两种倍拼方式）；同时还能变换方向继续通过割补找到转化方法，通过转化前后的对应关系推导出三角形的面积计算公式，形成新的认知结构。达到“反思迁移”水平的学生，除了会用上述方法之外，还能进行整体联结，他们通过结构化反思发现平面图形这个整体中的梯形和三角形有结构相通之处，本节课的策略和方法完全可以类推运用到梯形面积公式的推导中去，从而有效进行结构化迁移，并能将平行四边形、三角形和梯形的面积计算方法进行归总梳理，最终联结成该板块知识和方法的立体结构网，实现整体建构。

数学的最大魅力在于它的相通性。相通性体现在联结上。数学学习中大量的内容都是通过“以旧迎新”“化新为旧”来往前推进的，推进的抓手就是元素与元素之间、元素与整体之间的联结，这就是数学学科的特质。

影响“联结课堂”构建的因素有很多，本文只从三个基本维度展开分析。这三个基本维度是为了研究需要而细分出来的。在教学实践中，这三个基本维度不可分割地有机结合在一起发生作用，它们具有进阶性。首先，教师备课时用结构化思想去钻研和开发教材，为学生设计出结构化的内容，搭建好联结支架。其次，课堂上教师发挥自己的联结能力，带领学生对结构化的学习任务展开联结思考活动，达成结构化理解的目标。最后，从整体建构高度实现学生“有关联地学”和教师“有结构地教”，从而构建起一个灵动的“联结课堂”。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 陈力，朱华锋.数学结构化教学深度发生的策略探究[J].小学数学教育，2021（Z3）：7-9.

[3] 陈力.数学结构化教学中“联结点”的动态进阶织网策略[J].教学与管理，2023（11）：42-45.

[4] 陆泉萍.求联驱动：催化数学理解的自然进阶[J].数学学习与研究，2021（8）：120-122.

[5] 葛素儿.数学联结力：内涵、价值与测评例举[J].小学数学教师，2023（5）：5-9.

本文系浙江省重點课题“基于结构化的数学联结教学研究”（立项号：Z2021030）主要成果之一。

（作者系浙江省武义县教育局教研室正高级教师）

责任编辑：赵继莹