四边形问题的解答策略

2008-11-11 10:02孙琪斌
中学生数理化·中考版 2008年10期
关键词:延长线对角线菱形

孙琪斌

策略1对角线优先

例1 (上海市)如图1,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.

(1) 求证:四边形ABCD是菱形.

(2) 若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.

(说明:本文所有例题皆选自2008年中考题)

分析: 证四边形ABCD是菱形的方法有多种:证明四边形ABCD的四条边相等;证明平行四边形ABCD有一组邻边相等(如,通过△EAD≌△ECD证AD=CD);证明平行四边形ABCD的两条对角线互相垂直.

若从AC既是平行四边形ABCD的对角线,又是等边△ACE的一条边的角度展开思考,可优先考虑对角线,利用等腰三角形的三线合一,证AC⊥BD.事实上,有相当一部分题目,在从边、角、对角线三个方向上构思解题策略时,可优先考虑对角线.

证明:(1) 由四边形ABCD是平行四边形,得OA=OC.

由△EAC是等边三角形,且OA=OC,得EO⊥AC.

∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,

∴平行四边形ABCD是菱形.

(2) 由△EAC是等边三角形,得∠AED= ∠AEC=30°.

由∠AED=2∠EAD,可得∠EAD=15°,∠OAD=60°-15°=45°.

因为∠ODA=30°+15°=45°,所以∠OAD=∠ODA,OA=OD.

因为OA=OC,OB=OD,所以AC=BD.所以菱形ABCD是正方形.

注:也可以这样证明:因平行四边形ABCD是菱形,故∠BAC=∠DAC,∠BAD=90°.所以四边形ABCD是正方形.

策略2若直觉无效,则不妨从最原始的地方思考

例2 (重庆市)如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.

求证:(1) △BFC≌△DFC;(2) AD=DE.

分析: (1) 由BC=DC,CF平分∠BCD,CF=CF,易得△BFC≌△DFC.

(2) 证明AD=DE,估计同学们凭借直觉在较短时间内无法找到证明方法.这时不妨从最原始的地方展开思考:利用全等三角形证明AD=DE.连接BD,得△ADB、△EDB.不难发现,BD=BD,∠ADB=∠DBC=∠CDB.欲证明△ADB≌△EDB,尚需∠ABD=∠EBD或∠A=∠DEB(提醒:不要考虑待证线段AD=DE).从运用DF∥AB的角度思考,可考虑证∠ABD=∠EBD.

由△BFC≌△DFC,得FB=FD,所以∠FBD=∠FDB.

又因DF∥AB,故∠FDB=∠ABD.

∴∠ABD=∠EBD.

证明:略.

注:本题也可以延长DF交BC于点H,利用△BHF≌△DEF证BH=DE,利用平行四边形ABHD的对边相等,得AD=BH,从而完成证明.

策略3构造基本图形

例3 (山东省)在梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD的中点.求证:CE⊥BE.

分析: 延长CE交BA的延长线于点F(如图3).

由△DCE≌△AFE,得CE=FE,CD=FA.

因BF=AB+AF=2+1=3,BC=3,故BF=BC.

△BCF是等腰三角形三线合一的基本图形.

证明:略.

注:本题也可通过具体计算的方法,借助勾股定理的逆定理证明两条直线互相垂直.

策略4计算证明法

例3再证:如图4,过点C作CF⊥AB,垂足为F,得矩形AFCD,AF=CD=1,BF=2-1=1.

在Rt△BCF中,AD=CF= =2 .

在Rt△CDE中,CE 2=DE 2+CD 2=2+1=3.

在Rt△BAE中,BE 2=AE 2+AB 2=2+4=6.

∴CE 2+BE 2=3+6=9=BC 2.

∴∠CEB=90°.

注:本题还可通过过E作中位线进行计算证明.

策略5化归策略

例4 (莆田市)如图5,已知矩形ABCD,点P是BC边上的一个动点.

(1) 求证:PA2+PC 2=PB 2+PD 2.

(2) 请你探究:当点P在矩形ABCD的内部(如图6)时,PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立?若成立,请给出简单的证明过程;若不成立,请简述理由.

(3) 当点P在矩形ABCD的外部(如图7)时,PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立?若成立,请给出简单的证明过程;若不成立,请简述理由.

分析: (1) 因线段PA,PB位于Rt△PAB中,PC,PD位于Rt△PCD中,所以从运用勾股定理的角度可以将待证结论PA2+PC 2=PB 2+PD 2化为PA2-PB 2=PD 2-PC 2.

在Rt△ABP中,PA2-PB 2=AB 2;在Rt△CDP中,PD 2-PC 2=CD 2.

由AB=CD,可得PA2-PB 2=PD 2-PC 2.

(2) 如图6,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E,F,则问题(2)即可以化归成问题(1).

运用(1)中的结论,得PA2-PE 2=PD 2-PF 2,PB 2-PE 2=PC 2-PF 2 .两式相减,得PA2-PB 2=PD 2-PC 2,即PA2+PC 2=PB 2+PD 2.

(3) 仿第(2)题,在图7中,过点P作EF∥BC,分别交BA,CD的延长线于E,F,即可将问题化归为问题(1),仿第(2)题的方法可获解.

证明:略.

策略6整体考察法

例5 (广州市)如图8,每个小正方形的边长为1,把阴影部分剪下来,用剪下来的阴影部分拼成一个正方形,那么新正方形的边长是().

A. B. 2 C. D.

分析: 若从把阴影图形拼接成正方形的角度思考,本题有一定的难度.若不考虑具体拼接方法,而直接从拼接前后面积不变的角度,立足整体考察问题,则新正方形的边长易求.容易发现:阴影面积为5个平方单位,因此新正方形的边长应该为 .

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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