数学课堂 我们要关注什么

华建锋

这个类型的问题更多的是编排在数学奥赛内容里。现在在复习内容中出现，而且只是很小的一节，我认为，教材编排在此的目的，不仅仅是让学生掌握这几个题的解法，更重要的是在学生心中渗透“数学思想”方法，去解决实际生活中复杂的数学问题；同时也积累一些解决问题的策略。因为解决问题的方法和途径是多种多样的，同样策略也需要不断积累，但不管解决什么数学问题，特别是复杂的数学问题，一定要让学生树立一种意识——走一步看一步并掌握其中的规律。所以在教学设计和教学过程之中，我意在让学生多总结，多归纳，并说出自己的感想和经验。

[第一次执教]

2008年5月，我在杭州市长青小学星级教师展示课暨杭州师范大学教育实习示范课上执教《数学思考》，试图以学生的即时生成为主，最大限度地展现开放式的教学方式。(简要的教学设计附后。)

这一节课上下来，第一感觉是累。课堂是生成的，它不会按照教师事先预设的情境按部就班地推进，从而导致教师在课掌上很难把握和调控。本次执教仅从文本出发，教师只是按教材的内容与顺序执行了教学流程。整个教学过程只强调了学生的画一画，没有深刻感知过程内在的变化联系，解决这类问题“画”并不是一种好的策略，得想办法找规律，并感受到“数学思想”对解决问题的重要性。这一切都让我在教学结束之后才有了更深刻的体味，整节课下来就像是老师拖着学生往前走，老师累，学生困惑——这节课老师究竟要教会我们什么?

第二感觉是自己对数学教学理解的肤浅，特别是对于知识大背景更是浮光掠影式的把握。忽视了学生原有的认知基础(学生已会快速而准确地数线段)，但教师还是将学生置身于一无所知的状态之中，认为解决了连线段问题之后并通过机械练习，就能把该种数学思想方法得到巩固。但没有想到的是在新的问题情境出现时，运用原有解题模式进行分析、解答，结果竟是几近全军覆没。难道是例题教学的学生没有掌握解题的方法?

《数学课程标准》指出：“对数学的认识不仅要从数学家关于数学本质的观点中去领悟，更要从数学活动的亲身实践中去体验；体验从现实生活开始……使已经存在于学生头脑中的那些经验性餉数学知识和数学思维方式上升发展为科学的结论。”对于点与线段之间的关系，学生已经具有一定的生活经验，因此，教学中应当重视学生的知识起点，教学的组织也应当站在学生的知识起点这一平台上来进行有效展开。

[第二次执教]

2008年6月，我在杭州市青少年活动中心家长开放课上执教《数学思考》，本次教学我强调学生的动手操作和实践，同时更关注学生思维品质的发展。像这种以几何形态显现的问题，便于学生动手操作，通过画图，由简驭繁，发现规律。特别是“做数学”成为当下数学教育的一个重要观点，它强调学生学习数学是一个现实的体验、理解和反思的过程，强调了以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性。學生在自然情境中，在教师的帮助下，在“做”的过程中积累丰富的直接经验，主动参与数学知识的发生、发展和形成过程，理解和掌握数学思想、方法等知识。(简要的课堂实录附后。)

第二次执教的探索过程是：①利用操作与图示进行转化，并运用图形、符号使之数学化，即6个点可以连多少条线段?8个点可以连多少条线段?2001个点、2008个点呢?②通过操作、比较、分析，建构基本的数学模型。第一步：以退为进，从简单的数学问题想起(即由简驭繁的数学思想)。第二步：对比每次操作过程中点与所连线段及相互之间的联系，从而发现并揭示规律。第三步：建模，如果平面上有n个点，则可连线段的总条数就等于从1开始前(n-1)个连续自然数的和。 也就是连续自然数的个数比点数少1。1+2+3+……+(n-1)＝(1+n-1)×(n-1)÷2=n×(n-1)÷2③解决后续问题：2001个点最多可以连成多少条线段?2008个点最多可以连成多少条线段72001×(2001-1)+2=2001000 2008×(2008-1)÷+2=2015028

第二次执教中将知识的习得过程融合于具体的操作活动之中，符合小学生从形象到抽象的认知规律，体现了数学应用从“实际问题一数学模型”和“数学模型一实际问题”的一般过程。

类似这种以几何形态显现的问题，便于学生动手操作，学生在生活原型与数学材料中进行积极的思辨，通过握手、连线、画图，由简驭繁，在思维撞击中获得数学体验与收获，从而发现规律。本次教学不仅强调了学生的动手操作和实践，同时更关注学生以往知识学习的大背景，把有效的数学活动建立在学生已有的生活经验基础之上。从学生熟悉的生活情境出发，选择学生身边感兴趣的事物作背景，然后提出有关数学问题，使学生感受到数学与日常生活的密切联系，从而激发学生学习数学的极大热情。

“做数学”是目前数学教育的一个重要观点，它强调学生学习数学是一个现实的体验、理解和反思的过程，强调了以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性。研究表明：人们在学习时，如果仅靠听和看，最多能吸收30％的新知：如果动手做，可以达到90％以上。在教学过程中，借助于多媒体的演示，将数与形的结合直观形象地展现在学生面前，使原本枯燥的知识更加直观。学生能够清晰地观察到图形的变化过程，以及由图形到算式再到图形的演变过程。更加利于学生发现知识的本质，体验到数学知识本身的魅力，同时也在一定程度上提高了课堂实效性。在这个环节的教学中，学生在自然情境中，在教师的帮助下，在“做”的过程中积累丰富的直接经验，主动参与数学知识的发生、发展和形成过程，理解和掌握数学思想、方法等其他知识。

[感悟]

此次磨课带给我的思考主要有以下几点：

1基于教学的学习，还是基于学习的教学?

在教学过程中，学生是学习的主体。为此，教师不仅要考虑到教师的教，更要考虑到学生怎样学，使教学能真正立足学生的学，能依据课程标准的要求，围绕教材的重点、难点，有的放矢进行教学设计。课堂上力求做到服务与指导相结合，要为学生多创造一点思考的时间，多一点活动的空间，多一点表现自我的机会，多一点体验感悟的愉悦。要把课堂还给学生，让学生成为课堂的主人，让数学教学活动成为学生自主探究下的一个“数学化”的过程。

把课堂还给学生，把探索的权利真正还给学生，学生的表现会令你瞠目结舌。在第二次执教中，把学生真正当成了学习的主体，学生在已有知识背景下，发现问题、小组合作、协同研究都由学生自主完成。教师大多以参与者的身份出现，与学生一道研究，师生之间是一种民主、平等二和谐的伙伴关系。而第一次执教中把学生学会解决具体数学问题作为教学的主要目标。面对具体问题情境时，甚至希望学生能尽快按照教师预先设定的“简洁”“明快”“合理”的方式来进行思考，更是不允许学生的思维出现偏差。就知识技能掌握

的角度来看，第一次执教无疑具有简单、高效的特点，也能提高学生解题应试的水平，但却扼杀了学生的思维，致使学生在遇到新的问题情境或问题情境发生变化时，出现似懂非懂甚至措手不及也就不足为怪了。

2基于文本课程的教学，还是基于体验课程的探究?

教学不只是课程传递和执行的过程，更是课程创新与开发的过程：教学不只是传授知识的过程，更是师生交往、积极互动、共同发展的过程。要改变重结论轻过程餉教学倾向，注重学生探索新知的经历和获得新知的体验。学科教学要以学生的发展为本，服从、服务于学生的健康全面发展。新课改背景下的课程不应只是“文本课程”(课程标准、教学计划、教科书……)，而应该是“体验课程”(能让教师和学生实实在在体验到、感悟到、思考到的课程)。

第二次执教中更多地关注了学生对数学思想方法的感悟和学生获取知识的过程。注重引导学生借助“图示”与“操作”来提取数学问题中的数量关系，注重寻找数量关系与问题解决之间的联系，把实际问题转化为数学问题，这一过程就是“数学化”“模型化”的过程。在学生建构知识体系的过程中，教师没有把知识仅仅作为文本课程来进行教学，而是把思考的时间、探索的空间、交流的机会让给了学生，既关注数学知识的习得，更注重数学思想方法的体验，让学生有展示创造性思维成功的平台。

3基于知识结论的记忆，还是基于数学智能的发展?

数学的教学有两条线，一条是明线，即数学的基础知识与技能，体现出阶段性的特点。另一条是暗线，即数学思维方法的渗透，具有整体性和系统性的特点，需要教师从整体上加以把握。以往的教材比较重视明线而忽视暗线，新的教材比较重视数学思想方法的渗透。在实际教学中两者往往会不断发生冲突、容易致使教师陷入两难境地。第二次执教中通过变式、比较、分析、反思，沟通了知识之间的联系和区别，不仅让学生知其然而且还知其所以然，促进了学生思维的发展。特别是让学生树立了一种解决问题的意识，即在今后的学习中遇到类似复杂的问题时，都可以采取以退求进的方式，解决这类问题常用的策略是，由最小的、最简单的情况人手，找出规律，以简驭繁、化繁为简。

结论与过程的关系是教学过程中一对十分重要的关系。从学科本身来讲，过程体现该学科的探究过程与探究方法，结论表征该学科的探究结果。二者是相互作用、相互依存、相互转化的关系。有什么样的探究过程和方法必然对应着什么样的探究结论或结果，概念原理的获得依赖于特定的探究过程和方法。进入知识经济时代，学生在学校获得的知识到社会上已远远不够用。人们只有不断更新知识，才能跟上时代的步伐。因此，让学生从学会到会学，就显得尤为重要和迫切。现代教育心理学研究指出，学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，而且也是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程。这个过程一面是暴露学生产生各种疑问、困难、障碍和矛盾的过程，另一方面是展示学生发展聪明才智、形成独特个性与创新成果的过程。正因为如此，新课程强调过程，强调学生探索新知的经历和获得新知的体验。当然，强调探索过程，意味着学生要面临问题和困惑、挫折和失败，这同时也意味着学生可能花了很多时间和精力结果表面上却一无所获，但是，这却是一个人的学习、生存、生长、发展、创造所必须经历的过程也是一个人的能力、智慧发展的内在要求。

附：第一次执教教学设计

一、回忆引入：“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”。

意图：这一基本原理由教师直接进行陈述，从而唤起学生的知识回忆。

二、尝试

出示问题情境一：现在在黑板上任意画出三个点，可以连成多少条线段?

意图：通过任意三点连成线段，让学生对本课要研究的内容有一初步的认识。

三、展开

(1)出示问题情境二：任意的6个点可以连成多少条线段?任意的8个点可以连成多少条线段72001个点、2008个点可以连成多少条线段?

意图：用较大数目的点来连成线段，挑战性更大，期望学生能从数学思考角度找到方法和策略。

(2)思考、讨论、汇报交流。

四、应用

附：第二次执教课堂实录

一、引入

师：把小组的每位同学看成一个端点，去与能跟你自己连成线段的同学握一握手，你和组内同学能连成几条线段?(学生“握手”活动)

意图：将学生熟悉的生活原型作为课堂的引入，从而激发学生已有的知识经验。

二、展开

A握手问题

1把小组的每位同学看成一个端点，去与能跟你自己连成线段的同学握一握手，但不要重复，想一想再试一试，小组内同学一共可以连成几条线段?

2用下面这几个点，请你想一想、连一连，能画几条线段?数例反思

意图：提取存在于学生头脑中原有的认识。

B连线段问题

1下面这4个点，请你想一想能画几条线段?

师：6个点可以连多少条线段?8个点呢?

2根据以上规律，你知道12个点、20个点能连成多少条线段吗?请写出算式。

3我们用n表示点数，你能用一个式子来表示本题的规律吗?

4通过以上的操作，请大家思考一下为什么会有这样的规律?

52001个点最多可以连成多少条线段?92008个点最多可以连成多少条线段?

6刚才同学们是怎样找到规律的?你有什么建议吗?

7特别要注意的是把变化的过程记录下来，不能只记录最终的结果，这样便于我们发现规律。

意图：整个教学过程根据学生的思维而有序展开。

三、应用

(1)10个老朋友见面，每两人相互握手一次，你知道一共握了多少次手吗?你能把你的想法与大家分享吗?

10×9÷2=45(次)

(2)从1，2，3，……，9这九个数中选出两个数组成两位数，一共可以组出多少个不同的两位数?想一想，这和用点连线段有什么相同，有什么不同?你能说说你是怎么想的吗?

(3)一条直线能将一个长方形分为两部分，两条直线最多能将一个长方形分为4部分，那么5条直线最多能将一个长方形划分成几部分?2008条直线最多能将一个长方形划分成几部分呢?

(4)一张正方形纸，用“十”字形连续均分(如下图)。均分2008次后，这张正方形纸被分成了()个部分。

第1次均分第2次均分第3次均分

4个部分

7个部分

10个部分

四、小结收获，自我反思

师：这节课快要结束了，老师想了解一下同学们通过这节课的学习有什么收获和启示?

(浙江省杭州市长青小学310004)