投票绝对公平吗?

2009-06-18 06:26
数学教学通讯·初中版 2009年5期
关键词:支持者胜任排序

木 遥

2008年11月4日,美国总统大选让奥巴马成为美国历史上第一个黑人总统,也让这个日子永载史册。美国媒体在之前的宣传中纷纷称之为“你一生中最重要的一次投票”——事实上,每次投票之前都会有类似的宣传出现。

既然有投票,就有事前的机关算尽,事后的败寇成王。美国人的情绪在那个特殊的夜晚激烈地动荡着,“藕粉”们(奥巴马的支持者)纷纷称之为美国历史的新纪元,“麦片”们(麦凯恩的支持者)愤愤不平地说奥巴马只不过是靠巧言令色才窃得大位,“稀饭”们(希拉里的支持者)则黯然神伤,来来去去想的都是“要是希拉里当时赢了民主党初选……”由于众所周知的原因,我们对于投票这件事情的了解几乎总是匮乏的。隔岸观火,也不失为一个学习投票常识的办法。

“且慢,”也许你会有异议,“如果说选举过程中的政治操作需要学习还可以接受的话,投票本身还有什么知识可言?一人一票的统计就是了啊。”当然不仅如此,正如我们所知,美国的选举制度并非是简单的一人一票。事实上,“一人一票”并不一定是个自然的办法,甚至也不一定是个好办法。

让我们从下面这个简单的例子开始。假设有一组人要从A、B、C三个候选人中选出一个来担任某项职务。大家对这三个人的内心偏好如下:

有2个人认为A优于B,B优于C

有3个人认为A优于C,C优于B

有2个人认为C优于B,B优于A

有4个人认为B优于C,C优于A

现在大家按照每人投一票的原则,给心中最胜任的人选投上一票。结果是A得5票,B得4票,C得2票,排名是A高于B,B高于C,最后A当选。看起来没什么问题。

如果换一个规则,假定大家认为每人一票不足以反映民意,决定仍然按照上面的偏好顺序投票,但是每个人分别投两票给他认为最胜任和次胜任的人选,那么结果会有多大差别?计算一下就会发现,最后A得5票,B得8票,C得9票,排名是C高于B高于A,当选的是C,原先票数最高的A反而垫底!

事实上,在投票这件事情上,我们面对的不仅是简单的数字游戏,而是人类社会最本质的问题之一:如何才有可能把社会中每个成员的意见,综合成为一个社会的整体意见?有趣的是,对这个问题最好的回答之一是以数学形式得到的。1972年诺贝尔经济学奖得主Kenneth J.Arrow给出了著名的Arrow定理。该定理考虑的是比投票更为普遍的情况,即如果一个集体中每个成员都对给定的一系列选项(或者候选人)有一组偏好顺序,那么一个“社会选择机制”能够在多好的程度上得到一个综合的排序?换句话说,需要找到一个函数,把所有人的排序映射为一个综合的排序,关于这个函数我们有下面这些自然的标准。

非独裁性:这个函数的输出意见不能总是等于同一个人的输入意见。也就是说,不存在一个人的意见总是凌驾于所有人的意见之上。

帕雷托最优:如果在每个人的排序中A都优于B,在输出结果中A也应当优于B。

无关因素独立性:如果人们对C的看法改变了,不应当影响到结果中A和B的相对排序。

Arrow定理是说,只要有三个或更多的候选者,就不可能存在一个函数,或者说“社会选择机制”,满足这些标准。这一结论看似是令人失望的。它意味着我们这个社会不仅暂时还不完美,而且永远都不会完美。而在这一切之中最迷人之处,则是这样复杂的现实可以被如此优美的数学所描述和论证。

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