“研究性学习”实施一例

卢 勇

研究性课程旨在培养学生的创新精神和创造能力,它要求给学生提供研究的问题和背景,让学生自主研究知识的发生、发展过程,因而具有研究性;从问题的提出,方案的设计和实施,到结论的得出,均由学生来做,因而具有自主性;它一般要通过调查、实验、归纳猜想、推证结论、社会实践等方式进行学习,因而具有开放性和实践性。

目前,研究性学习已作为一门正式课程列入教学计划,各校对研究性学习课程的开发方兴未艾。本文以自己的教学实施为例,谈谈研究性课程的教学实施。

一、问题的提出

研究性课程学习最关键的环节是确定研究专题,而专题的确定有两种模式:一是从学生生活和社会生活中选择和确定专题;二是创设问题情景由课堂教学直接切入课题,课题内容是教学内容的延伸,后者应该是研究性课程开展的常用方法。

例如我在课堂研究函数图像的性质时,先展示这样一道题:

问题1设函数f(x)定义在实数集上,则函数f(1-x)与f(1+x)的图像关于()

A.直线y=0对称 B.直线x=0对称

C.直线y=1对称 D.直线x=1对称

选什么呢?学生常常容易与下一题混淆而错选D。不妨请学生再来看这样一道题:

问题2设函数f(x)定义在实数集上,且满足f(1-x)=f(1+x),则有f(x)的图像关于()

A.直线y=0对称 B.直线x=0对称

C.直线y=1对称 D.直线x=1对称

问:这两题一样吗?区别在哪里?如何解答?

学生们通过仔细比较,不难发现两题不一样,前者是两函数f(1-x)与f(1+x)之间的对称问题;后者则是函数f(x)自身的对称问题。 此时有学生通过特例,如令f(x)=x2得出问题1的答案选B、问题2的答案选D。

再问:它们的一般形式各是什么?又有什么样的一般结论呢?类似于它们的一般形式的问题还有哪些?如何解答?请同学们课后认真加以研究和探索。

二、问题的探讨

研究性专题确定以后,学生在解决了以上两个具体问题基础上,自己动手收集资料,自己动手实验、归纳、探索、总结,学生之间互相讨论、交流后发现:

以上两题的一般形式分别为“f(a-x)与f(a+x)”和“f(a+x)=f(a-x)”,并得到如下一些结论:

结论1:定义在实数集R上的函数f(x),

(1)若满足f(a+x)=f(a-x),则有f(x)图像关于直线x=a对称;

(2)若满足f(x-a)=f(a-x),则有f(x)图像关于直线x=0(y轴)对称;

(3)若满足f(x-a)=f(x+a),则有f(x)为周期T=2|a|的周期函数。

理由:(1)以a>0为例,∵f(a+x)=f(a-x)∴f(a+x)为偶函数,其图像关于y轴对称,再将图像向右平移a个单位得f(x)的图像,即f(x)的图像关于直线x=a对称,其等价形式为“f(x)=f(2a-x)”。

(2)f(x-a)=f(a-x)即f(t)=f(-t),从而f(x)为偶函数,其图像关于y轴对称。

(3)条件可转化为f(x)=f(x+2a),符合周期函数的定义,f(x)为周期函数T=2|a|。

教师启发:观察以上的结论,你又能发现什么规律吗?对(1)你能作更一般的推广吗?

此时,学生不难发现出这样的特征:若条件中等式两边括号里x前系数相反,则f(x)的图像为轴对称(如(1)、(2));若x前系数相同,f(x)为周期函数(如(3))。同时,对(1)推广得更一般的结论:

结论2:定义在实数集R上的函数f(x),若满足f(a+x)=f(b-x),则有f(x)图像关于直线x=2/(a+b)对称。

理由:f(a+x)=f(b-x)等价于f(2/(a+b)+x)=f(2/(a+b)-x).

不难发现,结论1中(2)也是结论2的特例。

学生通过启发、思考、 讨论,交流,又出现新的研究成果,学生为一种结论的得出而欣喜,又进一步激发他们探究的欲望,导致新成果不断涌现。

结论 1': 定义在实数集R上的函数f(x),

(1)若满足f(a+x)=-f(a-x), 则有f(x)图像关于点(a,0)对称;

(2)若满足f(x-a)=-f(a-x), 则有f(x)图像关于点(0,0)对称;

(3)若满足f(x-a)=-f(x+a),则有f(x)为周期T=4|a|的周期性函数。

理由:以a>0为例,

(1)式中可记f(a+x)=φ(x),条件为φ(x)= -φ(-x),得φ(x)即f(a+x)为奇函数,其图像关于原点对称。而f(x)的图像可由φ(x)的图像向右移a个单位而得,从而得f(x)图像关于点(a,0)对称。

(2)式中等价于f(-t)=-f(t)知f(x)为奇函数,其图像关于原点对称。

(3)式中可令x-a=t,从而得f(t+2a)=-f(t),所以f(t+4a)=-f(t+2a)=-[-f(t)]=f(t),即f(t+4a)=f(t),知f(x)为周期函数,T=4a。

结论2':定义在实数集R上的函数f(x),若满足f(a+x)=-f(b-x), 则有f(x)图像关于点(2/(a+b),0) 对称。

教师进一步启发:比较结论 1和结论1',或结论2和结论2',你又发现什么规律?

学生容易得出:区分“轴对称”与“中心对称”的标准是等式两边是否相差负号。

在以上以某函数自身为研究对象的研究性学习过程中,应该相信:学生在获取知识的同时,也基本掌握了这类问题的研究方法,再研究两个函数之间的关系就轻而易举了。

结论3:若f(x)定义在实数集R上,则

(1)f(a-x)与f(a+x)的图像关于直线x=0对称,

(2)f(x-a)与f(a-x)的图像关于直线x=a对称,

(3)f(x-a)的图像左(右)平移2|a|个单位可得f(x+a)的图像。

理由(1)中由于函数f(a+x)已不是f(x),而是由f(u)与u=a+x复合而成的函数,可记为g(x),即f(a+x)=g(x),则f(a-x)=g(-x)。显然,g(x)与g(-x)图像关于y轴对称,即f(a-x)与f(a+x)的图像关于y轴对称。

(2)中以a>0为例:

(3)以a>0为例,将f(x-a)的图像左移2a个单位可得f(x+a)的图像。

结论4:若f(x)定义在实数集R上,则函数f(a+x)与函数f(b-x)的图像关于直线x=2/(b-a)对称。

理由:以a>0,b>0为例,f(x)与f(-x)图像关于y轴对称,而f(a+x)的图像可由f(x)的图像向左平移a个单位而得,函数f[-(x-b)]的图像可由f(-x)的图像向右平移b个单位而得,因此函数f(a+x)与函数f(b-x)的图像关于直线x=x=2/(b-a)对称。

结论3':若f(x)定义在实数集R上,则

(1)f(a+x)与-f(a-x)的图像关于点(0,0)对称,

(2)f(x-a)与-f(a-x)的图像关于(a,0)对称,

(3)f(x+a)的图像需作左(右)平移和关于x轴的对称交换,可得-f(x-a)的图像。

理由略。

结论4':若f(x)定义在实数集R上,则函数f(a+x)与函数-f(b-x)的图像关于点(x=2/(b-a),0)对称。

理由略。

最后,提请学生对以上内容加以整理、概括、提炼。学生归纳如下:

(一)解答此类问题的步骤:首先,要分清是一个函数自身的问题,还是两个函数之间的问题;第二步,是对称性问题,还是周期性问题,无论是一个函数自身还是两个函数之间,只要一般形式中x前的符号相同,就是周期性问题,反之,就是对称性问题。

(二)为区分各类情形,可归纳成下表:

事实证明:在研究性学习中,学生的学习完全是自主的、开放的,开设研究性课程是实现创新教育的一条必由之路。