二维双曲型方程的分组并行格式及其数值实验

刘轶中，张大凯

(贵州大学 理学院，贵州 贵阳 550025)

设数学模型为：

(1)

由于对此方程的计算具有极强的方向性且仅具有单边边界条件,故对二维双曲型串行差分格式的并行化是一件很不容易的事情.从已有文献看(见文献[1～4]),尚未发现二维双曲型方程的并行化格式.本文利用一个二维显格式、两个二维显隐格式和一个二维隐格式构造了一组分组显式格式,格式的局部截断误差阶一般为o(τ+h),稳定性条件为0

1 构造并行差分格式

下面针对J奇偶性，设计如下几种分组并行的计算方法：

1.1 GE格式

当J为偶数时,为了设计分组并行差分格式,用如下的四个格式构造逼近式(1)的并行差分方程组:

(2)

(7)

其中：

将式(3)～(6)分别在(xi,yj,tk)、(xi+1,yj,tk)、(xi,yj+1,tk)、(xi+1,yj+1,tk)处进行Taylor级数展开[5]得它们的局部截断误差分别为:

(9)

(10)

(11)

(12)

其中:α+β=2.

(13)

其中：

1.2 GEL格式

当J为奇数时,在靠近下边界的每两个内点(xi,yj,tk)、(xi+1,yj,tk)(i=2,4,…,m-1)组成一组,采用式(2)中的第一式和第二式;在靠近左边界的每两个内点(xi,yj,tk)、(xi,yj+1,tk)(j=2,4,…,m-1)组成一组,采用式(2)中的第一式和第三式;在(x1,y1,tk)点采用式(2)中的第一式;在其余(J-1)×(J-1)个节点处反复使用GE格式(2),就得GEL格式,其矩阵形式为:

(15)

其中：

1.3 GER格式

当J为奇数时,在右边界上的每两个内点(xJ,yj,tk)、(xJ,yj+1,tk)(其中j=1,3,…,m-2)组成一组,采用式(2)中的第一式和第三式;在上边界上的每两个内点(xi,yJ,tk)、(xi+1,yJ,tk)(其中i=1,3,…,m-2)组成一组,采用式(2)中的第一式和第二式;在(xJ,yJ,tk)点采用式(2)中的第一式;在其余(J-1)×(J-1)个节点处反复使用GE格式(2),就得GER格式,其矩阵形式为:

(17)

其中:

由式(9)～(12)可得：

定理1 当1+r≠0且1+2r≠0时,式(13)、(15)、(17)的精度一般为o(τ+h).

2 稳定性分析

首先对GE格式的稳定性进行分析，由式(13)的增长矩阵的特征方程可得：

(19)

(20)

从而： |λI-M|=0

(21)

(22)

因|λI-M|是一个下三角行列式,故显然有:

解得:0

从而:

递推可知：Mk对任意的k有界.

从而可得:

定理2GE格式(13)的稳定性条件为：0

类似可得:

定理3 当取0

3 数学实验

利用贵州大学理学院数学系应用数学与建筑力学实验室提供的实验平台来完成以下数例实验:

考虑二维双曲型方程初边值问题:

(23)

它的精确解为:u(x,y,t)=sin(-x-y+2t).

以下数值例子取h=0.1,n=1000,对GE格式取J=12，对GEL、GER格式取J=13.

表1 并行格式GE、GEL、GER的误差(r=0.9)

以上数值例子验证了理论分析的正确性,表明了本文的格式可行性与有效性.

[1]EVANS D J,ABDULLAH A R B.Group explicit method for parabolic equations[J].Inter J Computer Math,1983,14:73-105.

[2]刘百良.一阶双曲型方程的AGE方法[J] .计算物理,1998,15(1):101-106.

[3]金承日,丁效华,张少太.双曲型方程的有限差分并行迭代算法[J].哈尔滨工业大学学报,2002,34(3):340-343.

[4]方春华,张大凯.双曲型方程的一类分组显示并行算法[J].贵州科学,2006,24(3):11-13.

[5]刘轶中,张大凯.双曲型方程的一类三层五点高精度显格式[J].贵州大学学报:自然科学版,2006,23(2):134-138.