内积H-Z-空间中的一·五线性泛函及其性质

杨万必，秦宣华

(湖北民族学院 理学院，湖北 恩施 445000)

文献[1]引入了Z-空间(X,+,θ,‖·‖)的概念，文献[2～5]引出了B-Z-空间,文献[6]引入了共轭Z-空间与共轭Z-算子，文献[7]引入了内积Z-空间，文献[8] 引入了内积H-Z-空间；在此基础上，本文提出了内积H-Z-空间中一·五线性泛函的概念，并将泛函分析学中希尔伯特空间中一·五线性泛函的性质移植到内积H-Z-空间之中.本文首先介绍了共轭Z-空间与共轭Z-算子、内积Z-空间和内积H-Z-空间的概念；然后讨论了内积H-Z-空间中的一·五线性泛函的性质.

定义1[4]Z-空间X上的连续线性泛函的全体记为X*称X*是X的共轭Z-空间.

定义2[4]若X是Z-空间，X*的共轭Z-空间称为X的二次共轭Z-空间，记作X**.

定义3[4]若X是Z-空间，称算子J:X→X**,Jx=x**，x**(f)=f(x),∀f∈X*为从X到X**的自然嵌入Z-算子.

定义4[4,5]设X为Z-空间，J∶X→X**为自然嵌入映射.若J(X)=X**，称X为自反Z-空间.

定义5[4,5]设X是Z-空间，若∀x,y∈x，当x≠y，‖x‖=‖y‖=1时，

(1)

则称X为严格凸Z-空间.

命题1[4,5]一致凸B-Z-空间是自反Z-空间.

命题2[4,5]B-Z-空间X是自反Z-空间当且仅当X*是自反Z-空间.

定义7[6]设X、Y为Z-空间，X*、Y*分别是X、Y的共轭Z-空间，T∈RZ(X,Y).若线性算子T*∶Y*→X*满足:

(T*y*)(x)=y*(Tx)，∀x∈X,y*∈Y*.

(2)

则称T*是T的共轭Z-算子.

记f(x)=(f,x)，则式(3)可以写成:

(T*y*,x)=(y*,Tx)

(3)

定义8[7]设(X,+,θ)是Abel群，Z是整数加群. 如果:

1)∀(m,x)∈Z×X，X中有唯一的元mx与之对应，且满足：

m(x+y)=mx+my;(m+n)x=mx+nx; (mn)x=m(nx);1·x=x;

其中m,n∈Z；x,y∈X.

则称(x,y)是x,y的次内积，称X为内积z-空间.

命题3[7]Z-空间(X,‖·‖)是内积Z-空间当且仅当∀x,y∈X，满足条件：

‖x+y‖2+‖x-y‖2=2(‖x‖2+‖y‖2).

(4)

定义9[8]完备的内积Z-空间称为Hilbert Z-空间，简称内积H-Z-空间.

命题4[9]若X是内积H-Z-空间，则X是一致凸Z-空间.

定义10[9]设H为内积Z-空间，E⊂H为线性子空间，x∈H.若存在分解x=x1+x2，其中x1∈E，x2⊥E,则称x1为x在E上的正交投影(简称投影)，记为PEx=x1.

命题5[9]设H为内积Z-空间，E⊂H为线性子空间，y∈H,x1∈E，则以下诸条件等价：

1)PEy=x1；

(5)

3)对于任何z∈E实变量函数f(λ)=‖y-x1+λz‖2在λ=0有最小值.

命题6[9](投影定理)设H为内积H-Z-空间，E⊂H为闭线性子空间，则∀y∈H，PEy存在且唯一.

命题7[9]设H是内积H-Z-空间，E⊂H是线性子空间，记E⊥={x∈H:x⊥E},则 :

1)E⊥是H的闭线性子空间;

2)若E是闭的，则E⊥⊥=E;

3)若E是闭的，则(Ei⊂Ei+1,i≥1),即H=E+E⊥，E∩E⊥={0};

4)若E是闭的，P∶H→E是投影算子，则E⊥=N(P).

定义11[10]1)设X为线性空间，T∶X→X为线性算子，若T2=T,则T称为幂等的.

2)设H为内积Z-空间，T∈R(H),若(Tx,y)=(x,Ty)，∀x,y∈H，则T称为自共轭算子.

命题8[10]设H为内积H-Z-空间，P∈R(H)，则下列诸条件等价：

1)P是投影算子；

2)P2=P并且P是自共轭的；

3)P2=P并且N(P)⊥R(P).

定理1 设H为内积H-Z-空间.

1)每个y∈H，f(x)=(x,y)是H上的连续线性泛函，并且‖f‖=‖y‖；

2)是H上的连续线性泛函，则存在y∈H，使得:

f(x)=(x,y) (∀x∈H)，‖f‖=‖y‖.

(6)

注1：1)称定理1中的y为内积H-Z-空间中线性泛函f的表现;

2)记H上连续线性泛函的全体为H*,定理1表明从集合论的观点来看，H与H*是相同的.

定理2 设H为内积H-Z-空间，H*是H的共轭Z-空间.

1)若映射T∶H*→H,Tf=y，其中y是f的表现，则:

(7)

(称T为共轭线性的)T是到上的并且对于每个T∈H*，‖Tf‖=‖f‖.

2)(Tf,Tg)=(f,g)，∀f,g∈H*.

(8)

3) 若J是从H到H*的自然嵌入算子，J是到上的线性映射，并且‖Jx‖=‖x‖(∀x∈H).

2°由‖T(f+g)‖=‖f+g‖‖T(f-g)‖=‖f-g‖,则：

3°设J∶H→H**为自然嵌入算子，则∀x∈H,Jx(y)=y(x),(∀y∈H*).若x1,x2∈H,α,β∈ΦJ(αx1+βx2)(y)=y(αx1+βx2)=αy(x1)+β(x2)=αJx1(y)+βJx2(y)=(αJx1+βJx2)y,y是任意的.故J(αx1+βx2)=αJx1+βJx2.对于每个x**∈H**，由定理1，存在y*∈H*，使得x**(f)∈(f,y*)(∀f∈H*)并且‖x**‖=‖y*‖.若T是1°中的映射，不妨设Ty*=x，由2°知，x**(f)=(f,y*)=(Ty*,Tf)=f(x).故Jx=x**.J是到上的并且‖Jx‖=‖x**‖=‖y*‖=‖Ty*‖=‖x‖.所以结论成立.

注2：1)T∶H*→H是共轭线性的但不是线性的.因此按照线性同构的观念来看，当φ为复空间时，H*≠H,尽管H*与H之间存在一一的到上的映射，有时又特别地称H*与H是共轭线性同构的.

2)定理2(3)与一致凸Z-空间的结论是一致的，即内积H-Z-空间是自反Z-空间.

定义12 设H为内积Z-空间，映射φ∶H×H→φ.

1)若∀x,y,z∈H,α,β∈φ,φ(αx+βy,z)=αφ(x,z)+βφ(y,z)，φ(αx+βy,z)=αφ(x,z)+βφ(y,z)

(9)

则称φ是一·五线性泛函；

3)若存在C>0，|φ(x,y)|≤C‖x‖·‖y‖,∀x,y∈H，则称φ是有界的.并且记:

‖φ‖=sup{|φ(x,y)|,‖x‖≤1,‖y‖≤1}.

(10)

定理3 设H为内积H-Z-空间，φ∶H×H→φ是有界一·五线性泛函当且仅当存在T∈RZ(H),使得:

φ(x,y)=(Tx,y)∀x,y∈H.

(11)

此时有‖φ‖=‖T‖.

故‖T‖≤‖φ‖.

下面证明T是由φ唯一决定的.事实上，若另有T1使得(T1x,y)=φ(x,y)=(Tx,y)，∀x,y∈H.则由y是任意的，必有T1x=Tx，再由x的任意性得到T1=T.总之由上述证明可知‖T‖=‖φ‖.

定理4 设H为内积H-Z-空间，则对于每个A∈RZ(H),存在唯一的B∈RZ(H)，使得:

(Ax,y)=(x,By)，∀x,y∈H.

(12)

证明令φ(x,y)=(x,Ay)，则φ是一·五线性泛函，并且：

|φ(x,y)|=|(x,Ay)|≤‖x‖·‖Ay‖≤‖A‖·‖x‖·‖y‖.

φ是有界的.由定理3，存在B∈R(H)使得：

φ(x,y)=(Bx,y)，

于是(Ax,y)=(x,By)，交换x与y的符号即得(Ax,y)=(x,By).

[1]王国俊，白永成.平移空间的线性结构[J].数学学报，2005，48(1)：1-10.

[2]杨万必，秦宣华.Z-空间上的线性算子的性质[J].中南民族大学学报:自然科学版,2006，25(1)：97-99.

[3]杨万必，李永亮.关于Z-空间的性质[J].湖北民族学院学报:自然科学版,2005，23(4)：330-331.

[4]杨万必.自然嵌入Z-算子与自反Z-空间及其性质[J].湖北民族学院学报:自然科学版,2007，25(3)：330-331.

[5]杨万必.自反Z-空间与一致凸Z-空间的性质[J].吉首大学学报:自然科学版,2007,28(5)：16-20.

[6]杨万必.共轭Z-空间与共轭Z-算子的性质[J].湖北民族学院学报:自然科学版,2008，26(1)：012-014.060.

[7]杨万必.内积Z-空间及其性质[J].湖北民族学院学报:自然科学版,2008，26(3)：330-331.

[8]杨万必.内积H-Z-空间及其性质[J].湖北民族学院学报:自然科学版,2008，27(2)：187-189.

[9]秦宣华.杨万必.内积H-Z-空间中的正交投影及其性质[J].湖北民族学院学报:自然科学版,2009，26(4)：383-385.

[10]秦宣华.杨万必.内积H-Z-空间中的投影算子及其性质[J] 吉首大学学报:自然科学版,2009，30(5)：21-25.

[11]刘培德.泛函分析基础[M].武汉：武汉大学出版社，2001:69-76，151-160，194-205.