叠加法计算各向异性电介质平板电容器电容

郑永红

(北京信息科技大学理学院 北京 100085)

电容器是现代电工技术和电子技术中的重要元件，在实际中有着广泛的应用[1]．电容是电容器的重要参数，根据不同需要，电容器的形状以及电容器内所填充的电介质也不同．平板电容器是最常见的一种电容器，大学物理教学中，讨论过真空平板电容器、各向同性平板电容器电容的计算．本文根据平板电容器的串并联公式，介绍求解各向异性平板电容器电容的叠加法．利用此方法，进一步讨论当电容器中充有线性和指数各向异性电介质时，电容器电容的计算． 为大学生提供了一种求解各向异性电介质平板电容器电容的方法．

1 各向同性平板电容器电容

真空中平板电容器，平板的面积为S,两平板相距为d(S≫d2)，如图1所示．设两极板的面电荷密度为±σ，则极板间的电场强度为[2]

图1

(1)

由(1)式，两极板间的电势差为

(2)

再根据电容的定义

(3)

可见，平板电容器的电容，与极板的面积S成正比，与极板间距d成反比．那么，当极板间充满各向同性的电介质时，电介质的介电常量为ε，如图2所示，则电容器的电容为[3]

(4)

图2

2 平板电容器电容叠加法

多个平板电容器并联，如图3所示.此时电容器总电容为

C=C1+C2+C3

(5)

图3

图4

设电介质的介电常量为ε(x)，即ε是x的函数，可以把电介质取成如图4所示许许多多的窄条，每一窄条相当于各向同性的电介质.设此窄条电容为dC，则根据电容器的并联原理，此时电容器的电容为dC的叠加，图中a为极板的长度．

(6)

多个平板电容器串联，如图5所示.此时总电容为

(7)

图5

(8)

图6

3 各向异性电介质平板电容器电容的计算

3.1 线性各向异性电介质

利用上述电容的叠加原理，可以计算线性各向异性电介质分布的平板电容器的电容．

(9)

由平板电容的叠加法，根据(6)式，有

(10)

电容器中充有此种电介质时，电容器电容是真空电容器电容的1.5倍．

(11)

由平板电容的叠加法，根据(8)式，有

(12)

所以，总电容C最后由(12)式得

(13)

电容器中充有此种电介质时，电容器的电容是真空的1.44倍．可见，随x分布线性电介质比填充随y分布线性电介质，对电容器电容的影响较大些．

3.2 指数各向异性电介质

(14)

由平板电容的叠加法，根据(6)式，有

(15)

通过计算电容器中充有此种电介质时，电容器的电容是真空的1.7倍．

(16)

由平板电容的叠加法，根据(8)式，有

(17)

所以，总电容C最后由(17)式得

(18)

电容器中充有此种电介质时，电容器的电容是真空的1.59倍．可见，随x分布指数电介质比填充随y分布指数电介质，对电容器电容的影响较大些．指数电介质比线性电介质对电容的影响更大些．

4 结论

根据各向同性电介质平板电容器电容的公式，利用平板电容器电容的叠加原理，计算了各向异性线性电介质、指数电介质电容器的电容．从计算的结果可以看出，当平板电容器中充有线性各向异性电介质时，随x分布线性电介质比填充随y分布线性电介质，对电容器电容的影响较大些；当平板电容器中充有指数各向异性电介质时，随x分布指数电介质比填充随y分布指数电介质，对电容器电容的影响较大些．总体来说，如本文中所给出的电价常量ε的函数关系，指数电介质比线性电介质对电容的影响更大些．

参考文献

1 赵凯华，陈熙谋.电磁学(上册).北京：高等教育出版社，2008.156

2 程守洙，江之永.普通物理学(2).北京：高等教育出版社，2008.98

3 马文尉，周雨青,等.物理学教程(上册).北京：高等教育出版社，2006.56