如何判定物体做简谐振动

孔若平

( 西北工业大学启迪中学 陕西 咸阳 710072)

如何判定一个振动系统是否做简谐振动，一般可以用以下两种方法.

动力学特征：F=-κx,即如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，那么质点的运动就是简谐振动．

振动图像法(x-t图像)：x=Asin(ωt+φ) 用x代表质点相对于平衡位置的位移，t代表时间，即如果质点的位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数的规律，它的振动图像x-t是一条正弦曲线，这样的振动就是简谐振动．

现行教科书及各类参考书对简谐振动的判据说法不一，笔者认为动力学方法在高中阶段对学生比较适用，简单步骤如下.

(1)确定振动的平衡位置，物体停止振动静止时的位置即为平衡位置，并且规定正负方向.

(2)在振动过程中任选一位置(平衡位置除外)，对物体进行正确的受力分析.

(3)对物体所受的力沿振动方向进行分解，求出振动方向上的合外力.

(4)判定振动方向上的合外力与位移的关系是否符合F=-κx.

【例1】证明竖直悬挂弹簧的运动是简谐振动．

证明：弹簧下端悬挂的物体m竖直方向振动时，回复力由重力和弹力的合力提供．设弹簧的劲度系数为κ，在平衡位置时，回复力F=0，此时弹簧伸长为x0，则

κx0-mg=0

(1)

以平衡位置为坐标原点，设向下为正方向，建立坐标轴，如图1所示.当物体在振动中到达任意点x时，其回复力为

F=mg-κ(x+x0)

(2)

由(1)、(2)式得

F=-κx

可见物体受的回复力跟偏离平衡位置的位移的大小成正比、方向跟位移方向相反，即该物体做简谐运动．

图1

【例2】如图2(a)所示，在一倾角为θ的光滑斜板上，固定着一根原长l0的轻质弹簧，弹簧另一端连接着质量为m的滑块，此时弹簧被拉长为l1.现把滑块沿斜板向上推至弹簧恰好为原长，然后突然释放.求证滑块的运动为简谐振动．

图2

证明：松手释放，滑块沿斜板往复运动——振动．而振动的平衡位置即滑块开始时静止(合外力为零)的位置，在平衡位置(即弹簧长为l1)处，弹簧弹力等于重力沿斜面向下的分力，即

mgsinθ=κ(l1-l0)

滑块离开平衡位置受力分析，如图2(b)所示.滑块受三个力作用，其中弹簧弹力和重力沿斜面向下的分力的合力提供回复力.偏离平衡位置x(设沿斜面向上为正方向，向下为负方向)时，弹簧伸长量

Δx=(l1-l0)-x

此时沿斜面方向的合力为

F=-mgsinθ+κ[(l1-l0)-x]=-κx

方向沿斜面向下，即

F=-κx

可见滑块受的回复力跟偏离平衡位置的位移的大小成正比、方向跟位移方向相反，即该物体做简谐运动．

【例3】 如图3(a)所示，木块质量为m，放在水面上静止(处于平衡状态).现用力向下将其压入水中一段深度后撤掉外力，木块在水面上下振动，试判别木块的振动是否为简谐振动．

图3

证明：以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx深.当木块压入水中x后所受力如图3(b)所示，则

F=mg-F浮

(1)

又F浮=ρgs(Δx+x)

(2)

由(1)式和(2)式得

F=mg-ρgS(Δx+x)

(3)

因为

mg=ρgSΔx

所以

F=-ρgSx

即

F=-κx(κ=ρgS)

可见木块受的回复力跟偏离平衡位置的位移的大小成正比、方向跟位移方向相反，即该物体做简谐运动．

实际在判断一个系统是否做简谐振动时，不仅要看系统中振动物体所受的是与其位移x成正比反向的线性回复力，同时还要看系统的机械能是否守恒．因此学生必须把系统的受力情况和机械能的情况联系起来综合考虑．