两等量同号点电荷中垂线上场强的极大点

2010-01-26 07:04杨雄生
物理通报 2010年9期
关键词:中垂线点电荷等量

杨雄生

(北京教育学院朝阳分院 北京 100026)

两等量点电荷连线的中点的场强为零,中垂线上无限远处的场强也为零,中垂线上其他点的场强不为零且是连续变化的,所以,中垂线上有个场强最大值的点.

这个场强最大值的点在那里?

在讨论库仑场的场强问题时,常常会碰到上述问题.如果我们能明确知道这个场强最大值的位置,那么,对讨论问题有很大的帮助.本文就讨论这个问题.

如图1所示,为方便讨论,假定两点电荷的距离为2L.

图1

大家知道,A、B两点电荷在其中垂线上某点P的合场强为

(1)

积化和差,上式可转化为

(2)

上两式中,Q为点电荷所带的电荷量,k为静电力常量,α为点电荷到P点的连线与两点电荷连线的夹角.

由于对称性,本例上下应有两个最大值的位置,我们只讨论连线上方的.根据题意(1)与(2)式自变量α的取值范围为0°至90°.

为求极值点,先对(2)式其求导数为

(3)

上式导数为零的α,可能为极值的位置.我们采用无限逼近的方法来确定最大值的位置.即

3cos3α+cosα=0

(4)

分析上式可知,只有3α超过90°,才可能为零.先试α=40°,发现3cos3α值远远大于cosα,说明α角度大多了,应减小;再选α=35°,发现3cos3α值小于cosα,说明α角小了;但两者相差不多,所以选α=36°,发现3cos3α大于cosα,说明α角大了;再选α=35.5°.同样的推断,由α=35.5°进而α=35.25°;再进而α=35.27°;再进而α=35.26°;最后α=35.265°,这时3cos3α比cosα大0.000 098 399,合场强最大.上述的推理计算过程反映在表1中.

表1

α/( °)35.2535.2735.2635.265cosα0.816 60.816 40.816 540.816 490 433cos3α-0.814 3-0.817 3-0.815 83-0.816 588 829

本例也可以不用求导,直接由(1)式或(2)式用无限逼近法求得最大场强处.只是逼近的次数较多,不如上述方法简便,其逼近过程略.

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