基于雨流计数法和功率谱密度法的随机声疲劳应用研究

郭小鹏，沙云东，柏树生，张东明

（1.沈阳发动机设计研究所,沈阳110015；2.沈阳航空航天大学辽宁省数字化工艺仿真与试验技术重点实验室，沈阳110136）

1 引言

未来飞行器和运载火箭结构将会承受巨大的热载荷和声载荷。飞行器和运载火箭结构由于受到强随机声激励而产生疲劳破坏。声疲劳是结构在高频低幅值随机载荷下，因结构中快速交变应力的作用而使结构产生声疲劳破坏的现象[1]。国外自20世纪70年代开始在高超声速运载工具的强度设计中进行声疲劳研究，其研究成果集中在3方面：（1）载荷预报；（2）应力计算；（3）寿命估算。但对随机疲劳寿命估算方法研究还很不够。国内航空界在航空发动机噪声及相关声疲劳寿命问题的研究工作起步较晚，对考虑在随机声载荷作用下结构声疲劳寿命估算方法的研究较少。西北工业大学强度研究所的徐绯等探讨了结构声疲劳寿命估算的功率谱密度法[2,3]；北京航空航天大学的金奕山等对航空发动机结构声疲劳寿命估算方法进行了探讨。沈阳航空航天大学动力与能源工程学院在燃烧噪声载荷预报、声激励响应分析、随机疲劳寿命估算等方面开展了大量工作，完成了航空基金等一系列研究项目，但主要是对基本问题的探索。

本文研究了声疲劳损伤估算的2种方法：1种是基于传统应力循环计数的时域分析方法，另1种是基于功率谱密度的频域方法[4]。并将上述2种方法应用于某航空发动机火焰筒的随机声疲劳寿命预测。首先对雨流计数法计数得到的应力谱进行处理，考虑平均应力的影响，并结合Miner线性累积损伤理论和结构疲劳曲线（S-N）进行疲劳寿命估算方法研究，给出了雨流计数法估算疲劳寿命的方法。针对平稳Gauss随机过程，提出由结构响应的功率谱密度函数直接计算应力峰值概率密度函数，并给出了疲劳损伤公式，使在频域中进行结构疲劳损伤及寿命估算得以实现。算例中首先采用耦合的边界元和有限元方法计算了某型航空发动机燃烧室火焰筒在随机声载荷作用下的振动位移和应力响应功率谱密度，然后分别采用上述2种方法进行疲劳寿命估算[5]。本文所完成的工作对燃烧室火焰筒结构疲劳故障分析和提高发动机的可靠性、耐久性具有一定参考价值。

2 基于雨流计数法的寿命估算

2.1 雨流计数法基本原理

雨流计数法是以双参数法为基础的1种计数法[6]，考虑了动强度（幅值）和静强度（均值）2个变量，符合疲劳载荷固有特性，其主要功能是把实测载荷历程简化为若干个载荷循环，供疲劳寿命估算和编制疲劳试验载荷谱使用。雨流计数法记录了载荷块的幅值和均值，能比较全面地反映载荷的真实情况，特别是对均值影响比较敏感的材料来说更是如此；其计数过程与材料真实应力-应变特性相符，可以推广应用到更多的机械零部件疲劳寿命估算中。

常用的雨流计数法的计数规则如下。

（1）雨流在试验记录的起点和依次在每1个峰值的内边开始，以最高峰值或最低谷值（视二者的绝对值哪个更大）为起点。

（2）雨流依次从每个峰（或谷）的内侧向下流，在下1个峰（或谷）处落下，直到对面有1个比起点更高的峰值（或更低的谷值）停止。

（3）当雨流遇到来自上面屋顶流下的雨流时，即停止，取出所有的全循环，并记录下各自的幅值和均值。

2.2 雨流计数法具体实现过程

首先通过峰谷值检测压缩数据，把原始的计算数据处理成便于计取循环数的数组，然后从压缩处理过的数据中提取循环,并记录其特征值,如峰值、谷值、幅值以及均值等，这就是1次雨流计数。1次雨流计数剩下的点构成的波形是1个标准的发散收敛型波形，这时按雨流计数法则无法再形成整循环,只能将其在绝对值最大的点处截开再进行首尾对接，将完成对接的波形继续提取循环直到剩下3个点(即数组中最值构成的整循环)为止。通过雨流计数法处理应力时间历程后，可以得到应力峰值Smax和应力谷值Smin。应力幅值Sa、应力均值Sm和应力比r为

由于应力均值对疲劳累积损伤也会产生影响，必须按等损伤的原则将非零应力均值的应力范围转化为零应力均值的应力范围，本文采用Morrow疲劳经验公式进行转换，此时r=-1。

式中：S为等效零应力均值；Sf为断裂强度，由试验测得，在缺少试验数据的情况下可由式（5）估算

式中：Sb为疲劳强度极限。

2.3 应力谱

雨流计数的结果可以用1个均值、幅值矩阵即载荷[7]来表示。对某型燃烧室火焰筒关键点测得的应力时间历程结果进行雨流计数，并将得到的计数结果填入载荷谱表，就可以得到应力谱。由于应力谱中的数据数量过多，不能一一列出，图1示出了节点920处（内壁掺混孔边）应力-时间历程经过雨流计数后的应力谱。

2.4 Miner线性疲劳累积损伤理论

由Miner线性疲劳累积损伤理论可以得到多个应力水平下、随机载荷作用下的损伤公式

式中：nij为构件在第i级应力幅值和第j级应力均值载荷下的工作循环次数，由前面提取出的均值、幅值载荷谱得到；Nij为在存活率P下，在第i级应力幅值和第j级应力均值载荷下的构件疲劳寿命值，数据来源于S-N曲线；NT为所测得的载荷谱作用的次数；△t表示所测得的载荷谱作用的时间。

3 基于功率谱密度法的寿命估算

3.1 功率谱密度函数

功率谱密度函数（PSD）是稳态随机过程的频域描述[8]。PSD提供了有关随机过程的大量统计信息，能够考虑多模态复杂结构的噪声响应，能够实现频域到时域的转换。PSD曲线下的区域面积和代表时间历程的均值。1个PSD的n阶谱矩定义为

式中：G(f)为功率谱密度函数，假设实测应力-时间历程为真实随机过程的1个典型样本，高斯过程的峰值概率密度函数可表示为

式中：erf（x）为概率积分（误差数）；α为随机载荷的不规则因子。

在式（10）中，当α分别等于0和1时，分别得到宽带、窄带随机过程的峰值概率密度函数。

不论是窄带还是宽带，都用统一公式表示应力幅值概率密度函数为

根据Palmgren-Miner线性累积损伤理论，对于单向载荷可由随机振动理论推导出累积损伤率

式中：E[MT]为应力循环的平均发生率。通常情况下，对于窄带随机过程，E[MT]为零穿越的速率E[0]=(m2/m1)0.5，而对于宽带随机过程，E[MT]为应力峰值出现的速率E[P]=(m4/m2)0.5；p(s)为应力循环的概率密度函数；K、b为材料S-N曲线中确定的材料常数；NT为构件发生破坏时的总循环次数。

3.2 疲劳寿命的宽带修正

对于宽带随机振动，需考虑局部峰值对构件寿命的影响。P H Wirching根据应力响应不同功率谱密度形状对疲劳寿命进行了修正，获得了适用于宽带随机振动的寿命估算公式[9]

式中：NT1为修正后的总循环次数；λ为修正因子。

修正因子、材料参数和不规则因子满足

式中：m为材料参数；α为不规则因子。

4 算例与分析

将疲劳寿命估算方法应用于某型航空发动机燃烧室火焰筒的声疲劳寿命估算。火焰筒材料为GH536，密度ρ=8.23×103kg/m3，泊松比μ=0.3，弹性模量E=1.77×1011Pa;边界条件：根据火焰筒两端安装固定形式头部5处在X、Y、Z 3个方向约束，后端约束为除了轴向以外的全部自由度。本文对燃烧室火焰筒几个关键位置节点的位移和应力响应进行分析。

4.1 声激励载荷

本文考虑的声激励载荷为有限带宽高斯白噪声载荷。这种载荷在其频带宽度范围内，各频率分量是均匀分布的。有限带宽高斯白噪声功率谱密度可表示为

式中：SPL为带宽声压级；△f为频带宽度。取频带宽度为8～1024 Hz，步长为8 Hz，根据式（18）计算带宽声压级分别为140、160 dB的有限带宽高斯白噪声功率谱密度，见表1。

表1 有限带宽高斯白噪声功率谱密度

4.2 S-N曲线拟合

本文依据Basquin疲劳寿命模型对材料GH536疲劳试验数据进行曲线拟合，材料的疲劳实验数据见表2。拟合计算得到的模型表达式为S1.8648N=107.9841,拟合过程的相关系数为0.9993，从其相关系数可以看出其拟合效果较好，证明采用Basquin疲劳寿命模型来估算结构疲劳寿命也是可靠的[10]。

表2 GH536疲劳试验数据

4.3 火焰筒在有限带宽白噪声载荷下的响应计算

采用耦合的有限元和边界元法计算火焰筒的声疲劳位移和应力响应，得到了节点位移响应功率谱密度和应力响应功率谱密度。图2给出了火焰筒有限元模型，图中标出了要分析的典型节点位置。

节点920处(内壁掺混孔边)在160 dB时X向位移响应功率谱密度和Von Mises应力功率谱密度曲线，分别如图3、4所示。位移和应力均方值分别见表3、4。表、、中分别为X、Y、Z向的、、、位移均方值，分别为X、Y、XY向及Von Mises的应力均方值。通过分析节点920处位移和应力均方值可以发现，声压级从140 dB增大到160 dB，其均方值将减小约2个数量级。通过对计算的应力频谱分析发现：（1）在所计算的频带内，火焰筒的应力响应有多个峰值，火焰筒的声激励响应有明显的多模态特征（;2）位移和应力响应在基频139 Hz处为极大值，说明火焰筒的基频模态在声激励响应中起主导作用，因此，在抗声疲劳结构设计中要考虑响应谱的频率结构。

4.4 疲劳寿命计算与结果分析

根据本文论述的2种结构声疲劳寿命估算方法，结合Basquin疲劳寿命模型，对燃烧室火焰筒进行疲劳寿命估算，2种方法计算结果见表5。从对燃烧室火焰筒结构典型节点位置的疲劳寿命估算结果可以看出，声压级从140 dB增大到160 dB，其寿命将缩短约2个数量级。对比雨流计数法和功率谱密度法计算得到的结果可以看出，功率谱密度法估算的结果比雨流计数法估算的结果偏保守，而估算的结构疲劳寿命更为可靠。火焰筒唇边、加厚边附近区域和孔边处因应力较大，疲劳寿命相对较短，总体上看外壁比内壁的疲劳寿命长。在考虑抗声疲劳设计中，一定要注意这些关键区域。由以上计算结果分析可以看出，采用雨流计数法和功率谱密度法估算结构疲劳寿命是合理的、可行的。

表3 火焰筒节点920处位移均方值

表4 火焰筒节点920处应力均方值

表5 燃烧室火焰筒声疲劳寿命计算结果（周）

5 结束语

（1）应用雨流计数法对1个载荷谱段进行了雨流计数，然后按照各载荷循环被取出的自然次序形成计算谱，最后将先发散后收敛的残余谱中的载荷循环取出，直接用于疲劳寿命计算。

（2）针对平稳Gauss随机过程，提出由结构响应的功率谱密函数直接计算应力峰值概率密度函数，并给出了疲劳损伤公式，使在频域中进行结构疲劳损伤及寿命估算得以实现。

（3）运用2种寿命估算方法对火焰筒结构进行了寿命估算，其中功率谱密度法估算的结果更保守。

（4）本文介绍的寿命估算方法可应用于结构在随机载荷作用下的疲劳寿命估算，也可以为燃烧室火焰筒结构的设计和改进提供一定的参考。

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