由一道循环小数题引发的思考

■蔡青

由一道循环小数题引发的思考

■蔡青

在小学五年级数学教学中涉及到一个知识点——循环小数。而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数。有这么一道题：“0．3103103103……是（）小数，可简记为（），循环节是（）。”我认为解决这道题的关键是要正确理解一个概念——循环节，因为对于一个循环小数，判断它是纯循环小数还是混循环小数，是根据这个循环小数的循环节的起点位置来确定的。循环节从小数点后第一位开始出现的就是纯循环小数，不是从小数点后第一位开始出现的就是混循环小数。

而循环节到底该如何确定，在许多教师中存在争议。就拿这一题来说，有的老师说：“0．3103103103．…．…是一个混循环小数，简写为0．3103,循环节是103。”理由是：循环节在最后不可能出现半个循环节，它只能以整循环节的形式出现，书上循环小数的例子很多，如教材（第九册）第28页：3．33……，6．416416……，15．438438……都是这样，还没有哪一个说出现半边循环节的。打个比方说：循环节就像自行车上的链条，是一节一节的，是一环套一环的，不可能出现半节链条。而有的教师认为：“0．3103103．10．3……是一个纯循环小数，简写为0．310,循环节是310。”理由是：它的循环节是从小数点后第一位开始出现的，最后出现的并不是一个完整的循环节，这恰恰是出题者设置的陷阱，再说，书上并没有明文规定说循环节必须以整循环节的形式出现。

一时间，这两种对立的看法争执不下，因为这两种观点的理由都不足以说服对方。那么，到底谁对谁错呢？为了搞清楚这个问题，我们还是先看看循环节的定义：“一个循环小数的小数部分中依次重复出现的一个或几个数字叫做循环节。”定义中并没有明文规定究竟以哪一个数字为起点，因此出现争议。根据定义，0．3103103103……的循环节可以是310，也可以是103，还可以是301310。为了避免引起混乱，一般采取把小数中最先按一定顺序重复出现的那一个数字定为循环节的起点，并将重复出现的最少位数定为一个循环节。也就是说，确定循环节的位置需要附加两个标准：“最先”和“最少”。所以，0．3103103103…．…．是一个纯循环小数，可以简记为0．310，循环节是310。第一种观点违反了“最先”这一标准，因而不正确。

当然，我们还可以通过分数与循环小数的互化来证明这一点。首先，我们把这个小数化成分数。

①如果按第一种观点，把这个小数按混循环小数化成分数，过程如下：

（分子为小数点后第一个数字到第一个循环节末的数字组成的数减去非循环数字组成的数所得的差，分母由“9”和“0”组成，“9”的个数为循环节的位数，“0”的个数为非循环部分的位数。）

②如果按第二种观点，把这个小数按纯循环小数化成分数，过程如下：

（分子为循环节，分母由“9”组成，“9”的个数为循环节的位数。）

显然，两种结果一样，说明它只符合一种情况。到底是哪种情况呢？我们通过一个定理来加以判断。定理：一个最简分数，它的分母只含有2和5以外的质因数时，它所化的小数是纯循环小数；若分母既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，它所化的小数是混循环小数。根据辗转相除法可以知道，是一个最简分数，其分母999=3× 3×3×37。所以，0．3103103103……是一个纯循环小数。

通过这一题我们可以看出，它是循环小数中的一个特例。事实上，在数学各知识点中，特例是普遍存在的，如“四舍五入”法在特殊情况下却有四入五舍，相背而行的行程问题是相遇问题中的特例等。作为数学老师，我们应该实事求是，客观地面对数学中的特例，绝对不能单凭主观臆断而误人子弟。

武汉市新洲区汪集街冯铺小学）

任编辑 廖林