基于解析理论的悬索桥主缆线形的迭代算法

占 维

主缆是悬索桥的主要承重构件，准确确定其成桥线形十分重要。主缆线形的正确与否，直接影响到主缆下料长度、各索夹的安装位置以及相应的吊索长度等参数的正确与否。

解析迭代法首先根据成桥状态算出主缆的无应力长度，并进行索鞍处主缆长度的修正，再根据恒定无应力索长法计算出其他参数。本文在现有研究[1-3]的基础上，根据解析迭代法的原理，采用EXCEL法和MATLAB编程法两种计算方法，分别计算悬索桥主缆的无应力长度，比较两者的计算结果，并与文献结果进行误差比较。

1 主缆线形的计算

1.1 基本假定

解析法是采用悬索力学理论将主缆作为理想悬索，故对主缆采用下述三条基本假设[4]:

1)主缆是理想柔索;2)主缆的材料符合虎克定律;3)主缆的截面面积及容重在外荷载作用下的变化量十分微小，忽略这种变化的影响。

1.2 基本公式

1.2.1 悬链线方程

如图1所示为一段只受自重荷载的索段。取其中一个微段进行研究，见图2。

首先建立平衡微分方程:

其中，a，b均为积分常数，可由索段的边界条件求得，如图1所示。

得:

1.2.2 索段无应力长度

索段弧长:

而索段的弹性伸长量:

则索段的无应力长度:

1.2.3 主缆整体的平衡方程

对于如图3所示的受自重及若干集中荷载作用下的索，可将索分为n段。则对于整体可得到水平和竖向的平衡方程:

同时有相容方程:

而各个索段之间在集中荷载作用点处满足受力平衡条件:

则:

所以:

1.3 迭代计算方法

由上述受力平衡条件和变形相容条件，可建立如下迭代计算过程:

1)确定初始值，可近似采用抛物线公式:

2)塔顶处由式(9)，式(1)，式(2)分别求得第一索段各个参数:

3)在第 i个吊点处，由式(8)，式(1)，式(2)可得:

4)求出所有索段的参数后，由下列两式对竖向支承力 V和索力水平分量H进行修正:

H=H+ΔH(修正值ΔH详见后述)。

然后重复2)步～3)步的循环，直至前后两次循环值之差小于给定误差限，即|∑hi-h|≤ε，其中，ε为给定误差限。

对以上循环迭代过程，只要给定的初值 H，V较合适，且采用变步长ΔH，一般能很快收敛。

对于中跨取半跨进行计算，如跨中没有集中力，则yn′|xi=li=0(本文此种情况);如有集中力 Pn，则对第 n个吊点有如下y方向的平衡方程:

1.4 修正值ΔH的计算

因为 hi是H，V的函数。

所以有:

由于修正值并不要求十分准确，只要它能较好地使被修正值逐渐靠近真值即可，因此可以假定索为直线。对于直线索有如下恒等式:

求偏导数得:

则可得索力水平力分量修正值为:

1.5 主索鞍、散索鞍处主缆长度修正

对于主索鞍，如图4所示，Δc为主索鞍圆弧中心偏离鞍座中心线的距离。初始位置计算公式为:

其中，Δx，Δy均为距离主索鞍顶点之距。

求得各跨主缆端点的斜率后，按此斜率计算切点位置后的计算公式为:

因中跨主缆长度计算至鞍座中心线处，故中跨主缆绕主索鞍圆弧段的有应力长度及弹性伸长公式为:

同理可求出边跨主缆在主索鞍上的切点位置以及边跨主缆绕主索鞍圆弧段的有应力长度及弹性伸长。

对于散索鞍，同理求出绕散索鞍的圆弧段长及弹性伸长为:

由于主缆在散索鞍上还有水平方向的转角，因此还需修正水平转角引起的切曲差。

2 算例

宜昌长江公路大桥中跨跨径为960 m，边跨跨径为246.255 m，锚跨跨径为20.432 m;吊索间距为12.06 m(边吊索距桥塔中心15.69 m)，中跨跨中矢度为96 m;桥面设计竖曲线半径29 629 m，主索鞍鞍槽底圆半径6.152 m，散索鞍鞍槽底圆半径7.0 m;北塔高112.415 m，南塔高 142.227 m，塔顶标高 185.070 m。

本文由受力平衡条件和变形相容条件，建立迭代计算方法，分别用EXCEL法和MATLAB编程法计算出主缆的无应力长度。在EXCEL法中通过控制水平力 H前后两次循环之差ΔH的绝对值小于10-4和Δh=|∑hi-h|≤10-5，即可认为满足了精度要求;同样在MATLAB编程法中也是控制ΔH和Δh这两个参数的精度，当满足精度要求的索力水平分量H及竖向支承力V求得后，即可用积分法计算各索段的有应力索长及各吊点处的标高。这个循环迭代过程，只要给定的初值 H，V较合适，采用变步长ΔH一般能很快收敛。

从表1中可以看出，EXCEL法和MATLAB编程法计算出的主缆无应力长度是非常接近的。而且由于本课题取得的现有资料有限，与文献结果进行误差比较，主缆无应力长度的相对误差最大为0.60%，最小为0.36%，都在允许误差范围之内。所以这两种方法是可行的。

表1 主缆无应力长度(主缆中心处) m

3 结语

本文根据悬索桥的受力特点，建立起了主缆施工计算的解析迭代法，推导了主缆的计算公式及如何进行解析迭代的具体方法，以此确定恒载状态下成桥线形、主缆水平力、竖向力、主缆无应力长度。分析了主、散索鞍半径对主缆长度的影响及相应的修正方法，并用具体实例进行计算，最终得出结果是可行的。

[1] 沈锐利.悬索桥主缆系统设计及架设计算方法研究[J].土木工程学报，1996，29(2):3-9.

[2] Pugsley A.The theory of suspension bridges，Edward Arnold LTD，London，1957.

[3] 黄平明，梅葵花.大跨度悬索桥主缆系统施工控制计算[J].西安公路交通大学学报，2000，20(4):19-22.

[4] 张 哲.混凝土自锚式悬索桥[M].北京:人民交通出版社，2005:118-122.

[5] 何 为.大跨径悬索桥施工监控中若干问题的研究[D].杭州:浙江大学博士论文，2006.