套代数上的2-局部φ-导子＊

吴瑞华,吕 川

(中国石油大学数学与计算科学学院,山东东营257061)

套代数上的2-局部φ-导子＊

吴瑞华,吕 川

(中国石油大学数学与计算科学学院,山东东营257061)

从代数的结构和映射的特征出发,研究了套代数上的2-局部φ-导子,证明了套代数上的2-局部φ-导子都是φ-导子.

2-局部φ-导子;φ-导子;套代数

引言

首先给出几个定义,设A是一个代数,φ是A上的一个自同构,η是A上的一个线性映射.如果对任意的a∈A有η(a2)=η(a)a+φ(a)η(a),则称η是一个Jordanφ-导子;如果对任意的a,b∈A有η(ab)= η(a)b+φ(a)η(b),则称η是一个φ-导子;如果对任意的a∈A,都存在A上的一个φ-导子ηa(依赖于a)使得η(a)=ηa(a),则称η是一个局部φ-导子;如果对任意的a,b∈A都存在A上的一个φ-导子ηa,b(依赖于a,b)使得η(a)=ηa,b(a);η(b)ηa,b则称η是一个2-局部φ-导子.Kadision[1]首次研究了算子代数的局部映射问题,局部导子和2-局部导子的概念是由Kadision[1]、Larson Sourour[2]和Semrl[3]引入的,在此研究一类更一般的映射2-局部φ-导子.由于局部映射不仅对算子代数的上同调群起着十分重要的作用,而且为人们设计满足不同需要和具有特殊性质的映射从而解决相关问题提供了一种可能,因此它已成为算子理论和算子代数的重要研究课题之一,吸引了一大批数学家投身其中,并出现了丰富的相关研究成果[1,2,4～6].在过去的几十年里,φ-导子已在纯代数中进行了广泛的研究[7～11]并应用于相关领域[12].本文研究一类更一般的映射2-局部φ-导子.导子成立的某些结论2-局部φ-导子是否也成立?在此主要研究套代数上的2-局部φ-导子何时成为φ-导子.

设H是可分Hilbert空间,B(H)表示H上的全体有界线性算子,B(H)上的套N是指B(H)中的一个全序投影族,它包含0和I且在强算子拓扑下是闭的.对N中的每一个投影P,记P+=inf(Q∈N◇Q>P}和P-=sup{Q∈N◇Q

1 预备知识

以下总假设φ是τ(N)上的自同构,θ是τ(N)上的2-局部-φ-导子.

引理1 (a)如果A,B∈τ(N)使得AB=0,那么θ(A)B+φ(A)θ(B)=0.

(b)对任意的A,X,B∈τ(N)有:

证明 (a)对任意的A,B∈τ(N)且AB=0,由δ的定义知,存在一个依赖于A,B的φ-导子θA,B满足θ(A)=θA,B(A),θ(B)=θA,B(B).因此就有

(b)设A∈τ(N),由θ的性质,存在一个依赖于A,A2的φ-导子θA,A2满足θ(A)=θA,A2(A),θ(B)=θA,A2(B).所以有

在上式中用A+X替代A可得

再在上式中用AX+XA替代X则得

将上式中的A替换为A+B,则对任意的A,X,B∈τ(N)即可证得

证毕.

引理2 如果P是N中的投影,那么对任意的X∈B(H)有

证明 对任意的P∈N,X∈B(H),由引理1得

另一方面

这说明有φ(P)θ(PXP⊥)=φ(P)θ(PXP⊥)P⊥+φ(PXP⊥)θ(P⊥).

因此得θ(PXP⊥)=φ(P)θ(PXP⊥)P⊥+θ(P)PXP⊥+φ(PXP⊥)θ(P⊥).证毕.

引理3 对任意的A∈τ(N)和P∈N都有

证明 由引理1(b)得

所以φ(P)θ(PAP⊥)P⊥=θ(P)θ(P)AP⊥+φ(P)θ(A)P⊥+φ(PA)θ(P⊥)P⊥,由引理2有

由式(1),(2),(3)得θ(PA)=θ(PAP)+θ(PAP⊥)=θ(P)A+φ(P)θ(A)和

θ(AP⊥)=θ(PAP⊥)+θ(P⊥AP⊥)=θ(A)P⊥+φ(A)θ(P⊥).证毕.

在引理3中令A=I可得以下推论:

引理4 如果P是N中的投影,那么对任意的A∈τ(N),X∈B(H),有

证明 设P∈N任意的A∈τ(N),X∈B(H),T∈B(H),引理1～3说明

同理可证(b)式也成立.证毕.

2 主要结果

下面的定理1是本文的主要结果

定理1 设N是B(H)中的任意一个套,φ是τ(N)上的自同构,θ是τ(N)上的一个2-局部φ-导子(没有连续性的假设).则对任意的Α,Β∈τ(N)有

此定理说明了套代数上的任意2-局部φ-导子都是φ-导子.

证明 设A,B∈τ(N),P为N中的一个固定非平凡投影.对任意的X∈B(H)由引理4(a)得

另一方面,再由引理4(a)得

据式(4),(5)对任意的X∈B(H)有

因此,

同理由引理4(b),得

由引理3,任意T∈τ(N)有

从而由式(8)和引理1,3有

由式(6),(7),(9),对任意的A,B∈τ(N),就有θ(AB)=θ(A)B+φ(A)θ(B).也就是说明θ是一个φ-导子.证毕.

参考文献:

[1]Kadision R V.Local derivation[J].Algebra,1990,130:494-509.

[2]Larson D R,SourourA R.Local derivations and local automorphis ms of[J].Proceedings Symposia in PureMathematics,1990, 51:187-194.

[3]Semrl P.Local automophis ms and derivations on[J].Proc Amer.Math.Soc.,1997,125:2677-2680.

[4]BresarM,Semrl P.Mappingswhich preserve idempotents,local automorphis ms,and local derivation[J].Canad Math,1993, 45:483-496.

[5]Crist R L.Local derivation on operator algebras[J].Funct.Anal,1996,135:76-92.

[6]Larson D R.Reflexivity,algebra reflexivity,and linear interpolation[J].Amer.Math,1988,110:283-229.

[7]BresarM,VillenaA R.The noncommutative Singer-Wermer conjecture andφ-derivations[J].LondonMath.Soc,2002,66: 710-720.

[8]Bergen J.Skew derivationswhose invariants satisfy a polynomial identity[J].Algebra,2000,228:710-737.

[9]Chuang C L.Identitieswith skew derivations[J].Algebra,2000,224:292-335.

[10]Chuang C L,Lee T K.Algebraic-skew derivations[J].Algebra,2004,282:1-22.

[11]Chuang C L,Lee T K.Identitieswith a single skew derivation[J].Algebra,2005,288:59-77.

[12]BresarM,Fosner A,FosnerM.A Kleinecke-Shirokov type condition with Jordan automorphisms[J].Studia Math,2001, 147:237-242.

2-Local Skew-Derivation of Nest Algebras WU Rui-hua,LÜChuan

(School ofMathematics and Computational Science,China University of Petroleum,Dongying Shandong 257061,China)

A study on the 2-localφ-derivation of nest algebras is made by using the characteristics of the concepts and mappings of algebras.It is proved that every 2-localφ-derivation of nest algebras is aφ-derivation.

2-localφ-derivation;φ-derivation;nest algebra

book=5,ebook=383

O 177.1

A

1673-2103(2010)05-0005-04

2010-07-18

中国石油大学自主创新科研计划项目(09CX04065A)

吴瑞华(1981-),女,山东临沂人,讲师,硕士,研究方向:算子理论与算子代数.