几种积分方程的求解

刘俊先

（邢台学院 数学系，河北 邢台 054001）

几种积分方程的求解

刘俊先

（邢台学院 数学系，河北 邢台 054001）

依据高等数学知识体系间的关系及处理问题的特殊方法，通过实例分析了含有定积分、变限积分、曲线积分及曲面积分的函数方程的求解策略。

积分；方程；函数；解题策略

高等数学的研究对象主要是函数，研究的主要方法是微分法和积分法.求解含有不同积分形式的函数方程，往往是综合性较强的题目，有助于学生深化理解知识体系间的关系及处理问题的特殊方法.

1.方程含有定积分

分析 需明确∶定积分是常数;闭区间上连续函数可积.对等式两边取定积分算出即可.

2.方程含有变限积分

例 2 设可导函数f(x)＞0,且曲线 y= f(x)与直线y=0,x =1及x=t(t＞1)所围曲边梯形,绕x轴旋转所得立体体积是该曲边梯形面积的π t倍,求该曲线方程.

分析 由旋转体体积、平面图形面积得含变限积分方程,求导后化为微分方程求解.解 依题意知消去π后两边对t求导得

2f(t )f′(t )=2f(t )+tf′(t ),令 t=x,f(t)=f(x)=y,得微分方程整理得由通解公式得通解用代入得故曲线方程为

3.方程含有曲线积分

例 3[1]设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意t恒有求

分析 此题有关曲线积分与路径无关的充要条件、沿折线路径积分及对变限积分求导.

4.方程含有曲面积分

分析 由高斯公式、三重积分性质,化为微分方程求解.

解 由题设和高斯公式得

其中V为S围成的有界闭区域,当有向曲面S的法向量指向外侧时,取“+”号,当有向曲面S的法向量指向内侧时,取“－”号.由S的任意性知即按一阶线性微分方程通解公式,有由于必有即从而于是

[1] 刘三阳，张卓奎，陈慧婵. 各类考研数学全真试题与解答[M].西安：西安电子科技大学出版社，2001.

[2] 李永乐，李正元，袁荫棠. 考研数学历年试题解析[M]. 北京：国家行政学院出版社，2009.

Several Kind of Integral Equation Solution

Rests on the higher mathematics knowledge system the relations and the processing question special method, analyzed through the example included the definite integral, the variation range integral, the curvilinear integral and the surface integral functional equation solution strategy.

LIU Jun-xian

integral; equation; function; problem-solving strategies

O017

A

1008-7427（2010）05-0160-01

2010-02-03

作者系邢台学院数学系副教授。