基于李群李对称方法求解一类偏微分方程

张晓莉，赵小山

（天津职业技术师范大学 理学院，天津 300222）

基于李群李对称方法求解一类偏微分方程

张晓莉，赵小山

（天津职业技术师范大学 理学院，天津 300222）

基于李群李对称方法求解一类偏微分方程，得到方程的对称约化和精确解及幂级数解等.

李对称分析；幂级数；精确解；相似约化

自然科学领域中存在大量的线性与非线性问题，而其中许多问题最终可用偏微分方程来描述，因此如何求解偏微分方程一直是数学家和物理学家研究的重要课题，Bucklund法［1］、齐次平衡法［2］、Painleve展开法［3］、Jacobi椭圆函数展开法［4－5］、F展开法［6－7］、双曲正切函数展开法［8］、变换迭代法［9］都是比较成熟的求解方法.其中对称理论在数学、物理学、化学等领域起着十分重要的作用.文献［10］对齐次平衡法进行改进，提出了一个新的相似约化法，该方法等价于直接约化法［11］.本研究利用李群方法［12－13］求解一类偏微分方程，李群方法是研究偏微分方程的有力工具之一，应用李群可得到方程的不变群和约化方程.

考虑一类偏微分方程［14］

其中，λ＞0，μ，γ和r是常数.该偏微分方程具有充分大量的对称群，这类偏微分方程在金融数学及其他领域具有广泛应用.文献［15］得到了方程的李对称积分变换的精确解.本研究利用李对称分析，考虑γ＝

本研究所得的一些新的精确解，如幂函数解等是对文献［15］的补充.

1 李群李对称方法的思想

开集M上的向量场，则其第n阶延拓是定义于M（n）的向量场

第二步：利用Maple求出方程（2）的所有生成元（向量场），运用兼容性分别对生成元讨论方程（2）的相似约化和不变量，求出相应的约化方程.

第三步：利用其他方法对约化方程进行求解.这样便利用所求出的生成元得到了变系数偏微分方程的精确解.

2 偏微分方程的李对称分析

3 对称约化和精确解

4 结论

采用李群李对称方法求出了一类偏微分方程的对称，得到了方程的相似约化，并求出了方程的一些新的精确解.

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［17］ Liu H Z，Li J B，Liu L.Lie group classifications and exact solutions for two variable－coefficient equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，215：2927－2935.

Solving a kind of partial differential equations by Lie group Lie symmetry

ZHANG Xiaoli，ZHAO Xiaoshan

（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

A kind of nonlinear partial differential equations is solved by the Lie symmetry analysis and group classifications.As a result the symmetry reduction and some new exact solutions have been obtained，including the power series solution and so on.

Lie symmetry analysis；power series method；exact solution；similarityreductions

O175.2

A

1671－1114（2011）04－0020－03

2010－11－09

天津市自然科学基金资助项目（08JCYBJC12100）

张晓莉（1983—），女，硕士研究生.

赵小山（1968—），男，副教授，博士，主要从事非线性动力系统稳定性分析及应用统计方面的研究.

（责任编校 马新光）