路径积分法在一类随机动力系统中的应用

沈焰焰

(福建交通职业技术学院,福建福州 350007)

0 引 言

目前,考虑到非线性动力学系统有可能具有复杂的确定性响应及随机响应,Yim等[1]及Naess等[2,5-7]利用随机响应的概率密度分析混沌响应,即通过在具有确定性激励的系统中引入随机扰动,则确定性系统中的混沌吸引子的存在性可有效地利用随机响应在相空间的概率密度的演化来描述.本文主要利用路径积分法[2,5-7]研究一类非线性动力系统的混沌响应,计算了lévy噪声激励的混沌系统的瞬时概率密度、边缘概论密度及平均概率密度[2].并讨论了lévy噪声对确定性系统混沌运动的影响.研究表明,在噪声强度一定的情况下,随机系统的概率密度的演化可以用来刻画该混沌吸引算子的结构特征.

1 路径积分法

在文献[7]中,作者借助路径积分法来寻求“非线性”FPK方程的形式解,并首先提出求解较高维FPK方程的路径积分数值方法.这里“非线性”指的是FPK方程漂移向量和扩散向量对系统状态变量的非线性依赖关系.之所以对形式解感兴趣,是因为路径积分能给出绕确定性路径的近似解的适当初值点.最关键的一点是,路径积分形式解可以在非平衡热力学领域中延拓热力学平衡概念,如热力学势能等.

路径积分法的基本思想是,在空间和时间上分别离散化,以路径和代替积分,即通过连接短时的转移概率密度形成全局的转移概率密度,得到状态向量的联合概率密度函数.路径积分法最优越的特性在于可得到非负的、较准确的尾部概率密度.此外,路径积分法还可以计算系统的非平稳瞬态概率密度以及首次穿越等问题[3,4].

定义路径积分的最简便方法是把连续过程离散化在空间和时间限定的充分小的网格点上.然而,一个连续过程的离散化并不唯一.因此,对于不同的离散规则,就产生了许多不同的路径积分方法.为建立协变路径积分,就需要选择特定的离散化规则,这使得很多研究者致力于在不给出特定的离散化规则的情况下,提出各种推导协变路径积分的方法.

2 考虑lévy噪声对混沌运动的影响

本文尝试着将高斯白噪声改成lévy噪声,采用的lévy过程是α-stable lévy过程[4].考虑如下的动力系统,

其中:γ,ζ,β都是正的;Lt是α-stable lévy噪声,其强度为ζ.f0,α分别表示周期项系统的强度和频率,当ζ=0时,方程(1)为确定性系统,

对于确定性系统,当参数取,

时可以得到确定性系统的时间历程图(图1(a))、相轨图(图1(b))及Poincaré截面图(图1(c)).

本文中所用的Poincaré映射[3,4]均定义为,

对于方程(2)所示确定性系统,可直接数值求解,并得出其Poincaré截面图.在lévy噪声情况下,当参数取值为式(3)及ζ=0.0005时,可得到相应的时间历程图(图2(a)),相轨图(图2(b)),Poincaré截面图(图2(c)).

对比图1(a)和图2(a),我们可发现动力系统(1)的确定性系统的时间历程图和随机激励下系统的时间历程图是相似的,均呈现出无规则性.对比图1(b)和图2(b),可见确定性系统的相轨程图和随机激励下系统的相轨图也是相似的,但进一步观察可以发现,确定性系统在随机激励的作用下,相轨图稍微向外扩散,而且相对高斯噪声的情况,扩散得更厉害.同样对比图1(c)和图2(c)可以发现它们也是很相似的,确定性系统在随机激励的作用下, Poincaré截面图有稍微向外扩散,但是相对高斯噪声的情况,扩散得更厉害.基于上述的对比,可以认为:在一定强度的随机激励下,可以利用路径积分的方法来确定非线性混沌系统.

下面利用路径积分方法求解系统(1)在参数为,γ=0.3,β=1,δ=1,f0=0.6,α=1.2及ζ= 0.0005时,的瞬时概率密度函数、边缘概率密度函等,结果如图3～图5所示.

在参数为,γ=0.3,β=1,δ=1,f0=0.6,α= 1.2及ζ=0.0005时,图3所示系统(1)的联合瞬时概率密度,图4表示系统(1)的y1,t边缘概率密度分析,图5表示系统(1)的 y2,t边缘概率密度分布.

图5 系统的 y2,t边缘概率密度

与高斯白噪声的情况一样,在求得瞬时随机系统的性质后,可进一步用随机系统的概率密度形状来表征相应的确定性系统的混沌吸引子的结构.考虑系统(1)在参数,γ=2,β=1,ω20=1,f0=0.3, α=1及ζ=0.0005时,应用,

可表征出关于时间平均的联合概率分布(见图6).

图6 系统的联合概率分布

3 结 论

本文尝试把高斯白噪声改成lévy噪声,讨论了受lévy噪声激励的动力系统混沌运动在参数为,γ =0.3,β=1,δ=1,f0=0.6,α=1.2及ζ=0.0005时,与确定性系统混沌运动的时间历程图、相轨图及Poincaré截面图的关系.结论表明,它们有着相似性.因此,我们可以用概率密度来解释混沌吸引子的存在性,即借助随机系统的概率密度在一定程度上刻画了确定性系统的混沌吸引子.同时,我们也发现,由于lévy噪声激励对随机噪声的要求更严格,即lévy噪声与高斯白噪声相比,其噪声强度要求相对更小,否则会使得确定性系统得到严重的破坏.

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