基于ARMA－APARCH－SGED模型的原油价格风险度量研究

杨爱军，肖振宇

（南京审计学院 金融学院，江苏 南京 211815）

基于ARMA－APARCH－SGED模型的原油价格风险度量研究

杨爱军，肖振宇

（南京审计学院 金融学院，江苏 南京 211815）

从原油现货市场收益率的特征分析着手，为了更好地描述原油现货市场收益率的尖峰厚尾、偏态和波动集聚等特性，利用APARCH模型来刻画收益率的波动性，同时利用Skew GED（SGED）分布来描述收益率的概率分布特征；进而运用ARMA－APARCH－SGED模型对原油现货市场收益率的VaR进行估计和分析，并与基于Skew－t和GED分布的ARMA－APARCH模型进行比较。通过返回检验，结果表明，ARMA－APARCH－SGED模型能更加准确地度量原油现货市场的风险价值。

Skew GED；APARCH；返回检验

一、引 言

自2008年美国次贷金融危机以来，国际油价波动频繁，并不断走高，目前油价已经突破100美元／桶。油价的持续走高，给社会、经济和交通等带来了深刻的影响，也给全球经济复苏带来了很大冲击。由于产油国的政策和形势、国际投机等因素，原油市场价格的波动给那些原油消费者以及原油生产者带来了收益上的不确定性，因此进行有效的原油市场价格风险管理成为研究的热点。目前一种重要的风险管理方法是计算资产的在险价值，简称VaR。目前用于VaR计算的风险估测模型很多，并且不断得到更新，但究竟何者才是金融市场风险度量的最佳模型，目前尚无定论。传统方法普遍存在的缺点是过分依赖收益率分布的正态性假设。

国内外大量研究表明，收益率序列通常具有波动的集聚性、杠杆效应、尖峰厚尾及偏态性，即不符合正态分布和无条件方差假设。GARCH模型是反映市场时变特征最常用的波动率模型，它能有效地捕捉资产收益率波动的聚类和异方差现象。自从Engle提出ARCH模型以来，国内外研究者先后对自回归条件异方差模型进行了许多扩展［1］。为了解决金融时间序列数据波动存在的杠杆效应，Ding等提出了一个不对称的GARCH模型，即APARCH模 型 （the Asymmetric Power ARCH）［2］。 运 用APARCH模型计算风险价值，虽然克服了异方差性、杠杆效应，却忽视了金融时间序列数据的尖峰厚尾和偏态性，也就是资产收益率序列的概率分布的假定。在国外，Giot和Laurent运用Risk Metrics，Skew－tAPARCH和Skew－tARCH等方法，研究了世界两大原油现货市场WTI和Brent的现货日价格风险［3］；Costello发展了Cabedo和 Moya对原油价格风险的VaR的估计方法，证明了基于非正态分布的半参数GARCH模型更优［4－5］。

在国内，潘慧峰等运用GARCH－GED模型来计算中国油价极端下跌和极端上涨时的VaR，并说明石油生产者可以将部分下跌风险转嫁给石油需求者，但是石油需求者缺少有效的措施来规避油价上涨的风险［6］；张跃军等利用基于 GED分布的GRARCH（1，1），GARCH－M（1，1），TGARCH（1，1）模型来研究大庆原油价格日平均交易数据，描述了中国原油价格的波动特征［7］。但是以上这些模型也只能描述原油价格收益率序列特征——尖峰厚尾和偏态性中的某一方面。近些年，徐炜等运用不同形式的偏态t等分布研究了中国上证指数和沪深300指数的风险度量问题［8－11］。在金融风险管理领域，VaR值预测的准确性关键在于模型的选取以及对资产概率分布所做的假定，选取能真实反映金融资产波动的模型以及准确刻画资产收益率特征的概率分布，这无疑为中国风险管理领域的管理者提供了一个更加完善的技术解决方案。鉴于此，本文也将尝试进一步改进VaR的估计技术。本文引入一种新的分布——Skew GED（SGED）分布来扩展GARCH类模型，这种分布可以更加灵活地描述金融收益率序列的概率分布，而且在参数取不同值时，SGED分布等价于一些常用的分布。本文首次利用ARMA－APARCH－SGED模型来刻画原油价格收益率序列的集聚性、杠杆效应、尖峰厚尾及偏态性。

基于以上认识，本文从以下几个方面扩展了以前的研究：首先，本文首次利用SGED模型全面综合刻画原油价格收益率的有偏和尖峰厚尾特征；同时，在不同的参数取值下，将正态分布、有偏的正态分布以及对称的GED分布这三种在各类波动率模型估计中常用的条件分布统一纳入了SGED分布这一理论分析框架，能够更加灵活地描述原油收益序列的尖峰厚尾和偏态性；其次，建立了ARMAAPARCH－SGED模型，并将其应用于原油收益率序列的VaR的计算中，研究结果表明，ARMAAPARCH－SGED模型能够更好地解决VaR准确测量的问题。

二、VaR的计算与检验

（一）VaR的计算

VaR（在险价值）是指在某一给定的置信水平下，资产在未来特定的一段时间内可能遭受的最大损失。其意义在于，它不仅可以作为金融机构评估和管理风险的工具，还可用作金融监管部门评估市场风险的手段。本文采用原油市场收益率右尾分位数来度量油价上涨时的VaR。根据以上定义，VaR就是对应于置信水平α收益率分布上分位数，经济意义是由于原油价格大幅上涨给原油需求者所带来的额外支出。假定以资产未来价值的期望为参照，则原油需求者的VaR为：

其中p0为资产的最初价值，σ为方差，zα为上分位数，T为资产的持有期。据此公式就可以计算出资产未来一段时间内的VaR值。

VaR最基本的计算方法是假定资产收益率服从无条件正态分布，但是收益率通常具有波动的集聚性、杠杆效应、尖峰厚尾及偏态性，这样使得传统的VaR计算结果过于粗糙。目前GARCH类模型被广泛应用于VaR的计算中。值得注意的是，使用GARCH类模型方法必须满足两个方面条件：首先，金融收益率序列不服从正态分布，且具有尖峰厚尾、偏态等特征；其次，收益率序列波动性具有聚类性、时变性，即收益率序列的误差项存在异方差性。

（二）VaR的检验

VaR模型的返回检验即VaR模型的准确性检验。VaR的检验方法有很多种，一个通行的方法是Kupiec提出的失败频率检验法［12］。假定计算的置信度为α，失败的期望概率为p＊＝1－α，实际考察天数为T，失败天数为N，则失败频率为p＝N／T。零假设为p＝p＊。这样，对VaR模型准确性的评估就转化为检验失败频率p是否显著不同于p＊。Kupiec提出了对零假设最合适的检验是似然比率检验，检验统计量为：

检验统计量在零假设条件下，LR服从χ21分布。

三、ARMA－APARCH－SGED模型

Engle首先提出了条件异方差 ARCH（p）模型［1］：

Bollerslev扩展了ARCH模型，提出广义自回归条件异方差 GARCH（p，q）模型［13］：

其中rt为收益率序列；et为残差；σ2t为条件方差；zt为独立同分布的随机变量，zt与σt相互独立；u为收益的无条件期望值；α0＞0；αj为滞后期参数，αj≥0，j＝1，…，p，βj为方差的参数，βj≥0，j＝1，…，q。然而，GARCH模型未能充分捕获高频金融时间序列的尖峰厚尾性。另外，由于油价的波动通常存在显著的杠杆效应，即油价上涨和下跌导致的收益率波动程度不对称，为此，Ding等提出了一个不对称的GARCH模型来刻画这种效应，即APARCH模型（the Asymmetric Power ARCH），APARCH（p，q）模型表达如下［2］：

其中δ≥0，－1＜γi＜1，APARCH模型具有一般GARCH模型的特点，但多了两个参数，其中一个参数γi是用来捕捉股市中所存在的杠杆效应。在APARCH模型中，包括7种扩展模型，分别是：

当δ＝1为Zakoian的TARCH模型［14］；当δ＝2，为Glosten等的 GJR模型［15］；当δ→0，为Log－ARCH模型；当δ＝1，γi＝0，为 Taylor和Schwert的GARCH 模型［16］156－213；当δ＝2，γi＝0，为Bollerslev的GARCH 模型［13］；当δ＝2，γi＝0，βi＝0，为Engle 的 ARCH 模 型［1］；当γi＝0，βi＝0，为NARCH模型。

大量的金融实证研究表明，金融市场的时间序列具有尖峰厚尾、有偏的特征。为了更好解决尖峰后尾问题，许多学者使用了t分布和GED分布，都增强了模型对金融数据的刻画能力。但是这三种分布属于对称分布，依然不能有效刻画数据的有偏特征；同时，由于偏度和峰度并不是完全独立，因此，对于原油价格序列的分析客观上要求采用可以刻画尖峰厚尾、有偏特征的分布进行分析。

为了刻画这种非对称性，国外提出了一些前沿的分布来解决这样的问题。Fernandez和Steel提出了将任意一个单峰、对称分布转变成偏态分布的一般方法［17］。SGED分布作为GED分布的扩展，它是在GED分布基础上加入一个偏态参数λ得到的。其定义如下：

当“偏度指标”λ＝1时，其表示的是一种对称的分布函数形式；当λ＜1时，表示该分布是左偏的；同理，当λ＞1时，表示分布为右偏。参数v控制收益分布尾部“胖瘦”程度。在λ＝1条件下，当v＜2时，尾部比正态更厚；当v＝2时，SGED分布退化为正态分布；当v＞2时，尾部比正态更薄。当然，现有文献中也有一些其他有偏分布的相关论述，例如，Skew normal和Skewt分布，SGED能综合刻画实际金融收益率的“有偏”和“胖尾”特征，且包含一些其他分布为特例（见表1）；其概率密度函数具有清晰的解析表达式，可以方便地计算该分布的各种分位数水平以及累积概念密度函数值。因此，本文将重点讨论ARMA－APARCH－SGED模型在原油现货市场的风险测度中的运用。

表1 SGED的参数取值及其特例

四、实证分析

根据上述理论，本文选择了基于SGED下的ARMA－APARCH模型（表示ARMA－APARCH－SGED），同时以基于GED分布下的ARMAAPARCH模型（表示为ARMA－APARCHGED）和基于Skewt分布下的ARMA－APARCH（表示为ARMA－APARCH－Skewt）为比较对象来进行系统研究。

（一）数据及描述性统计

本文主要对Brent和WTI这两大原油市场进行原油价格风险的实证研究，Brent和WTI市场是在目前世界原油交易市场的影响最大也最为广泛。本文所采用的数据来源于美国国家能源情报网（http：／／www.eia.gov／dnav／pet／pet＿pri＿spt＿s1＿d.htm）。样本期为Brent和WTI两大原油市场2010年1月4日至2010年12月7日的原油价格的日数据。剔除非交易日，这样Brent原油市场共有2 786个数据，WTI原油市场共有2 741个数据。这里采用一阶对数差分来表示原油价格的收益率，即：Y t＝ln（Pt）－ln（Pt－1），P t表示t时刻Brent和 WTI市场原油出售价格的观测值。本文所有计算在R软件上完成。

根据前面的介绍，如果使用VaR方法计算原油价格收益率的风险价值，这里首先需要对样本进行统计检验。由图1和图2可以看出，Brent和WTI原油价格收益率的走势图和QQ图大致相似。由走势图可以看出，收益率的波动都比较平稳，没有大幅度的波动。但收益率异常值出现的频率比较高，并集中在一个特定的时期出现，这种现象显示出了一种波动的聚类现象，即收益率序列随着时间的变化而变化；同时，表现出一段时间内的连续偏高或偏低，因此Brent和WTI原油价格收益率存在条件异方差性。

而由QQ图可知，收益率具有厚尾现象，结合收益率的初步统计分析结果（表2），可以进一步得出，Brent和WTI原油价格收益率的偏度小于0，峰度大于3，也就是说收益率具有尖峰和偏态特征。对Brent和WTI原油价格收益率序列做J－B检验，J－B统计量对应的P值均为0，因而正态性假设被拒绝，即样本实际分布与正态分布有显著差异。

另外，单位根检验结果表明Brent和WTI原油价格收益率序列都具有显著的稳定性。其次，通过对Brent和WTI原油价格收益率的自相关图（图3）分析可知，收益率序列具有一定自相关性。在建立ARMA－APARCH类模型之前，用AIC信息准则，经过反复试算，判断滞后阶数（p，q）为（1，1）比较合适，所以选择 ARMA（4，4）－APARCH（1，1），ARMA（5，4）－APARCH（1，1）类模型来分别对Brent和WTI原油价格收益率进行建模。

图1 Brent原油价格收益率的走势图和QQ图

表2 Brent和WTI原油价格收益率的基本统计表

（二）参数估计

从表3参数估计的结果可以看出，所有参数都在5%的水平下显著。三个模型的α参数估计为正，说明Brent和WTI原油价格收益率的波动呈现集群性现象，即过去的波动扰动对市场未来波动有着正向而减缓的影响，较大幅度的波动后面一般紧接着较大幅度的波动；同时也可以看出，α＋β的值都接近1，该过程为“方差共积”（Integrated－in－variance），此时表明当前信息对所有时期条件方差的预测都很重要；收益杠杆因子γ为正，说明Brent和WTI原油价格收益率的条件方差对条件收益具有正面的影响，表明风险和收益是正相关的。从表3中可以进一步看出，在GED分布中，v分别为1.456 1和1.459 0，均小于2，说明分布的尾部厚度大于正态分布；在Skewt分布中，自由度估计值分别为8.061 8和8.271 1，而不是趋向无穷，也说明分布的尾部比正态分布的尾部厚，“偏度指标”λ＜1，表明分布为左偏；在SGED分布中；进一步证实分布（λ＝0.912 6），v＝1.454 5＜2，也证实了分布的尾部厚度比正态分布的大。从AIC准则可以看出，ARMA－APARCH－SGED对Brent和WTI原油价格收益率的拟合效果最好。

图3 Brent和WTI原油价格收益率的自相关图

表3 ARMA－APARCH类模型的参数估计表

（三）VaR的计算与检验

以上是通过建立ARMA－APARCH族模型来计算Brent和WTI原油价格收益率的拟合情况。然而，所构建的VaR模型是否有效，还有待于采用回测技术来检验VaR模型的准确性。根据以上思路，表4给出了三种模型下Kupiec的VaR返回测试结果。分析表4失败率p可以看出，ARMAAPARCH－Skewt模型容易造成对风险的高估，ARMA－APARCH－GED模型的拟合效果比较好，但是基于SGED分布的ARMA－APARCH模型的失败率更接近于显著性水平（1－α）；相应的从LRcc值可知，在95%的置信度下，对Brent和 WTI原油价格收益率而言，ARMA－APARCH－Skewt均被拒绝，在99%的置信度下，所有模型都通过检验，也可以看出，ARMA－APARCH－SGED模型的测试效果是最好的。由此可见，相对于GED分布而言，SGED分布可以更好地描述Brent和WTI原油价格收益率的尖峰厚尾及偏态性。

表4 三种模型下Kupiec的VaR返回测试结果表

五、总 结

本文从Brent和WTI原油价格收益率的波动性与概率分布出发，建立了新的ARMAAPARCH－SGED模型来度量和估计原油市场的价格风险。与之前学者所建立的ARMAAPARCH类模型不同的是，此前计算VaR所采用的概率分布只能描述原油价格收益率序列特征（尖峰厚尾性和偏态性）中的某些方面，而本文所引入的SGED分布能够全面地刻画收益率序列的尖峰厚尾性和偏态性。研究结果表明，运用ARMAAPARCH－SGED模型能很好地刻画Brent和WTI原油价格收益率的尖峰厚尾性、偏态性和杠杆效应；同时，通过VaR的返回检验可以进一步看出，ARMA－APARCH－SGED模型能够提高VaR的估计精度。

［1］ Engle R F.Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation［J］.Econometrica，1982，50（4）.

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［3］ Giot P，Laurent S.Market Risk in Commodity Markets：A VaR Approach［J］.Energy Economics，2003，25（5）.

［4］ Costello A，Asem E，Gardner E.Comparison of Historically Simulated VaR：Evidence from Oil Prices［J］.Energy Economics，2008，30（5）.

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［6］ 潘慧峰，张金水.用 VaR度量石油市场的极端风险［J］.运筹与管理，2006，15（5）.

［7］ 张跃军，范英，魏一鸣.基于GED－GARCH模型的中国原油价格波动特征研究［J］.数理统计与管理，2007，26（3）.

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［9］ 魏宇，高隆昌.基于有偏胖尾分布的随机波动模型估计及其检验［J］.系统管理学报，2008，17（3）.

［10］苏涛，詹原瑞.证券组合SKST－APARCH模型和VaR估计分析［J］.系统工程学报，2005，20（6）.

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［12］Kupiec P.Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Models［J］.Journal of Derivatives，1995，3（2）.

［13］Bollerslev T.Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity［J］.Journal of Econometrics，1986，31（3）.

［14］Zakoian J.Threshold Heteroskedastic Models［J］.Journal of Economic Dynamics and Control，1994，18（5）.

［15］Glosten L，Jagannathan R，Runkle D.On the Relation between the Expected Value and the Volatility o the Nominal Excess Returns on Stocks［J］.Journal of Finance，1993，48（5）.

［16］Taylor S J.Modelling Financial Time Series［M］.Chichester：Wiley，1986.

［17］Fernandez C，Steel M.On Bayesian Modelling of Fat Tails and Skewness［J］.Journal of the American Statistical Association，1998，93（441）.

ARMA－APARCH－SGED Model with Application in Risk Measurement of Crude Oil Price

YANG Ai-jun，XIAO Zhen-yu

（School of Finance，Nanjing Audit University，Nanjing 211815，China）

Based on the characteristics of the returns of crude oil price，and in order to accurately describe the characteristics of fat－tails，leptokurtosis，skewness and volatility，this paper uses APARCH model to model the volatility and uses skew GED to model the probability distribution of the returns.Therefore，this paper proposes to use the ARMA－APARCH－SGED model to estimate and analyze the VaR of the returns of the crude oil price，and compares the result with the results obtained by other ARMA－APARCH model using skew－t and GED distributions.Based on the back testing，the results show that the ARMA－APARCH－SGED model can more accurately estimate the VaR.

skewed GED；APARCH；back testing

（责任编辑：崔国平）

F224.0

A

1007－3116（2011）08－0035－07

2011－03－23

国家自然科学基金项目《基于代理人自我价值负载的行为公司治理研究》（71002109）；国家自然科学基金项目《金融随机波动模型的贝叶斯单位根检验方法研究》（70901077）；教育部人文社会科学青年基金项目《金融随机波动模型的贝叶斯模型选择方法研究及其应用》（09YJC790266）；江苏省高校哲学社会科学重点研究基地“金融风险研究中心”资助；南京审计学院人才引进项目基金（NSRC10014）

杨爱军，男，江苏盐城人，讲师，金融统计学博士，研究方向：股票溢价可预测性、投资组合优化、金融风险管理；

肖振宇，男，湖南株洲人，讲师，管理学博士，研究方向：金融风险管理。

【统计应用研究】