巧用圆讨论力的合成和分解问题

程柱建

(如皋中学 江苏 如皋 226500)

力的合成与分解遵循平行四边形定则或三角形定则，有时巧用圆可以有效地讨论有关力的合成和分解的解数、极值、大小和方向等问题．

1 求解数

【例1】如图1，已知合力F和一个分力F1的方向以及另一个分力F2的大小(F2的大小可根据解题需要自取)，问F可以分解为几组分力？

分析：以合力F的箭头为圆心，以分力F2的大小为半径画圆.由于分力F1的方向确定，所以这个圆会与F1的作用线不相交、相切或相交三种情况，如图2．根据三角形定则，F1、F2的交点指向合力，箭头的有向线段表示分力F2．当F2F时有一组解；当Fsinθ

图1 图2

【例2】已知合力F和两个不平行分力F1、F2的大小.三力的大小的关系满足

|F1-F2|

问F可以分解为几组分力？

图3

分析:如图3，以F的始端、末端为圆心，分别以F1、F2的大小为半径画圆，两圆有两个交点，这时，F分解为F1、F2有两组解．由于两分力没有被限制在纸平面内，现以F为转动轴旋转，得到两分力的方向有无数组解．

2 找极值

【例3】 (1)已知合力F和一个分力F1的方向，求另一个分力F2的最小值．

(2)已知合力F的方向和一个分力F1，求另一个分力F2的最小值．

分析:(1)此题情境同例1中圆与F1相切的情况，这时两分力垂直，F2的最小值等于Fsinθ．

(2)如图4所示，以分力F1的箭头为圆心画与F作用线相切的圆，即F2与F垂直时F2最小，最小值为F1sinθ．

图4 图5

【例4】一个物体受到两个共点力F1、F2的作用，两个力间的夹角可以变化，其中F1=100 N，F2=200 N．当两个力的合力F与F2之间的夹角最大时，合力F为多大？

分析:如图5所示，以F2的箭头为圆心，F1的大小为半径画圆.根据三角形定则，连接F2始端、F1末端的有向线段表示合力F.旋转F1，改变F1和F2的夹角，动态地观察合力F与F2之间的夹角变化情况.当F与圆相切时，F与F2之间的夹角最大．此时

3 比大小

【例5】两个分力F1、F2的大小不变，当夹角从零增大到180°的过程中，求合力F大小的变化．

分析:如图6，保持F2不变，以F2的箭头为圆心，以F1的大小为半径画圆，随着两分力夹角的增大，能清楚地看到合力F大小的变化情况，即θ增大，F减小．

图6

【例6】若两个力F1、F2的夹角为α(90°<α<180°)，且α保持不变，则

A.一个力增大，合力一定增大

B.两个力都增大，合力一定增大

C.两个力都增大，合力可能减小

D.两个力都增大，合力的大小可能不变

分析:为了方便比较，以两力作用点O为圆心，以原合力F的大小为半径画圆，从图7(a)、(b)、(c)中可以看出：当F1增大到F1′，F2增大到F2′时，合力F的大小可能减小、不变或增大，同理可知一个力增大时合力的变化也存在以上三种可能．

选项C、D正确．

图7

4 看方向

【例7】橡皮条的一端固定在A点，另一端同时作用两个力，使橡皮条伸长到O位置，这时两个力F1、F2与OA夹角分别为α、β，如图8所示(F1与F2间的夹角为锐角)．现保持F2大小不变，β角减小一些，并仍保持橡皮条伸长到O位置．下列说法中可能发生的是

图8

A.α减小，F1增大 B.α不变，F1增大

C.α增大，F1增大 D.α增大，F1减小

分析： 根据三力的平衡条件，F1、F2的合力F沿OA延长线的方向，利用平行四边形定则可以画出F．三个力中，F2大小不变，合力F的大小、方向不变(因为要保持橡皮条伸长到O位置)．

如图9，以O点为圆心，以F2的大小为半径画圆，初始F2的箭头与圆交于B点，过B点作初始F1的平行线，与圆交于C点，C点是F1方向变化的临界点．当F2的箭头沿圆弧BC左移时，α角比初始值小；F2指向C点时，α角等于初始值；F2的箭头沿圆弧从C点左移时，α角比初始值大．连接F2箭头和F箭头的有向线段表示F1，可以看出在β角减小的过程中F1一直增大．

选项A、B、C正确．

图9

总之，在力大小不变，方向不确定时，利用圆与平行四边形定则或三角形定则，往往可以便捷地讨论力的合成与分解问题．本文对圆的使用技巧也可以迁移到其他矢量的合成与分解的应用中；如“小船过河”问题中，当v船