试论初中数学概念的有效性教学

●王建利 (店口镇第二初级中学 浙江诸暨 311835)

试论初中数学概念的有效性教学

●王建利 (店口镇第二初级中学 浙江诸暨 311835)

数学概念是人们对数学现象和过程的认识在一定阶段上的总结，是以精炼的思维形式反映数学对象的本质属性．面对数学概念高度的抽象性、逻辑性和严密性，只有让学生准确理解知识的形成发展过程，使他们在知识的迁移过程中正确地掌握数学概念．然而在日常教学活动中，“一个定义，三项注意”式的概念教学方式依然普遍存在．教师往往在快速抛出一个新概念后便通过大量的例子进行辨析，让学生在不断反复中指正定义．这种重结果、轻过程的教学方式常常导致课堂教学气氛沉闷，学生学习数学概念觉得枯燥乏味甚至一知半解．数学概念生来就那么枯燥吗?数学发展的历史告诉我们，每一个重要数学概念的形成和发展，都有着丰富的历程．

笔者认为，在概念教学中，教师首先要更新教学观念，以育人为出发点，从激发学生兴趣入手，培养学生的学习能力．教师要善于从学生的实际生活和己有的知识经验出发，通过创设问题情景，揭示概念提出的背景，演示其抽象、概括的过程．从学生的认知规律出发，精心设问，通过问题引导学生对概念的领悟．在教与学的过程中，通过问题引领，增加学生的参与机会，强化参与意识，提高参与质量，使学生由被动接受变为主动探索，在对知识的探究过程中加强学生对知识的理解，培养他们主动获取知识的能力．

1 从生活经验中形成概念

数学概念作为具有概括性、抽象性、精确性等特征的思维形式，在学习中，无论是概念形成的方式，还是概念同化的方式，都需要以学生头脑中已有的某些具体的、特殊的对象作依托，使之能借助经验事实，变得容易理解．

因此，在教学中应通过创设情境，唤起学生的兴趣．在现实问题情境中，通过亲身体验，在感性认识的基础上，借助分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，使学生逐步摆脱无意识、粗糙、肤浅的自发性概念，向科学概念发展，达到理性认识的飞跃．例如数轴概念的教学，课前可让学生动手做一把有刻度的直尺，课堂上让学生通过对各自制作的直尺加以比较，发现直尺的长短、宽窄以及材料等都无关紧要，最主要的是要把尺做得直(至少是有刻度的一边要做得直)，然后确定一个刻度为起点(零点)，接着按照确定的方向依次标上刻度，写上相应的数字．然后，教师在黑板上画出一把舍去了宽窄的“直尺”．在此基础上，教师又出示没有标上刻度的温度表(或盖住刻度)，问学生如何给它标上刻度．学生发现，同样要在同一直线上确定零点，按某一方向标上刻度，只是其刻度还需要向相反方向标．学生通过动手做、动脑想来认识数轴的本质特征，对原点的选定、方向和单位长度的确定赋予了丰富的生活意义，对数轴概念的理解、数形结合思想的认识也就比较深刻．又如:在讲解“线段的比”这一概念时，笔者安排了以下几个步骤:

(1)做一做．

在讲授“线段的比”这一节课的前一天布置任务:每人画一幅平面示意图:“我们的班级”或“我的小书房”．

(2)说一说．

在开始上课时，请部分学生在实物投影仪下展示自己画的示意图，说说自己是怎么画的．

笔者提出问题:怎样才能画得更好(概念的引出水到渠成)．

在这个例子中，概念的获得从课内延伸到了课外，使学生有机会经历和体验数学知识的产生、形成过程．每位学生在画图时，还没有学习“线段的比”这一内容，因此会遇到一些困难，例如怎样构图，如何刻画物体与物体之间的位置关系，如何用图形描述物体的大小等等，这些都具有一定的挑战性，使得该学习活动具有一定的思维容量，促使学生由生活经验产生联想．

2 从实践活动中理解概念

发挥实践活动在教学中的启智功能．通过实践活动创设问题情景，以问题解决为主线，引导学生动手操作、动眼观察、动脑思考、动口表达，促使学生多种感官并用，让学生建立清晰的表象，进行比较、分析、概括等一系列的思维活动，进而真正参与到知识形成和发展的全过程中来．

最近，笔者听了一位教师的“一次函数”第一节课后，对数学概念教学感触颇深．这节课是这样安排的:

(1)活动阶段．

教师给出一组函数引导学生去观察，找出它们的共性．例如:y=x+1，y= －x－1．

(2)探究阶段．

让学生提出这一组例子的共性假设，并依据这些假设检验每一个例子．

(3)对象阶段．

提出一个一般模式(由学生通过比较分析和概括归纳而得)y=kx+b(k≠0)，检验是否每一个实例均属于这一模式．

教师给出一次函数的定义，并对其进行解释，将这一函数表达式与学生已学过的正比例函数的概念联系起来，这不仅可以说明研究这个新函数的意义，而且还建立了函数概念的网络结构．

(4)运用新概念解决问题．

①举出正反例强化概念．

②举例，练习．

显然，这种概念的引入注重知识的形成方式，主要反映学生学习数学概念过程中真实的思维活动．其中，活动阶段是学生理解概念的一个必要条件，通过活动让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系;探究阶段是学生对活动进行思考，经历思维的内化、概括过程，在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质;对象阶段是通过前面的抽象认识到概念的本质，对其进行压缩并赋予形式化的定义及符号，使其精致化，成为一个思维中具体的对象，在以后的学习中以此为对象进行新的活动;运用新概念解决问题要经过长期的学习活动进一步完善，包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习建立起与其他概念、规则、图形等的联系，有利于训练学生的推理能力．

3 从新、旧知识的联系中领悟概念

问题是数学活动的心脏．将数学概念的形成过程、形式化的数学概念及一些相关的材料转化为富有生活意义的问题，形成问题情境，从而把学生带入问题中，在问题的探究中构建概念的心理表征．笔者在实践中发现数学概念的问题化通常有以下2种方式:

其一，把概念的生成过程问题化．一个概念是如何引进的，必要性和重要性何在．一个概念生成过程中的诸问题往往也是区分概念的本质特征与非本质特征的关键所在．因此，在教学中应尽可能把知识的发生过程转化为一系列带有探究性的问题．例如，在进行“圆”概念的教学中，一位教师在与学生的交互活动中，从“车轮是什么形状的”［3］这一问题出发，引出如下一系列问题:为什么车轮都做成圆形的呢?能不能做成方形或椭圆形之类的?为什么椭圆形轮子的车开起来会一高一低，而圆形车轮的车子开起来就不会一高一低呢?做一个最简单的车轮，要注意哪些问题?把圆概念的生成过程问题化，通过对这些问题的探讨，达到对圆的本质属性的理解．

其二，把形式化的材料转化为蕴藏概念本质特征、贴近学生生活、适合学生探究的问题．例如，在一元二次方程概念的教学课上，教师提出如下3个问题:

问题1剪一块面积为9 cm2的正方形纸片，应该怎样剪?

问题2剪一块面积为150 cm2的长方形纸片，使它的长比宽多5 cm，应该怎样剪?

问题3用一块正方形纸片，在4个角上截去4个相同的边长为2 cm的小正方形，然后把4边折起来，做成一个没有盖的长方形盒子．若盒子容积为32 cm2，则正方形纸板的边长应是多少?

通过学生动手操作，把学生引向探求方程的本质——求解．通过动手与动脑相结合，把数学拉到学生身边，使数学变得亲切，激起学生探求的欲望:问题1即:已知方程x2=9，求x;问题2即:已知方程x(x+5)=150，求x;问题3即:已知方程2(x－4)2=32，求 x．

4 从数学实例中巩固概念

概念通常包括4个方面:概念的名称、定义、例子和属性．概念的典型性范例在学生概念的形成、理解和记忆中起着极为重要的作用．认知心理学家罗斯甚至认为:记忆中的种种概念是以这些概念的具体例子来表示的，而不是以某些抽象的规则或一些相关特征来表示的．数学概念的概括性、抽象性需要概念的典型性范例作支撑，才易被学生所理解．例如，在学习“平面直角坐标系”时，可设计如下变式题组:

图1

又如学完四边形之后，将四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形这些四边形通过图表的形式给以归纳整理出来，通过形成一个清晰的体系(如图1，图2)便于学生理解和掌握．

由于数学概念的种类繁多、关系复杂，其本质属性各有千秋，因此形成了较多的定义方式．可以说，对于不同定义方式揭示其本质属性的数学概念，其教学的程序也不一样．以上只是笔者感受到的一些比较实用的教学方法，并不一定放之四海而皆准．因此，在教学实践中，应不断加强教学研究、学术交流，不断提高数学概念的教学质量，从而提高数学素质教育的质量，也为学生进一步学习数学知识打下扎实的基础．

综合以上思考，笔者认为，初中数学概念教学应以数学知识为载体，结合教学大纲和计划，按照启发、吸收、消化和发展的认识规律进行总体策划，分阶段、有步骤地贯彻实施．同时，立足于教材的知识结构和教学设计，不断完善和丰富数学思想的理念和观点，在数学知识与数学思想方法之间建立有机的结合，形成完整的系统．只有切实关注数学概念的过程性生成，才能真正体现出数学教学的本质和内涵．

［1］ 张奠宙，王振辉．关于数学的学术形态和教育形态［J］．数学教育学报，2010(4):2．

［2］ 严运华．数学概念形成的问题情景创设［J］．教学与管理，2005(6):65．

［3］ 侯新顺．浅谈初中数学概念教学［J］．中学数学教学参考，2008(12):26．