小构造大作用

●朱达峰 (鄞州中学 浙江宁波 315101)

小构造大作用

●朱达峰 (鄞州中学 浙江宁波 315101)

美国数学家波利亚在拟定解题计划时，特别强调:“假如你找不出已知和未知的关系，就考虑辅助条件”．这里所指的辅助条件，就包括构造思想．

构造法是构造思想的重要体现，就是在直接求解某一问题有困难时，根据已知条件，设计出“搭桥”、“铺垫”性方案，从而使问题获解;或把原问题转化成新问题去解决．在高中数学中，许多问题的解决都需要通过这种“搭桥”、“铺垫”．下面举例说明，供参考．

1 构造函数

就是构造常见的函数，通过利用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质解决难以解决的数学问题．

2 构造向量

就是构造与题目相关的向量，利用向量模、夹角、向量不等式、向量的代数和几何上的特性等有关知识来解决问题．

3 构造图形

就是构造与题目相关的几何图形，这个几何图形可以是平面图形或空间图形，通过利用几何图形的几何特性(平行或垂直等)、图形中的长度或角度关系等来解决相关的问题．

解 如图2，设点 A，B在x轴上的射影分别为M，N，延长MA到点 A'，延长 NB到点B'，使得

AA'=MA，BB'=NB，从而

图2

4 构造整式

就是构造相应的整式，通过搭建整式这个“桥梁”，以达到简化、解决问题的目的．

5 构造方程

就是构造与题目相应的方程，把要解决的问题转化成求解方程，通过对方程的研究达到解决问题的目的．

例5在正四面体ABCD中，动点M在△ABC内，且点M到平面BCD的距离与到点A的距离相等，则动点M的轨迹是 ( )

A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分

C．抛物线的一部分 D．一条线段

解如图3所示，在平面ABC内建立直角坐标系．设动点M(x，y)，正△ABC的边长为 2a，则A(0，a)．过点M作平面BCD的垂线，垂足为N，再作 ME⊥BC，连结NE，则∠MEN即为二面角A-BC-D的平面角，且sin∠MEN=．由已知可得

图3

6 构造模型

就是构造与题目相关的熟悉的数学模型，通过对模型的研究来解决相应的数学问题．

运用构造法解题，是一种创造性的思维活动．它需要解题者根据所研究问题的结构特征，运用类比、联想等方法，灵活地将问题迁移到新问题中去，因此思维要求比较高．经常有意识地进行这方面的训练，能增强学生的解题能力，同时还可以强化应用思想与方法去解决数学问题的意识．