铁路缓和曲线代数式方程的通用设计方法

王祖华

( 中铁十一局集团 第二工程有限公司，湖北 十堰 442013)

为了确保铁路快速、安全、平稳地运行，对轨道几何形位提出了更高的要求［1］。缓和曲线是两段曲率不一样的曲线间插入的一段曲率渐变的连接曲线，可用于连接直线与圆曲线、直线与直线或圆曲线与圆曲线［2］。缓和曲线的类型很多［2-3］，按其分段形式可以有一段式、两段式、三段式;按其方程式类型有代数式和三角式;按代数式次数高低有三次、五次、七次、九次。然而如此繁多的缓和曲线都是连接直线与圆曲线的，而且采用哪一种更好，目前还存在争议，对此有人对铁路缓和曲线线型的选择做了大量研究［4-5］。如何根据铁路需要满足的条件来设计铁路缓和曲线，就显得十分必要。文献［6］只针对连接直线与圆曲线的缓和曲线，利用需要满足的缓和曲线边界条件推导其方程，只需确定出曲率边界条件个数，代入曲率方程通式可求得曲率方程，再对其二次积分即可得到缓和曲线方程。通过采用本文的通用方法还可设计出连接直线与直线的铁路缓和曲线。

1 缓和曲线方程式推导过程

1．1 缓和曲线曲率方程通式

根据缓和曲线曲率边界条件，列出缓和曲线曲率微分方程式，进而求其通解，即为缓和曲线曲率方程通式。

1．1．1 连接直线与圆曲线缓和曲线曲率微分方程

式中，k(N)= dNk/dlN为曲率k 对缓和曲线上点到缓和曲线起点的距离l 的N 阶导数( N = n1+ n2+2) ;分别为l = 0，l = l0时，曲率k 对l 的i，j 阶导数值; R 为圆曲线半径。

1．1．2 连接直线与直线缓和曲线曲率微分方程

(2) 曲率边界条件为k(i)0= k(i)l0= 0，( i = 0，1，2，…，n1) ;为缓和曲线曲率最大值对应点M 到曲线起点的距离。构造相应的曲率微分方程( N = 2n1+ n2+3)

1．1．3 缓和曲线曲率方程通式

式(1) ～式(3) 为常系数或变系数齐次或非齐次线性微分方程，求出其通解，即缓和曲线曲率方程通式

式中，a1，a2，…，aN为待定系数; N 等于缓和曲线曲率边界条件个数。

1．2 缓和曲线方程式推导步骤

首先给出缓和曲线要满足的边界条件，根据边界条件列出曲率待定方程; 然后利用曲率边界条件确定出缓和曲线曲率方程;最后通过对曲率方程进行二次积分就可得到缓和曲线的方程。

2 通用方法应用举例

2．1 连接直线与圆曲线的缓和曲线方程

连接直线与圆曲线的缓和曲线满足边界条件: ZH 点( 起点l = 0 ) 处，缓和曲线纵坐标y = 0 ，偏角φ =0 ，曲率k = 0 ; HY 点( 终点l = l0) 处，k = 1/R。用通用方法推导其方程的过程如下。

首先，曲率边界条件有两个，即N = 2

则根据式(4) 可列出曲率待定方程

然后，将曲率边界条件式(5) 带入曲率待定方程式(6) 可解得待定系数a1= 0，a2= 1/( Rl0) ，即曲率方程为

最后，对曲率方程式(7) 进行一次积分得缓和曲线偏角方程

式中，积分常数C1由边界条件起点处偏角φ = 0 可确定出C1= 0 。

再对缓和曲线偏角式(8) 进行一次积分得缓和曲线方程

式中，积分常数C2由边界条件起点处纵坐标y = 0 可确定出C2= 0 ，从而得到缓和曲线方程y =l3/(6Rl0) ，即为三次抛物线方程［2-3］。利用此方法可推出常见的五次曲线、七次曲线、九次曲线等。

2．2 连接直线与直线的缓和曲线方程

连接直线与直线的缓和曲线满足边界条件: ZH 点( 起点l = 0 ) 处，y = 0，φ = 0，k = 0，k′ = 0 ; YZ点( 终点l = l0) 处，k = 0，k′ = 0 ;在l = lm处曲率为最大值klm= 1/R，klm′ = 0 。用通用方法推导其方程的过程如下。

首先，曲率边界条件有6 个，即N = 6

则根据式(4) 可列出曲率待定方程

然后，将曲率边界条件式(10) 带入曲率待定方程式(11) ，并令lm= 0．5l0，可解得待定系数a1= 0，，即曲率方程为

最后，对曲率方程式(12) 进行一次积分得缓和曲线偏角方程

式中，积分常数C1由边界条件起点处偏角φ = 0 可确定出C1= 0 。

再对缓和曲线偏角式(13) 进行一次积分得缓和曲线方程

式中，积分常数C2由边界条件起点处纵坐标y = 0 可确定出C2= 0 ，从而得到缓和曲线方程

3 结论

(1) 用满足不同边界条件的缓和曲线方程推导作为例子，说明本文通用方法的应用，而且得到了与参考文献相同的缓和曲线方程，证明了该方法正确，简单，适合用于推导缓和曲线代数方程的通用方法。

(2) 采用本文方法，可以根据需要提出不同的边界条件，准确方便的设计出新的缓和曲线，为设计合理的铁路缓和曲线线型提供了一种方便的新方法。

［1］李向国．高速铁路技术［M］．北京:中国铁道出版社，2008．

［2］练松良．轨道工程［M］．上海:同济大学出版社，2006．

［3］吴耀庭．铁路曲线及其养护［M］．北京:中国铁道出版社，2007．

［4］王小文．准高速、高速铁路缓和曲线线型选择研究［J］．铁道学报，2001，23(2) :81-85．

［5］周宪忠．关于我国高速铁路缓和曲线的探讨［J］．西南交通大学学报，1996，31(1) :69-74．

［6］娄平，曾庆元．利用缓和曲线的曲率确定其方程式的通用方法［J］．铁道学报，2003，25(3) :104-106．